概率论与随机过程》第章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案
1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解：?
??
????=n n n
n S 100,
,1
,0Λ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3Λ=S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只
次品都取出，记录抽取的次数。解：{}10,,4,3Λ=S 。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解：{}Λ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个
职务），观察选举的结果。 解：{}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表
示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解：{}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有
哪几种颜色。 解：{}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次
品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解：{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1
为正品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子
装一只球，观察装球的情况。 解：{}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a
放在盒子A 中，余者类推。
（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：{}0>=v v S
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解：(){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三
段的长度。#
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。解：C B A
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。解：C AB （3） A ，B ，C 都发生。解：ABC
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。解：C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。解：C B A
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。解：A C C B B A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。解：C B A ??
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。解：CA BC AB ??.#
3. 设{
}10,2,1,Λ=S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。解：{}5=B A ；
（2）B A ?。解：{}10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。解：{}5,4,3,2=B A ； （4）BC A 。解：{}10,9,8,7,6,5,1=BC A
（5）)(C B A ?。解：{
}10,9,8,7,6,5,2,1)(=?C B A .# 4.设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x
A ，??????<≤=234
1
x x B ，具体写出下列各式。
（1）B A ?。解：?
??
???≤≤???????≤≤=?223410x x x x B A
（2）B A ?。解：?
??
?
??≤≤??
???
??≤≤??
???
??<≤=?22
312
1410x x x x x x B A
（3）B A 。解：{}φ=B A （4）B A 。解：?
???
??
≤
??≤≤=231214
1
x x x x
B A .# 5. 设A ，B ，
C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，
81)(=AC P ，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：0)(=ABC P ，故
()()()()8
5
)()()()(=
+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。 或φ=??B C A )(Θ，
∴()()()()8
5
)()()())((=
+-+=+?=??=??B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。# 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。
解：（1）???
?
??????
???????? ??????
??2001500110110090400； （2）设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：
???
?
????
?
?
???????? ?????? ??-???? ???
???
??-=--=∑
=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(200
2
P P k P k .# 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年
以365天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1）属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间
中，某指定房间中至少有一人的概率。
设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有
()k
n k n
k n N N N k n N N k n k P --?
?? ??-??? ?????? ??=???
?????-???? ??=111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：
n
n k N N P k P ?
??
??--=-=∑
=11)0(1)(1
。
所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：
（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一
间中，至少有二个人在同一间房中的概率。 设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。
“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：
!
n)(N !
N -。 所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。
0.42710.5729112
4-(12!12114
=-=-
=--
！
）n
N !
n)(N !N 。# 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管
子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。
解：（1）10526789101234634=???????????? ??；或1052
!6!4!10!3!441034=??? ?
????? ??=???? ?????
? ??； （2）52
9106634=???
?
?????? ?????? ??。# 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二
城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。
解：7.04.028.0===
P(B)P(AB)P(A/B)；704
028
0...P(A)P(AB)P(B/A)== 5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=?。#
10.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽
样，求下列事件的概率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。
解：(1)4528106!2!2!8!821028=????=???
? ?????? ??！！； (2) 45110!2!821022=?=???
? ?
???? ??！；
(3)
451610!2!8282101218=???=???
? ?????
? ?????? ??！；或45169810292108=?+?；
(4)
45
9
9110292108=
?+?。# 11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通
所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：(1)3.010!7!37!2!!931029=???=???
? ????? ??！; (2)6.05!
2!32!2!!43524=???=???
?
????? ??！。# 12.某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分
别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？ 解：设A 为“次品”，
已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；
05.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，
0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(3
1
=?+?+?==
∑=j j
j
B P B A P A P 。故由，
)
()
()/()/(A P B P B A P A B P i i i =
可得：
36232.069
25
0345.025.005.0)()()/()/(111≈=?==
A P
B P B A P A B P ；
40580.06928
0345.035.004.0)()()/()/(222≈=?==A P B P B A P A B P ；
23188.069
16
0345.040.002.0)()()/()/(333≈=?==
A P
B P B A P A B P 。#
13.将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而
B 被误收作A 的概率为0.01。信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
解：设：B A '',分别表示收到信息是A 和B 。由已知条件可知:
020./A)B P(='，010./B)A P(='，980./A)A P(='，990./B)B P(='32/P(A)=，31/P(B)=。
9499.07
9196
1)()/()()/(==''=
'∴A P A A P A P A A P 。#
14.如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，
且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少？ 解:]6543231[)()()(P ??????
