高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1

lim

0n n

→∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=

.

两个重要的极限

：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

（ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x

g x b →=,则 (１)()()0

lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0

lim 0x x

f x a

b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b

→∞?=?（3)()lim

0n n n a a

b b b

→∞

=≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商）

000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim

x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -='

(4）

x x 1

)(ln =

'；e a x x

a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则

(1）'

'

'

()u v u v ±=±．（2)'

'

'

()uv u v uv =+.（3)''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数

''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

[解答过程] ()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合Ｍ＝{|()0}x f x <，P='{|()0}x f x >,若ＭP ,则实数a 的取值范围是 ( )

Ａ.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,＋∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力． [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M Ｐ时， 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y ＝f(x)在某一点P （x ，y ）的切线，即求出函数y ＝ｆ(x)在Ｐ点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3．已知函数32

11()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点． (I)求24a b -的最大值;

（I Ｉ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪:用求导来求得切线斜率． 解答过程:（Ｉ）因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-，,(13]，内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，,(13]，内分别有一个实根,

设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=

-2104x x <-≤．于是

2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是1６.

(ＩI ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21

(1)32

y a b x a =++--,

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是()g x 的极值点.

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++.

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点． 所以11a =--，即2a =-,又由248a b -=,得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--． 解法二:同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

- 2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ，（121m m <<).

当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >,当21x m <<时，()0g x <.

设2

33()1222a a h x x x ???

?=++

-+ ? ????

?,则 当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a

h =?++=， 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--. 例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ）

A.430x y --= B ．450x y +-= Ｃ.430x y -+= Ｄ.430x y ++=

［考查目的］本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=,所以4y x =在(１,1）处导数为4,此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5.过坐标原点且与x 2+y 2 -４x +2y ＋2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A.ｙ＝-３x 或y =3

1x B. y =-３x 或y =-3

1x C.ｙ＝-３ｘ或ｙ＝-3

1x D. ｙ=3x 或y =3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1:设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

21

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选Ａ.

解法2：由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

由 ()()/

/

2

2

//

/

/113

231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.313,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例６.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程． 思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程，故得

1,12

22121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,0122121=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ,即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式；

2. 求函数的值域; 3．解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值);5．构造函数证明不等式. 典型例题

例7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ )

A ．1个

B ．2个 Ｃ.３个 Ｄ. 4个

［考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点． 故选A.

例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值. （Ⅰ）求a 、b 的值;

(Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，,都有2

()f x c <成立,求c 的取值范围．

思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求ａ、b 的值.

解答过程:(Ⅰ)2

()663f x x ax b '=++,

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??

++=?，

．

解得3a =-，4b =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,3

2

()29128f x x x x c =-++,

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<; 当(23)x ∈，时,()0f x '>．

所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，,有2

()f x c <恒成立，

所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >, 因此c 的取值范围为(1)

(9)-∞-+∞，，．

例９.函数y x x =+-+243的值域是__________＿__.

思路启迪：求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。

解答过程:由24030

x x +≥+≥??

?得，x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. ?y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

, ?又2324282324

x x x x x +-+=

++++， ?∴当x ≥-2时,y '>0，

?∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1. 例10.已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

(１)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值；

(2)要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

(３）若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围. [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. [解答过程］（Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值.

（Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =,得12cos 0,2

x x θ==.

由(Ⅰ）,只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时，随ｘ的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此,函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos f()2，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02f θ>,必有213cos (cos )044θθ-->,可得0cos θ<<

由于0cos θ≤≤，故3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾．所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.

综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

(错误!未找到引用源。)解:由（错误!未找到引用源。)知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则ａ须满足不等式组

210

a a a -<≤ 或 ??

211

21cos 2

a a

a θ

-<-≥ 由（错误！未找到引用源。）,参数时311(,)(,)62

2

6

ππππθ∈?时，0cos θ<<121cos 2

a θ-≥关于参数θ恒成

立，必有21a -≥a .

综上,解得0a ≤1a <.

所以a 的取值范围是(,0)-∞?.

例１１．设函数f (x ）=ax -(a +１)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ［解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

(1)当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， (２)当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

x

1(1,)a

-

1a

1

(,)a

+∞ '()f x

— 0 +

()f x

极小值

从上表可知

当1(1,)x a

∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减．

当1(,)x a

∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增．

综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时，函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减,函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

例１2．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图

象经过点

(1,0)，(2,0),如图所示.求：

（Ⅰ）0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值.

