20172018学年高二物理电学专题提升专题27带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题

专题27 带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题

一：专题概述

1.带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形

直线边界(粒子进出磁场具有对称性)

平行边界(粒子运动存在临界条件)

圆形边界(粒子沿径向射入，再沿径向射出)

2.带电粒子在有界磁场中的常用几何关系

(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点． (2)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍．二：典例精讲

1．直线边界磁场的临界、极值问题

典例1：平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。粒子沿纸面以大小为

v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有

一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )

【答案】D

【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r ＝mv qB

。轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所

示，由于AD －

＝2r sin 30°＝r ，故△AO ′D 为等边三角形，∠O ′DA ＝60°，而∠MON ＝30°，则∠OCD ＝90°，

故CO ′D 为一直线，OD －

＝CD

－

sin 30°＝2CD －

＝4r ＝4mv

，故D 正确。

2．圆形磁场的临界、极值问题

典例2：如图所示,竖直放置的平行金属板A 、B 间电压为U 0,在B 板右侧CDMN 矩形区域存在竖直向下的匀强电场,DM 边长为L ,CD 边长为L ,紧靠电场右边界存在垂直纸面水平向里的有界匀强磁场,磁场左右边界为同心圆,圆心O 在CDMN 矩形区域的几何中心,磁场左边界刚好过M 、N 两点.质量为m 、电荷量为+q 的带电粒子,从A 板由静止开始经A 、B 极板间电场加速后,从边界CD 中点水平向右进入矩形区域的匀强电场,飞出电场后进入匀强磁场.当矩形区域中的场强取某一值时,粒子从M 点进入磁场,经磁场偏转后从N 点返回电场区域,且粒子在磁场中运动轨迹恰与磁场右边界相切,粒子的重力忽略不计,取sin37°=,cos37°=.

(1) 求粒子离开B 板时的速率v 1. (2) 求磁场右边界圆周的半径R.

(3) 将磁感应强度大小和矩形区域的场强大小改变为适当值时,粒子从MN 间飞入磁场,经磁场偏转返回电场前,在磁场中运动的时间有最大值,求此最长时间t m .

【答案】(1) (2) L (3) ·

【解析】(1) 粒子从A 到B 的加速过程中,由动能定理有

qU 0=m -0

解得v 1=

(2) 如图所示,粒子刚好沿着磁场右边界到达N 点

图中tan θ==θ=37°

带电粒子在磁场中做圆周运动的半径

r=tan θ= L

则R=+r=L

(3) 粒子从同一点离开电场时,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,运动时间也最长;粒子从不同点离开电场,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,且当矩形区域场强为零时,粒子进入磁场时速度最小,粒子在磁场中运动的时间最长,则

t m=·

解得t m=·

3．三角形磁场的临界、极值问题

典例3：如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y 轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：

(1)电场强度E 的大小；

(2)粒子到达a 点时速度的大小和方向； (3)abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值。

【答案】(1)mv 20

2qh (2)2v 0 方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角 (3)2mv 0qL

(2)粒子到达a 点时沿y 轴负方向的分速度v y ＝at ＝v 0 所以v ＝v 2

0＋v 2

y ＝2v 0

方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角。 (3)粒子在磁场中运动时，有

qvB ＝m v 2

当粒子从b 点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r ＝22L ，所以B ＝2mv 0qL

三总结提升

由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．

(1)两种思路

一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；

二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值． (2)两种方法一是物理方法： ①利用临界条件求极值； ②利用问题的边界条件求极值； ③利用矢量图求极值．二是数学方法： ①利用三角函数求极值； ②利用二次方程的判别式求极值； ③利用不等式的性质求极值； ④利用图象法等．

(3)从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．四提升专练

1.(多选) 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．

A ．若r <2mv

，则0°<θ<90°

B ．若 r ≥2mv qB ，则t ≥πm

C ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv

D ．若r ＝2mv qB

，则t ＝πm

【答案】AD

2.(多选)如图所示,边长为L 的正方形区域abcd 内存在着匀强磁场.一个质量为m 、电荷量为q 、初速度为

v 0的带电粒子从a 点沿ab 方向进入磁场,不计重力,则( )

A. 若粒子恰好从c 点离开磁场,则磁感应强度B=

B. 若粒子恰好从d 点离开磁场,则磁感应强度B=

C. 若粒子恰好从bc 边的中点离开磁场,则磁感应强度B=

D. 粒子从c 点离开磁场时的动能大于从bc 边的中点离开磁场时的动能【答案】BC

【解析】若粒子恰好从c 点离开磁场,轨迹半径r=L ,由r=,得磁感应强度B=,A 错误;若粒子恰好从d

点离开磁场,轨迹半径r=,由r=,得磁感应强度B=,B 正确;若粒子恰好从bc 边的中点离开磁场,

其运动轨迹如图所示,

由几何知识得r 2

+L 2,可得r=L ,由r=得磁感应强度B=,C 正确;该题改变的是磁感应强度,

粒子的入射速度是不变的,由于洛伦兹力不做功,不能改变粒子的动能,所以粒子从c 点离开磁场时和从bc 边的中点离开磁场时的动能相等,D 错误.