6542343p p p p p -+-+=。#
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为
0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。
解:设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。C ：射击三次而击落飞机
458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。#
16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的
三只球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。
解：Θ???
?
??
???
??-=3521x x p
17. (1)设随机变量X 的概率质函数为!
}{k a k X P k
λ==，0,,2,1,0>=λΛk 为常数，试确定常
数a 。
（2）设随机变量X 的概率质函数为N
a
k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -=Λ，试确定常数a 。 解：（1）1!!
}{0
=====∑∑∑∞
=∞
=∞
=λλλae k a
k a
k X P k k
k k
k Θ，λ-
=∴e a
(2)1N
a
*N N a }k X {P 1
N 0
k 0
k ====∑
∑-=∞=Θ，1=∴a 。# 18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信
号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
设：n X X X Y +++=Λ21，则k
k k K Y P -?????
? ??==57.03.0}{。 （1）5=n 时，16308.07
.03.05)3(55
3=?????
? ??=≥-=∑k
k k k Y P （2）7=n 时，353.07
.03.07)3(7
37=?????
?
??=≥∑=-k k
k k Y P 。# 19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8
次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
解:Θ参数为4的泊松分布为：!4}{4
k e k X P k -?==，Λ,2,1,0=k 。故，
(1)02977.0!8*4}8{4
8===-e X P ；(2)∑
===-
=≥10
00284350.0}{1}10{k k X P X P 。# 20. 设随机变量X 的分布函数为
??
???<≥-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x 求}3{},
2{>≤X P X P ，（2）求概率密度)(x f 。
解：（1）8647.01)2(}2{2=-==≤-e F X P
（2）04979.0)3(1}3{=-=>F X P
(3)
????
?≤≥='=-0
0,
0,
)()(x x e x F x f x 。#
21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求
80.0}200120{≥≤ 解：]2)160(exp[21)(2 22 σπσ --= x x f Θ 即， 9.0]2exp[21 2/40≥-? ∞ -dy y σ π ,查表可得：28.140≥σ 25.31max =∴σ。# 22 ．设随机变量求X Y =解：由2X Y =可知：}9,4,1,0{=Y S 。故有 23.设X 的概率密度为 ??? ??<<=其它, 00,2)(2 ππx x x f ，求sinX Y =的概率密度。 解：1sin 0,0<=<< ??-=Y Y X arcsin arcsin π。 又}arcsin {}arcsin 0{}sin {)(ππ<<-+≤<=≤==X y P y X P y X Y P y F Y Θ y dx x dx x y y arcsin 2 22arcsin 2 arcsin 0 2 π ππ π π=+= ? ? -，10< ?? ???<<-='=∴ 其它,010,112 )()(2y y y F y f Y Y π。# 24.设概率变量（X ，Y ）的概率密度为 求}1{≥+Y X P 。 解：?? ??-==≥+10 2 11dx ]dy )y ,x (f [dydx )y ,x (f }Y X {P x Ω 72 65 4 1942452134651 2 341 023= ++=++=? x x x dx )x x x (。# 25.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。 解：Θ???? ?????<-≤≤≤≤Ω>-≤≤≤≤Ω≤≤=?? ?? ΩΩ,0,0)0,10(,1,),() 0,0(,10,),()(21 21 z x z y x z dxdy y x f x z y z x z dxdy y x f z F z ?? ? ??<>-≤≤-='=∴ --.0,0, 1,)1(,10,1)()(z z e e z e z F z f z z z z 。# 26.设概率变量（X ，Y ）的概率密度为 ),2exp(21),(2 222 σ πσ y x y x f +- = +∞ <<∞-+∞<<-∞y x ,。 求22Y X Z +=的概率密度。 解：?? ??≤+≤++- == z y x z y x Z dxdy y x dxdy y x f z F 2222)2exp(21 ),()(2 222 σπσ Θ z y x ≤+22是以原点为中心，z 为半径的圆域。且0>z ，故0 令θθsin ,cos r y r x ==，则 )2exp(1)2exp()2()2exp()2exp(21)(20 20 22 22200 22 2 σσσθσπσπ z r r d r d rdr r z F z z z Z --=--=-= ??? ? ??? ?-= ? ?? ?? ???<≥-== ∴0,00),2exp(21 )()(22' z z z z F z f Z Z σ σ。