［考查目的］本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：(Ⅰ)由图像可知，在(),1-∞上

()'0f x >,在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ)'2()32,f x ax bx c =++

由'

''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5， 得320,

1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得2,9,12.a b c ==-=

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23

2

m a b m c m ==-=

32|

3()2,32

m f x x mx mx =

-+ 由(1)5f =，即325,3

2

m m m -+=得6,m =

所以2,9,12a b c ==-=

例13．设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；

(Ⅱ）设0>a ,()x e a x g ??

? ?

?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围．

［考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ)ｆ ｀(x)＝－［x 2＋(a －2)x ＋b －ａ ]e 3-ｘ

,

由f `(3)=0,得 －[3２

＋（a -２)３+b-a ]ｅ3－３

＝０，即得b=-3－2a ， 则 ｆ `（x ）=[ｘ2+(ａ－2)x -3－2ａ-a ]e 3-x

＝-[ｘ２＋(ａ－２）ｘ－3-３a ］ｅ3-x ＝-(x-３)(x +a ＋１)e 3－ｘ

. 令f `(x)=０,得x 1=3或x 2＝-a －1，由于x ＝３是极值点， 所以ｘ+a+１≠０,那么a ≠－4. 当a <－4时,x 2＞３＝x 1,则

在区间(-∞，３)上,f ｀（x)<0, f (x)为减函数;

在区间（3，―a ―1）上,f `（x ）＞0,f (ｘ)为增函数; 在区间(―a ―1,+∞）上，ｆ `(x)<0，f (x ）为减函数. 当a ＞－4时,x 2＜3=x 1,则

在区间(－∞，―a ―１）上，ｆ `(ｘ)＜0, ｆ (x)为减函数; 在区间(―ａ―1，3)上,f `(x)>0,f (ｘ)为增函数;

在区间（3，+∞)上,f ｀（x ）<０,ｆ (ｘ)为减函数.

(Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a >0时,ｆ (ｘ)在区间(0，3)上的单调递增，在区间（3，4)上单调递减，那么ｆ （ｘ)在区间［0，4］上的值域是[mi ｎ(ｆ （0)，f （4) ),f (3)]，

而f (0)=－（2a ＋3)e ３

＜0,f （4)＝(2a +13)e -1>0，f (３)＝ａ+6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是［-（2a +3)e 3,ａ＋6]. 又225()()4

x g x a e =+在区间[0，４]上是增函数,

且它在区间[0，4］上的值域是［a 2+4

25,(a 2＋4

25)e 4],

由于（a 2＋4

25)-(ａ+6)＝a 2－a ＋41=(2

1-a )2≥0,所以只须仅须

（a 2＋4

25）－（a +6）<1且a >0,解得0＜a <2

3.

故a 的取值范围是（0，2

3).

例1４ 已知函数3

21()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+ 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<. （１）证明0a >；

(2）若ｚ=ａ+2ｂ,求z 的取值范围。

[解答过程］求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-.

（Ⅰ)由函数()f x 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根. 所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<,20x x -<得0a >.

（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?．

化简得20

3204520b a b a b ->??

-+?

．

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，

．

所围成的ABC △的内部,其三个顶点分别为:46(22)(42)77A B C ??

???

，，，，，. z 在这三点的值依次为

16687

，，. 所以z 的取值范围为1687??

???

，．

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合.

考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题

例15.用长为１8 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少?

[考查目的］本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为x （ｍ),则长为2ｘ(m)，高为

??? ??-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h .

故长方体的体积为

).2

3

0()

(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令Ｖ′(x ）＝0,解得x =０(舍去）或x =１,因此ｘ=1. 当０＜x <1时，Ｖ′（x )>0;当1＜x <

3

2

时,Ｖ′（ｘ）＜0, 故在x =1处V （x )取得极大值，并且这个极大值就是Ｖ(ｘ)的最大值。

从而最大体积V ＝V ′(x )=9×12-６×１3(ｍ3),此时长方体的长为２ m,高为１.５ ｍ. 答:当长方体的长为2 ｍ时，宽为1 m,高为1.5 ｍ时，体积最大,最大体积为3 m 3。 例1６.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距1０0千米. (Ｉ）当汽车以4０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (I Ｉ）当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． [解答过程]（I)当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小时,

要耗没313(

40408) 2.517.512800080

?-?+?=（升）． 答：当汽车以４0千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。

(II)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时，设耗油量为()h x 升,依题意得

3213100180015

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

b

a 2

1 2 4 O 4677A ?? ???，

(42)C ，

(22)

B ，

33

22

80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤

令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.

答:当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少，最少为1１.25升. 【专题训练】 一、选择题

1. y =e sin ｘ

ｃo ｓ(s ｉn x ）,则y ′（0）等于( ) A.０?? Ｂ.1 ? C ．-1?? D ．2 2．经过原点且与曲线y =5

9++x x 相切的方程是（ )

A.x +y =0或25

x +ｙ=0

?? B.x －y =0或25

x +y =0

C ．x +ｙ=0或25

x －y =0??

