杭州市初中数学三角形图文解析

杭州市初中数学三角形图文解析

一、选择题

1．下列说法不能得到直角三角形的（ ）

A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形

B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形

C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形

D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.

【详解】

A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；

B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；

C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形

故选：C

【点睛】

本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；

（1）有一个角是直角的三角形；

（2）三边长满足勾股定理逆定理.

2．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC 于E ，若BC ＝10cm ，则△DEC 的周长为（ ）

A ．8cm

B ．10cm

C ．12cm

D ．14cm

【答案】B

【解析】

【分析】 根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD ＝DE ，AB ＝BE ，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.

【详解】

∵ BD 是∠ABC 的平分线，

∴ ∠ABD ＝∠EBD .

又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边，

∴ △ABD ≌△EBD (AAS)，

∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ，

∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC

＝AD ＋DC ＋EC

＝AC ＋EC ＝AB ＋EC

＝BE ＋EC ＝BC

＝10 cm.

故选B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

3．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）

A ．1

B ．2

C ．32

D ．85

【答案】C

【解析】

【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．

【详解】

解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，

∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，

由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，

∴CF=5-3=2，

在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，

由勾股定理，得：222

2(4)x x +=-，

解得：

3

2

x=；

∴

3

2 BE=．

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度．

4．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为()cm

A．6 B．8 C D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A＝x，

则∠B＝2x，∠C＝3x，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，

解得x＝30°，

即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB＝2BC＝2×4＝8cm，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．2, 2,5B．C．3,4,8D．4,5,6

【答案】D

【解析】

【分析】

三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．

【详解】

根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．

A、2+2=4＜5，此选项错误；

B、＜3，此选项错误；

C、3+4＜8，此选项错误；

D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．

故选：D．

【点睛】

此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．

6．下列命题是假命题的是（）

A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16

C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限

D．若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；

B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；

C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；

D. 若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡，正确，是真

命题；

故答案为：B

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．

7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；

B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；

C、72+242=252，152+202=252，故C正确；

D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，

故选C．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

8．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()

A．50°B．55°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．

【详解】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，

∵11∥l2，

∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，

由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，

∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．

9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．

【详解】

解：如图

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，

∴22

34

，

作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，

∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，

∴E′在AD上，且E′是AD的中点，

∵AD=AB，

∴AE=AE′，

∵F是BC的中点，

∴E′F=AB=5．

故选C．

10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接OD，设⊙O半径OD为R,

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，

∴DM=1

2

CD=4cm，OM=R-2,

在RT△OMD中，

OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,

解得：R=5,

∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．

故选B ．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

11．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12

AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】A

【解析】

【分析】 由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．

【详解】

由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，

∴CD 为AB 边中线，

∴S △CDA =S △CDB ，

∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，

∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．

故选：A ．

【点睛】

本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．

12．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）

A．1 B．3

4

C．

2

3

D．

1

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．

【详解】

∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=4，AC=3，

∴BG=1，

∵AE是△ABC中线，

∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

∴EF=1

2

BG=

1

2

，

故选：D．

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

13．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）

A．28°B．22°C．32°D．38°

【答案】B

【解析】

【分析】

延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠

2=∠AEC ，代入求出即可．

【详解】

解：如图，延长AB 交CF 于E ，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∠ABC=60°，

∵∠1=38°，

∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，

∵GH ∥EF ，

∴∠2=∠AEC=22°，

故选B ．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

14．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）

A ．三条边的比为2∶3∶4

B ．三条边满足关系a 2＝b 2﹣c 2

C ．三条边的比为1∶12

D ．三个角满足关系∠B +∠C ＝∠A

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A 、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；

B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2，即a 2+c 2=b 2，故能判断一个三角形是直角三角形；

C 、三条边的比为1：12，12+12=2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；

D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ，则∠A 为90°，故能判断一个三角形是直角三角形． 故选：A ．

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

15．如图为一个66?的网格，在ABC ?，A B C '''?和A B C ''''''?中，直角三角形有（ ）

个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．

【详解】

设网格的小正方形的边长是1，

由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，

ABC ?的三边分别是：10，5，5； 由于222

5510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ?是直角三角形； '''A B C ?的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于()()(22

210513+?， 根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ?不是直角三角形；

A B C ''''''?的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26； 由于()()()222

18826+=， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''?是直角三角形；

因此有两个直角等三角形；

故选C ．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．

16．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）

A ．1倍

B ．2倍

C ．3倍

D ．4倍

【答案】B

【解析】

设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为

，即斜边长扩大到原来的2倍，故

选B.

17．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．

A．0根B．1根C．2根D．3根

【答案】B

【解析】

三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B

18．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（）

A．0°

【答案】C

【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角

∴顶角大于90°小于180°

∴两个底角之和大于0°小于90°

∴每个底角大于0°小于45°

故选：C

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )

A．30°B．45°C．36°D．72°

【答案】A

【解析】

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，

∴∠A=36°.

故选A.

20．如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；

(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B

【解析】

【分析】 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．

【详解】

∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，

∴∠CGE=∠BCA=90°，

∴∠BCD+∠CEG=90°，

又∵CD 是高，

∴∠EFD+∠FED=90°，

∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），

∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；

只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBC=∠EBF ，

在△BCE 和△BFE 中，

EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠?????

＝＝＝，

∴△BCE ≌△BFE （AAS ），

∴BF=BC ，故（4）正确，

综上所述，正确的有（1）（4）共2个．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直

角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．