# 27.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只， 求其中没有一只寿命小于180小时的概率。 解：设k X 为取出的第k 只管子的寿命，故， 令),,,min(N 43214X X X X =。因为}{k X 相互独立，且同分布，所以， []{}[ ] 444min 44)1597.0()180(1)180(111)180(1}180{1}180{=-=---=-=≤-=>k k X X F F F N P N P 。## 28. 求)(),(),(53X E X E X E +解：2.03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E ， 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ， 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E 。# 29. 设X 服从二项分布，其概率质函数为 {}.10.,,2,1,0,)1(<<=-??? ? ??==-p n k p p k n k X P k n k Λ求)(X E 和)(X D 。 解：∑∑=-=-??? ? ??===n k k n k n k p p k n k k X kP X E 0 ) 1(}{)( [])1()1()()()(22222p np p n np p n n X E X E X D -=-+-=-=。# 30. 设X 服从泊松分布，其概率质函数为 {}.0, ,2,1,0,! >== =-λλλ Λk k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。 解：λλλλλλλλ λ =?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑e e k e k e k X E k k k k 1 1 !)1(! )(， []λλλλ=-+=-=2222)()()(X E X E X D 。# 31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为 ?????<<-=， 其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。 解：2 1)(b a dx a b x X E b a += -=? ， []()1221)()()(22 2 2 2 a b b a dx a b x X E X E X D b a -=?? ? ??+--= -=? 。# 32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为 ()+∞<<∞->???? ????-= x x f ,02-x exp 21 )(2 2σσμσπ，。求)(X E 和)(X D 。 解：()? ∞ +∞-??? ?????-=dx x X E 222-x exp 21 )(σμσπ，令t x =-σμ，则 其中，)2/exp()(2t t t f -=为奇函数，故0)2/exp(2?+∞ ∞ -=-dt t t ； 而()()()π22 1 2exp 2 2 /2/exp 22/exp 0 1 21 2 2 2 == -=-=-? ??∞ +-∞ +∞ +∞ -)Γ( dy y y t y dt t dt t ()παα=Γ-= Γ? +∞ -)21 (,exp )(01dx x x 。 ()? ∞+∞-??? ?????--= dx x X D 2 22 2-x exp )(21)(σμμσπ（令t x =-σμ） ( ) ( ) 22 2 2 /22 2 2 222/exp 22/exp 22σππσπσπσ==?? ??? ? -+-= -= ? ? +∞ ∞-+∞∞ --+∞ ∞ -dt t te dt t t t 。# 33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子 中去。以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。 解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。 按题意， X=4时的放法有13 3 =C 种，故64/1)4(==X P ； X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有 71333 32313=++=++C C C ，故64/7)3(==X P ； X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有 191]11[3]121[3=+++++=种，故64/19)4(==X P ； X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有 371]1)11[(3]1)11(2)121[(3=+++++++++=种，故64/37)4(==X P ； 1625 64146473641926437)(][4 1 =?+?+?+=== ∴∑=i i X iP X E 。 16 48 641166479641946437)(][4 1 22 =?+?+?+= == ∑ =i i X P i X E Θ， 5586.016143 16251648][][][2 222 2 ≈=-=-=∴X E X E X D 。# 34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立： （1）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2）)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。 证：Θ[]{ }[][][][]{})()(2)()()()()(222Y E Y X E X Y E Y X E X E Y E Y X E X E Y X D --+-+-=-+-=+ ∴),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； ∴)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。