?

Ｄ.x -y ＝0或25

x -y ＝0

3.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x

x f x )(lim 0

'→=-１,则f (0)（ ）

Ａ.可能不是f (x )的极值? ?? B.一定是ｆ（x ）的极值 C.一定是ｆ(x )的极小值? ? ? D.等于0

4．设函数ｆn （ｘ)=n ２

ｘ2(1-x )n (n 为正整数),则f ｎ(ｘ）在[0，１]上的最大值为（ ） A.０ ?

B.１ ?

C.n n

)221(+-

D.1)2

(4++n n n

５、函数y=(ｘ2-1)３

+1在x ＝-１处( ）

A 、 有极大值

B 、无极值

C 、有极小值 ?

D 、无法确定极值情况

6．ｆ(x ）=ａx 3+3x ２

＋2,f ’(-1）=4，则ａ=( )

A 、3

10 B 、3

13 C 、3

16 ? Ｄ、3

19

7．过抛物线y=x 2上的点M （4

1,21）的切线的倾斜角是( ）

A 、30０

B 、４50

C 、6０0 ?

D 、9００

8．函数f(ｘ）＝x 3-6ｂx+３b 在（0,1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A 、（0,１）

B 、（－∞,1）

C 、（0，+∞）

D 、（0，2

1)

9.函数ｙ=x 3-3x ＋3在[2

5,2

3-］上的最小值是（ )

A 、 8

89 B 、１

C 、8

33 D 、5

10、若ｆ(ｘ）=ｘ3+ax 2+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值,则( ) Ａ、c ≠0 Ｂ、当ａ＞0时,ｆ(0）为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f （０)为极小值

１１、已知函数ｙ＝２x 3+ax 2+36x-24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ) A 、（２,3) ?B 、（3，＋∞） Ｃ、（2,＋∞） D 、(-∞,３)

12、方程６x 5-１5ｘ４

＋10x 3+1＝0的实数解的集合中( )

A 、至少有2个元素

B 、至少有3个元素

C 、至多有１个元素

D 、恰好有5个元素 二、填空题

1３．若f ′(x 0)＝２,k

x f k x f k 2)()(lim 000

--→ =＿________.

14.设f (x )=x (ｘ+１)（x +２)…(x +n )，则ｆ′(０)=__＿___＿__.

１5.函数f (x ）=l ｏg a (3ｘ2+5x -2)(ａ＞0且a ≠１)的单调区间＿_____＿__．

16.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形，当底边上高为＿＿______＿时它的面积最大. 三、解答题

17.已知曲线C :ｙ=x 3-３ｘ2＋２x ,直线ｌ：y =k ｘ,且l 与C 切于点(ｘ0,y 0）(ｘ0≠0),求直线l 的方程及切点坐标．

１８.求函数f(ｘ）=p 2x 2（１－x)p (p ∈N +)，在[0,1］内的最大值.

１９．证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数． ２０.求函数的导数

(1)y ＝(x 2－2x +3)e ２

x ； (2）ｙ=31x

x -.

21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以３ m/ｓ的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚 1.4 m 时，梯子上端下滑的速度．

２2．求和S n =12+22x ＋３２ｘ2＋…+n ２x n －1,(x ≠0,n ∈N ＊

）.

23.设ｆ（ｘ)=a ｘ3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围，并求其单调区间.

24．设x =１与ｘ=２是函数f (ｘ)=a ln ｘ+ｂｘ２

+x 的两个极值点. (１)试确定常数a 和ｂ的值;

(2)试判断x =1,x =２是函数f (ｘ)的极大值还是极小值，并说明理由.

25.已知a 、ｂ为实数，且b ＞a >e ,其中e 为自然对数的底,求证:a ｂ＞ｂａ

.

２6．设关于x 的方程2x 2-ａｘ-２＝０的两根为α、β（α＜β),函数ｆ（x )=1

42+-x a x ．

（1）求f (α)·f (β)的值；

(2)证明ｆ（x )是［α，β］上的增函数;

(3）当ａ为何值时，f (x )在区间［α，β]上的最大值与最小值之差最小?

