14高中数学解析几何问题的题型与方法

14高中数学解析几何

问题的题型与方法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第14讲 解析几何问题的题型与方法

一、知识整合

高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量．．．．．．．．．．的基本方法．．．．．

，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.

2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.

4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系

数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ

θ=??=?

（θ为参数），明确各字母的意

义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.

5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析

2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占

18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重

视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．

1．选择、填空题

1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主

（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查

例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．

（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查

例2（04辽宁）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足

2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是2

1时，点P 到坐标原点的距离是

（A ）26 （B ）2

3

（C ）3 （D ）2

1．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查 例3（04天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆

22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是

（A

）0k <

< （B

）0k <<

（C

）0k << （D ）05k <<

2．解答题

解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．

例4(04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为1

2

，一个焦点是F （-m,0）(m 是

大于0的常数).

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.

若

=，求直线l 的斜率．

本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高． 解：（I ）设所求椭圆方程是).0(122

22>>=+b a b

y a x

由已知，得 ,2

1

,

==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342

2

22=+m

y m x

（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=

当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得

,

62.139494,)3,32(.3

1

210,32212022

222±==+-=++=-=+-=

k m

m k m m km

m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点

0(2)()2,2,1212

Q Q m km

MQ QF x m y km +-?-=-==-==---当时.

于是.0,13442

2

222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 例5（04全国文科Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222

=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两

个不同的点A 、B .

（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：

（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5

.12

PA PB =

求

a 的值. 解：（I

）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组

??

??

?=+=

-.1,12

2

2y x y a

x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

.120.0)1(84.012

24

2

≠<-+≠-a a a a a a 且解得所以

双曲线的离心率

01,

(2,).e a a e e e ==<<≠∴>

≠+∞即离心率的取值范围为

（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A

.12

5

).1,(12

5)1,(,125212211x x y x y x PB PA =

-=-∴=

由此得 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，

2

2222222

22172522289,

.,,12112116017

0,.

13

a a a x x x a a a a a =-=--=--->=所以消去得由所以

例6（04全国文科Ⅱ）给定抛物线C ：

,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求OB OA 与夹角的大小；

（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距的变化范围.

解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为

.1-=x y

将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x 设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x

.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=?=?x x x x y y x x y x y x

.41]16)(4[||||2121212

2222121=+++=+?+=x x x x x x y x y x OB OA

.41

14

3||||),cos(-=?=

OB OA OB OA 所以与夹角的大小为.41143arccos -π （Ⅱ）由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ

即???-=-=-.

1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=， ∵ ,4,422

2

12

1x y x y == ∴.122x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ

∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或 当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1

212---λλ

λλ或 由

,12

1

212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,4

3

1234,341243-≤--≤-≤-≤

λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].3

4

,43[]43,34[?--

从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，

① ②

01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．

三、热点分析与2005年高考预测

1．重视与向量的综合

在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去．

例7（02年新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足βα+=，其中α、β∈R ，且α＋β=1，则点C 的轨迹方程为

（A ）（x －1）2＋（y －2）2=5 （B ）3x ＋2y －11=0 （C ）2x －y =0 （D ）x ＋2y －5=0 例8（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线

2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高

在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大． 3．与数列相综合

在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，

03年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题．

例9（04年浙江卷）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个

正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2

1

21++++=n n n n y y y a

（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ;

（Ⅱ）证明;,4

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*+∈-=N n y y n

n

（Ⅲ）若记,,444*

+∈-=N n y y b n

n n 证明{}n b 是等比数列.