# 35. 设随机变量X 的概率密度函数为 ?????≤>=-000x , x ,e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学 期望。 解：[]22220 0=-===+∞-+∞ -?x x e dx xe X Y E ； [ ]3/13 1 30 22=-===+∞ -∞ +---? x x x X e dx e e e Y E 。# 36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为 ? ? ?<<<<=其它，,x, y ,x K,y)f(x,0010试确定出常数K ，并求)XY (E 。 解：Θ1),(=??+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，故1210100===?? ? ???? ??K Kxdx dx Kdy x ，∴2=K 4 1 2),()(1 31 00= =?? ? ???= = ? ?? ?? +∞∞-+∞ ∞ -dx x dx ydy x dxdy y x xyf XY E x 。# 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用契契 比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解：已知：7300=μ，700=σ。 Θ()μ==+73002/94005200故令210073009400=-=ε ∴{}8889.09/82100≈≥<-μX P 。# 38. 设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ???≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。求)(X E 和 )(X D 。 解：λ λ λ λλ1 )2(1 1 )(0 =Γ= = =? ?+∞ -+∞ -dy ye dx xe X E y x ，（Θ!)()1(n n n n =Γ=+Γ） []2 2 2 2 22 2 22 2 1 1 )3(1 1 1 1 )()()(λ λ λ λ λ λλλ= - Γ= - =- = -=? ? +∞ -+∞ -dy e y dx e x X E X E X D y x 。# 39. 设随机变量X 的概率密度函数为?? ???≤>-=0,00),2exp()(22 2x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。求)(X E 和)(X D 。 解：σ ππ σσσσ σ 2/2 2)1(22)2exp()(2 10 2 22 2 21 ==+Γ==- =? ? +∞ -+∞ dt e t dx x x X E t ， （Θπn n n 2 !!)12()(2 1-=+Γ） []2 2 2 2 2 2 22 32 2 2 42 2)exp(22 )2exp()()()(σππσσσ πσσσ-= - =-=-- = -=? ? +∞ +∞ dt t t dx x x X E X E X D 。# 40. 设随机变量X 的概率质函数为{}1-==k pq k X P ，Λ,,k 21=。其中p q ,p -=<<110为常 数，则称X 服从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。 解：()p q p q p q p kpq X E k k k k 11111)(2111=???? ??-='???? ??-='??? ? ??==∑ ∑ ∞=∞ =-， =()22 32211211p q p q q pq p q q pq p q q pq k k =-???? ??-=-"???? ??-=-"??? ? ??∑ ∞=。# 41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20,20,)(8 1),(≤≤≤≤+=y x y x y x f 。求)(X E 、 )Y (E 、)Y ,X (Cov 。 解：67 )(41)2(8 1 ])([ 8 1 ),()(2 022 02 22 2 2 02= += += +==???? ? ? ∞+∞ -∞ +∞-dy x x dx xy y x dx dy xy x dy dx y x xf X E ， 6 7 )(4 1 )2(8 1 ])([ 8 1 ),()(2 22 02 022 2 2 2 = += += +== ? ? ?? ?? ∞+∞ -∞ +∞-dy y y dy y x x y dy dx xy y dy dx y x yf Y E ， 36 1 676734)()()(),(-=?-=-=Y E X E XY E Y X Cov ， 3 4 )43()2 3(8 1 ])([8 1 ),()(2 22 2 22320 2 22=+=+= +== ? ? ?? ?? ∞+∞ -∞ +∞-dy y y dy y x y x dy dx xy y x dy dx y x xyf XY E 。# 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差 是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 解：设X 为取整误差，则0)(=X E ,1212/σD(X)==。 （1）? ?? ?? ? ≈>=? ?? ? ??>∑ ∑==34.1125/1512 /15001 151500 1 1500 1k k k k X P X P 或：??? ???≈>=??? ? ??>∑ ∑ ==34.1125/1512 /150******** 1 15001k k k k X P X P （2）Θ90.0]21 1[21/121012 /1 10/12102/1 12=--=? ???? ?<=? ?? ? ?? ∑ ∑∞--==n t n k k n k k dt e n X n P X P π 95.0]21/12102 /2 =? ∞ --n t dt e π ，645.1/1210≈n ， ∴443=n 。# 43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。 （2）一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。 解：设每个部件损坏的概率10.0}0{==k X P ，则每个部件未损坏的概率90.0}1{==k X P 。 令∑==100 1100k k X η，由此可知100η具有参数为100=n ，90.0=p 的二项分布，故整个系统 工作的概率为： (1)}310 ) 1(35{}390100)1(39085{}10085{100100100100100≤--<-=-≤--<-=≤<ηηηηηp np np P p np np P P (2)Θ }3) 1(3{}09.09.0) 1(09.09.08.0{ }8.0{100100n p np np n P n n n p np np n n n P n n P n n n ≤--<- =-≤ --< -=≤<ηηηηη 975.0213 /2 /2 =? ∞ --n t dt e π ? 96.13 =n ,∴35=n 。# 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用 外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 解：设要m 条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 已知：05.0}1{==k X P ，95.0}0{==k X P 令∑==200 1k k n X η,则n η具有参数为200=n ，05.0=p 的二项分布。 32.15 .910=-m ?14=m 。# 第一章总论 （一）会计概念 92.会计本来就有，只是生产发展了，会计随之而发展（）。 【答案】错误 【解析】会计是适应生产活动发展的需要而产生的，并随着生产的发展而发展。经济越发展，会计越重要。 1. .我国两种有代表性的关于会计本质的观点是（）。 A.会计信息系统论和管理活动论 B. 会计信息系统论和工具论 C. 工具论和管理活动论 D. 受托责任观和决策有用观 【答案】A 2.近代会计形成的标志( ) A. 单式记账法的产生 B.账簿的产生 C. 单式记账法过渡到复式记账法 D.成本会计的产生 【答案】C 3、四柱清册中的“实在”相当于现在的（）。 A.期初余额 B.期末余额 C.本期增加 D.本期减少 【答案】B 【解析】四柱清册是我国古代会计的杰出成就，“旧管”相当于现在的期初余额，“新收”相当于现在的本期增加，“开除”相当于现在的本期减少，“实在”相当于现在的期末余额。 4、四柱清册中的“旧管”相当于现在的（）。 A.期初余额 B.期末余额 C.本期增加 D.本期减少 【答案】A 【解析】四柱清册是我国古代会计的杰出成就，“旧管”相当于现在的期初余额，“新收”相当于现在的本期增加，“开除”相当于现在的本期减少，“实在”相当于现在的期末余额。 6、四柱清册创建于（）。 A.唐朝 B.宋朝 C.明朝 D.清朝 【答案】A 【解析】四柱清册是我国古代会计的杰出成就，创建于唐朝，“旧管”相当于现在的期初余额，“新收”相当于现在的本期增加，“开除”相当于现在的本期减少，“实在”相当于现在的期末余额。 8.四柱清册的“旧管”与“新收”相当于现在的期初结存和期末结存（）。 【答案】错误 北邮人： 一、填空题 1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB = 2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是 4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x = 5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω= +，则其自相关函数为 6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率 8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ??= ??? ? 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0(,)0, 其他 y e x y f x y -?<<=?? (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ， |(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<. 三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。如果在t(>0)时记录的车辆总 数为n ，求其中南行车辆有k(0 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 第二章 概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪 过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk 2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数 在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j) 《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第一章总论及答案 一、填空题 1．汽车通常由（发动机）、（底盘）、（车身）、（电器设备）等四部分组成。 2．发动机一般由（曲柄连杆机构）、（配气机构）、（燃料供给系统）、（进排气系统）、（润滑系统）、（冷去系统）、（点火系统）、（启动系统）等部分组成。 3．汽车底盘主要由（传动系统）、（行驶系统）、（转向系统）、（制动系统）等四部分组成。4．典型的货车车身包括（发动机舱）、（乘员室）、（货箱）等部件。 5．汽车等速行驶时，其阻力由（滚动阻力）、（空气阻力）、（）等组成。 6．汽车的滚动阻力与（路面阻力）、（行驶车速）、（轮胎）以及（气压）有关。 7．汽车的空气阻力与（空气阻力系数）、（迎风面积）、（相对速度）有关。 8．汽车的爬坡阻力主要取决于（车总重量）和路面的（坡度）。 