【参考答案】

一、1.解析:y ′=e s ｉｎｘ

［ｃo ｓｘcos(sin ｘ）－cos ｘsin(sin ｘ）],y ′(0）=e 0(１-0)=1. 答案：B

２.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为ｋ＝0

0x y ，另一方面,ｙ′=(59++x x )′=2

)

5(4

+-x ，故

ｙ′(ｘ0)=k ，即

)

5(9)5(40000020++=

=+-x x x x y x 或x ０2+18ｘ0+45＝0得x 0(1)=－3,y ０

（2)

=－１5,对应有y 0(１

)=3，y ０(2)=5

35

15915=+-+-,

因此得两个切点A (-3,3)或Ｂ(-15，5

3),从而得y ′(A )=

3

)53(4+-- =－１及y ′(B ）=

251

)

515(42

-=+-- ，由于切线过原点，故得切线:l Ａ:y =－x 或ｌＢ:ｙ＝－25

x .

答案：Ａ ３．解析:由x

f x )0(lim

'→=-1,故存在含有

0的区间（ａ,b )使当x ∈（a ,b ),x ≠０时

x

f )0('＜0,于是当x ∈(a ,0）时f ′(０)>０,当x

∈（0,b )时，f ′(０）＜0,这样f (ｘ)在（a ,０）上单增，在(0，b ）上单减. 答案:B

４.解析:∵f ′n (x ）=２xn 2（

1－ｘ）ｎ

-ｎ3x 2(1-x )n -1

=ｎ２ｘ(1－x )n －

1[２(1－ｘ)-nx ],令f ′n (x )=0，得x 1=0,ｘ2=1,x 3＝n

+22,

易知f n (ｘ)在x =n +22时取得最大值,最大值f n (n +22)=ｎ2(n +22)2(1－n +22)ｎ

=4·(n

+22)n +1

.

答案：D

5、B

6、A

7、Ｂ

8、Ｄ

9、B 10、C 1１、B 1２、C 二、13．解析：根据导数的定义:ｆ′(x 0)=k

x f k x f k ---+→)()]([(lim 000

(这时k x -=?)

.

1)(2

1)()(lim 21]

)

()(21[lim 2)()(lim

0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－1

1４.解析:设g （x )=(x ＋１）（x +２)……（x +n )，则f (x )=xg (ｘ),于是f ′（x )=g (x )+xg ′（x ),

f ′(0)=

g (0)+０·g ′(0）=g （0）=1·2·…n ＝n ！ 答案:n !

15.解析：函数的定义域是x >3

1或x <－2,f ′(x )＝

2

53log 2-+x x e a .(３x 2＋5x －２)′=)2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,

①若a ＞1，则当x >3

1时，log a e >0,6x +5>0,(3x －1)（x +２)>0,∴f ′（x )＞0,∴函数f (ｘ)在（3

1,＋∞)上是增函数,x ＜-2

时，f ′(ｘ)＜0.∴函数f (x )在(－∞，－2)上是减函数.

②若0<ａ＜１,则当x ＞3

1时，f ′(x )＜0,∴ｆ(x ）在(3

1，+∞)上是减函数，当x ＜-2时，

f ′(x ）>0,∴f (ｘ)在(－∞,-2)上是增函数.

答案：(-∞,-2）

１6.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为２x ，高为h ，那么ｈ=AO +B Ｏ=R +22x R -,

解得

x 2=h (2R -h ),于是内接三角形的面积为

S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=?- 从而)2()2(2

14321

43'--='-h Rh h Rh S

3

23221

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=

--=-.

令S ′=０,解得h =2

3R ,由于不考虑不存在的情况，所在区间（0，２Ｒ)上列表如下：

h (0, 23R )

2

3R

(2

3,2R )

S ′ + ０ -

S

增函数

最大值 减函数

由此表可知，当x =2

3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：2

3R

三、１７. 解：由ｌ过原点,知k =0

0x y (ｘ0≠0）,点(ｘ0,y ０)在曲线C 上，y 0=x 03-3x 02+２x ０,

∴0

0x y =x 02-3ｘ0+2,y ′=3ｘ2-6x +２,ｋ=3x 02-6x 0+２

又ｋ＝0

0x y ，∴3x 02-６x 0+２＝x 02－３x 0＋２,2x 0２

－３x 0=0,∴x ０=0或x 0=2

3.

由ｘ≠0,知x 0＝2

3,

∴y 0＝(2

3）3-3(2

3)2+２·2

3=-8

3.∴k ＝0

0x y =-4

1.

∴l 方程y =-4

1ｘ 切点(2

3,－8

3).

18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- ,

令f ’（ｘ)=０得,ｘ=0,x=１，x=

p

22+ , 在［0,１]上，f （0)=0,ｆ(1）=0,2p )p

2p (4)p 22(f ++=+ .

∴ p 2max )p

2p (4)]x (f [++= ．

１9.设双曲线上任一点P(ｘ０,y 0）,