清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法_Lanczos算法与MINRES算法)
高等数值计算实践题目一
1. 实践目的
本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法，Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上，进一步探讨这3种算法的数值性质，主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。
2. 实践过程
（一）生成矩阵
（1）作5个100阶对角阵i D 如下：
1D 对角元：1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ====
2D 对角元：1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元：,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ====
4D 对角元：,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元：,1,...,100j d j j ==
记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1i
λ和i
n λ，则i D 特征值分布有如下特点：
1D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较小，
2D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较大， 3D 的特征值有较多接近于1i λ，并且1/i i n λλ较大，
4D 的特征值有较多接近于中间模特征值，并且1/i i n λλ较大， 5D 的特征值均匀分布，并且1/i i n λλ较大
（2）随机生成10个100阶矩阵j M ：
(100(100))j M fix rand =g
并作它们的QR 分解，得j Q 和j R ，这样可得50个对称的矩阵T
ij j i j A Q DQ =，其中i D 的对角元就是ij A 的特征值，若它们都大于0，则ij A 正定，j Q 的列就是相应的特征向量。结合（1）可知，ij A 都是对称正定阵。
（二）计算结果
以下计算，均选定精确解(100,1)exact x ones =，初值0(100,1)x zeros =由ij exact k
A x b =计算得到k b （算法中要求解的精度为10e -）。Lanczos 算法和MINRES 算法均分别使用不带m 循环和有带m 循环进行计算，其中带m 循环时，取15m =进行计算。
（1） 特征值分布对3种算法的影响
特征值分布对共轭梯度法的影响
Lanczos m算法的影响特征值分布对()
m算法的影响
MINRES
特征值分布对()
（2）特征向量矩阵对3种算法的影响
D）
特征向量对共轭梯度法的影响（取定
2
特征向量对Lanczos算法的影响（取定2D）
特征向量对()Lanczos m 算法的影响（取定2D ）
特征向量对MINRES 算法的影响（取定2D ）
特征向量对()MINRES m 算法的影响（取定2D ）
（3）从ij A 选取5个画出收敛率曲线 1.共轭梯度法的
1
k A k A
e k e -:曲线以及k
A
e k :曲线
（当迭代步数()j j k n n >表示在步收敛，
1
k A k
A
k A
e e e -和由于初始化均为零）
https://www.360docs.net/doc/30642859.html,nczos 算法的
1
k A k A
e k e -:曲线以及k
A
e k :曲线
（当迭代步数()j j k n n >表示在步收敛，
1
k A k
A
k A
e e e -和由于初始化均为零）
3.()Lanczos m 算法的
1
k A k A
k e -:曲线以及k
A
e k :曲线
（当迭代步数()j j k n n >表示在步收敛，
1
k A k
A
k A
e e e -和由于初始化均为零）
4.MINRES 算法的
1
k A k A
k e -:曲线以及k
A
e k :曲线
（当迭代步数()j j k n n >表示在步收敛，
1
k A k
A
k A
e e e -和由于初始化均为零）