9．JNl181C13汽车属于（货车），其总质量为（18吨）。 二、选择题 1．4×2型汽车的驱动轮数为（B）。 A．4 B．2 C．8 D．6 2．BJ1061型汽车属于（ C ）。 A．客车B．轿车 C．货车D．越野汽车 三、问答题 1．汽车是如何分类的？ 按用途分成7类：载货汽车，越野汽车，自卸汽车，牵引汽车与挂车，专用汽车，客车，轿车； 按汽车燃料的不同将汽车分为：汽油车，柴油车，液化气汽车； 按驱动形式的不同分为单轴（两轮）驱动，两轴（四轮）驱动，多轴（全轮）驱动。 我国的国家标准GB/T3730.1—2001《汽车和挂车类型的术语和定义》将汽车分为：乘用车，商用车辆。 我国的国家标准GB/T15089—2001《机动车辆及挂车分类》将汽车分为M类，N类，O类，L类，G类。 国际分类：乘用汽车，商用汽车。 2．轿车、客车、货车和越野汽车分别依据什么分类？各分为哪几个等级？ 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 第一章总论 一、单项选择题 1．税务会计以（）准绳。 A．会计制度 B．会计准则 C．国家税收法令 D．财务会计 2．我国的税务会计模式（）。 A．所得税会计为主体 B．流转税会计为主体 C．流转税会计与所得税会计并重 D．以上都不正确 3．所得税递延的前提是（）。 A．货币的时间价值 B．持续经营 C．纳税年度 D．年度会计核算 4．税务筹划的内在原因（）。 A．纳税主体 B．持续经营 C．货币的时间价值 D．纳税年度 5．支持并规范“资产负债表债务法”的原则（）。 A．确定性原则 B．可预知性原则 C．配比原则 D．划分营业收益与资本收益的原则 6．以下说法（）是正确的。 A．税收会计就是税务会计 B．税收会计的产生早于税务会计 C．税务会计是一个独立的专业会计 D．税务会计比税收会计简单 7．以下说法（）是正确的。 A．税务与会计计量依据相同 B．税务会计核算和监督的对象是全部经济业务 C．税务会计坚持历史成本原则 D．税务会计是应计制 8．关于纳税主体（）是正确的。 A．税务会计纳税主体与财务会计中的“会计主体”相同 B．会计主体不都是纳税主体 C．纳税主体不一定是会计主体 D．纳税主体一定是会计主体 9．以下说法错误的是（）。 A．税务会计的应计制与财务会计上的应计制存在一些区别 B．税务会计的应计制必须考虑支付能力原则 C．税务会计的应计制可保护政府财政税收收入 D．税务会计的应计制与财务会计上的应计制相同 10．以下说法不正确的是（）。 A．税务与会计目标不同 B．税务与会计计量所得的标准不同 C．税务与会计内含的概念不同 D．税务与会计计量的依据相同 答案：1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．D 二、多项选择题 1．税务与会计两者最主要的差别是（）。 A．目标不同 B．计量所得的标准不同 C．内含的概念不同 D．计量的依据不同2．税务会计与财务会计的区别（）。 A．目标不同 B．对象不同 C．核算基础、处理依据不同 D．计算损益的程序不同3．税务会计的特点 ( )。 A．法定性 B．广泛性 C．统一性 D．非独立性 4．税务会计的目标是（）。 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 第一章总论及答案 一、单项选择题： 1．会计对象是( )。 A．经营过程 B．社会再生产过程中的资金运动 C．会计主体 D．社会再生产资金中的数量方面 2．下列不属于会计核算职能的是( )。 A．确定经济活动是否应该或能够进行会计处理 B．审查经济活动是否违背内部控制制度的要求 C．将已经记录的经济活动内容进行计算和汇总 D．编制财务会计报表提供特定主体的经济信息 3．在会计核算的基本前提中，规范会计工作空间范围的会计前提是( )。 A．会计主体 B．持续经营 C．会计分期 D．货币计量 4．下列属于会计基本职能的是( )。 A．核算与分析 B．反映与控制 C．预测与决策 D．分析与监督 5．会计所核算和监督的内容，是( )。 A．会计职能 B．会计本质 C．会计对象 D．会计方法 6．下列不属于会计核算的基本方法的是( )。 A．填制和审核会计凭证 B．确定会计要素 C．登记会计账簿 D．编制会计报表 7．在会计核算的基本前提中，界定从事会计工作和提供会计信息空间范 围的是( )。 A．会计主体 B．持续经营 C．会计分期 D．货币计量 8．会计分期是建立在( )基础之上的。 A．会计主体 B．持续经营 C．会计核算 D．货币计量 9．确定会计分期的目的是( )。 A．界定会计核算的空间范围 B．提供会计信息确定计量基础 C．正确计算收入、费用和损益 D．财产物资按照历史成本计量 10．企业计提固定资产折旧，遵循会计核算的基本前提是( )。 A．会计主体 B．持续经营 C．会计分期 D．货币计量 11．固定资产采用加速折旧法，主要体现会计信息质量的要求是( )。 A．可比性 B．明晰性 C．谨慎性 D．及时性 12．企业应对不同时期发生的相同或者相似的交易或者事项，应当采用一致的会计政策，不得随意变更。运用的会计信息的质量要求是( )。 A．重要性 B．谨慎性 C．可比性 D．及时性 13．企业应当按照交易或事项的经济实质进行会计核算，而不应当仅仅按照交易或事项的法律形式作为会计核算依据的会计信息质量要求的是( )。 A．可靠性 B．可比性 C．实质重于形式 D．重要性 14．下列会计处理中，不符合谨慎性要求的是( )。 A．计提存货跌价准备 B．计提“秘密准备” C．计提商品保修费用 D．不高估资产或收益 15．下列不属于会计信息质量要求的是( )。 A．实质重于形式 B．可靠性 C．权责发生制 D．相关性 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 05-06概率论与随机过程试题（A ） 一、选择题 1．设0 2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x < 大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期： 随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p第一章 总论习题及答案
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