华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库及参考答案

华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库及参考答案

一、判断说明题

1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x

?0

x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x

?

x p(x))＞0。

如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。

3、

（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建

立的等式是已知关系式。

（2） 它是常微分方程，理由同上。

（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是

已知关系式。

4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。

5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

6、 y `

＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m

f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q ≠0则

dx

dy

＝－y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故

y `

＝f(x,y)为齐次方程。

9、 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 dx dy =x dx

dz ＋z

10

、

二、计算题

1、方程变形为

dx

dy =2642-+-+-y x y x ，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）

作变换??

?+=+=2

1v y u x ，于是得到du dv ＝v u v u ++-42，它已经是齐次方程。

2、令z=x+y+1,则

dx dz ＝1＋dx dy ，于是dx

dz

=1+f(z),

只要＋f(z)≠0,可分离变量得 x=

?+)(1z f dz

+C

3、p(x)=-cosx 用线性齐方程初值问题解公式即得 y=exp(sinx)

4、用线性方程通解公式：

y=exp(-?xdx 2)(C+?

xdx 2)dx)=exp(-x 2)(C+2exp (-x 2))=2+Cexp(-x 2

) 5、公式求得方程通解 y(x)=exp(2x) (C+

?

x 2

exp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+

3

1x 3) 利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=

3

1x 3

exp(2x) 6、x 看作自变量，y 看成函数，则它是非线性方程，经变形为

dy

dx

＝x+y 以x 为未知函数,y 是自变量，它是线性方程，则通积分为

x=exp(?dy )(c+))exp(dy y y ?

-=cexp(y)-y-1

7、解：将方程变形为x 2

y 2

dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x

dx

，当xy ≠0,y ≠1时积分得

22x ＋y+ln 1-y +x

1=c

8、解： 这是齐次方程。令y=zx 原方程化为

－321u u +du=x dx 两边积分得 2

21z －ln|z|=ln|cx|

用z=

x

y

代入得 y=c 1exp(22

2y

x ) y=0也是原方程的解。

9、解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0 , y 0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为

du dv ＝v u u v --22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得1

22--z z dz=u du ,积分得3

3)1(1

u z z +-＝C

原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3 10、解 当0≠y 时，分离变量得

x x x y y d 1d 2

+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(2

1

ln 2++= 即通解为

21x C y +=

11、解 齐次方程的通解为

x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-=

代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5

1

)(

原方程的通解为

x C y 3e -=+x 2e 5

1

12、解 由于

x

N

xy y M ??==??2，所以原方程是全微分方程．

取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

10

30

23d d )(C y y x xy x y

x

=++??

即 C y y x x =++42242 13、解 令t y ='，则原方程的参数形式为

???='+=t y t x t

e

（2分）

由基本关系式

t t x y y t d )e 1(d d +='= 积分有

C t t y t +-+=

)1(e 2

12

得原方程参数形式通解

??

?

??+-+=+=C

t t y t x t

t )1(e 21e 2 14、解 原方程为恰当导数方程，可改写为

0)(=''y y 即

1C y y =' 分离变量得

x C y y d d 1= 积分得通积分

2122

1

C x C y +=

15、解 方程的特征根为01=λ，52=λ

齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

x B x A x y 5c o s 5s i n

)(1+= 代入原方程，比较系数得

???=--=+-0

25251

2525B A B A

确定出 50

1-

=A ， 501=B

原方程的通解为 )5s i n 5(c o s 50

1

e 521x x C C y x -++=

16、解 特征方程为 014

11=--=-λ

λλE A

即 0322=--λλ

特征根为 31=λ，12-=λ 31=λ对应特征向量应满足

???

???=????????????--0031413111b a 可确定出

??

?

???=??????2111b a

同样可算出12-=λ对应的特征向量为

???

???-=??????2122b a

所以，原方程组的通解为

??

????-+??????=???

???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 17、方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0 , y 0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为

du dv ＝v u u v --22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得1

22--z z dz=u du ,积分得33)1(1u z z +-＝C

原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3

+3

18、解：（！）此为贝努利方程。令z=y 得dx

dz －x 2z=2x

,它是线性方程。 此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x 作变换y=z-x,得贝努利方程z '+2z=z 2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。

（2）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z'+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。

19、

20、

21、

22、

23、

24、

25．求方程

x y

x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x

u

x tan d d =

当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x

x

u u +=??

C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x

y

=sin

26．求方程0d d )1(2

=+--y x x y x 的通解 解：积分因子2

1

)(x x =

μ， 则

0d 1

d 12

2=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为

101

2

2d d 1C y x x y

x y x

=+--??

即

C x

x x y =++1

27．求方程2

22

1)(x y x y y +

'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2

2

2

x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

整理得 ()012=??

?

??--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2

x

p =,代入（*） 得解 42x y =

取

01=-dx

dp

,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22

2

Cx Cx x y ++= 28．求方程53x

y y e '''-=的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为 032

=-λλ， 特征根为 01=λ，32=λ

故齐次方程的通解为 x

C C y 321e += 因为5=α不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

x

A x y 51e )(= 代入原方程，x x x

A A 555e e 15e

25=-

即 10

1

=

A ， 故原方程的通解为 x x

C C y 5321e 10

1e ++=

29．求方程x y y 2sin 34=+''的通解

解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 042

=+λ 特征根为 i 22,1±=λ，故齐次通解是 x C x C y 2sin 2cos 21+= 由于 i i 2±=±βα是特征根，故原方程有形如