3.(多选) )如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界．一质量为m 、电荷量为q 的粒子在纸面内从O 点射入磁场．若粒子速度为v 0，最远能落在边界上的A 点．下列说法正确的有( )．

A ．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v 0

B ．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v 0

C ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v 0－qBd 2m

D ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v 0＋qBd 2m

【答案】BC

4. 空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电

荷量为q(q＞0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计

重力，该磁场的磁感应强度大小为( )．

【答案】A

5.(多选)如图所示,以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域,磁感应强度为B,∠A=60°,AO=L,在O点

放置一个粒子源,可以向各个方向发射某种带负电粒子(不计重力作用),粒子的比荷为,发射速度大小都为

v0,且满足v0=.粒子发射方向与OC边的夹角为θ.对于粒子进入磁场后的运动,下列说法中正确的是()

A. 粒子有可能打到A点

B. 以θ=60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短

C. 以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等

D. 在AC边界上只有一半区域有粒子射出

【答案】AD

【解析】根据Bqv0=m,又v0=,可得r==L,又OA=L,所以当θ=60°时,粒子经过A点,所以A正确;

根据粒子运动的时间t=T,圆心角越大,时间越长,粒子以θ=60°飞入磁场中时,粒子从A点飞出,轨迹圆

心角等于60°,圆心角最大,运动的时间最长,所以B错误;当粒子沿θ=0°飞入磁场中,粒子恰好从AC中点

飞出,在磁场中运动时间也恰好是,θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大,在AC边上有一半区域有粒子飞出,所以C错误,D正确.

6.(多选) 空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力．下列说法正确的是( )．

A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大

【答案】BD

7.(多选) 利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )．

A．粒子带正电

B ．射出粒子的最大速度为

qB 3d ＋L

C ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大【答案】BC

8.(多选) 如图所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为

B ，右边界PQ 平行y 轴，一粒子(重力不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ角的速率v 垂直射入磁场，当斜

向上射入时，粒子恰好垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )

2πa 3v 2πa 3v 4πa 3v 4πa

【答案】C

【解析】粒子在磁场中运动轨迹如图所示，

则由图知斜向上射入时有r sin θ＝a ，斜向下射入时有r sin θ＋a ＝r ，联立求得θ＝30°，且r ＝2a ，

由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，解得r ＝mv Bq ，即粒子的比荷为q m ＝v

2Ba ，所以粒子恰好不从右边界射出时

在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t ＝T 3＝4πa

，C 正确。

9.放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，

磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：

(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．【答案】(1)mv Bq (2)? ????π2＋1m 2v 2q 2B

(2)设圆弧OA 圆心为C ，沿与x 轴负向成任意角θ射入的粒子到E 点时速度平行x 轴，圆弧OE 对应的圆心为D ，则由几何知识可知四边形OCED 为菱形，即E 点在以C 为圆心的圆上，即所有粒子射出磁场的位置均在以C 为圆心的圆周上，所以最小磁场区域是以C 为圆心、R 为半径的圆的一部分，即图中OAEBO 包围的面积，有S min ＝34πR 2＋R 2－14πR 2

＝? ????π2＋1? ??

??mv Bq 2.

10.如图所示，长方形abcd 长ad ＝0.6 m ，宽ab ＝0.3 m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B ＝ T ．一群不计重力、质量m ＝3×10－7

kg 、电荷量q ＝＋2×10－3

C 的带电粒子．以速度v ＝5×102

m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，不考虑粒子间的相互作用．

(1)若从O 点射入的带电粒子刚好沿Oe 直线射出，求空间所加电场的大小和方向． (2)若只有磁场时，某带电粒子从O 点射入，求该粒子从长方形abcd 射出的位置．【答案】(1)125 V/m ；平行bc 边向下 (2)0.22 m

(2)如图所示，

若只有磁场时，某带电粒子从O 点射入，由左手定则可知粒子射入后向上偏转

由qvB ＝m v 2R 得：轨道半径R ＝mv

＝0.3 m

得R ＝ad

由几何关系得θ＝60°

y 1＝R －R cos 60°，y 2＝(ab －R sin 60°)tan 60°

所以y ＝y 1＋y 2

解得y ＝(3－1)m ＝0.22 m 所以射出点距e 点的距离为0.22 m

11. 如图所示，在xOy 平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xOy 平面向里，边界分别平行于x 轴和y 轴．一个电荷量为e 、质量为m 的电子，从坐标原点O 以速度v 0射入的第二象限，速度方向与y 轴正方向成45°角，经过磁场偏转后，通过P (0，a )点，速度方向垂直于y 轴，不计电子的重力．

(1)若磁场的磁感应强度大小为B 0，求电子在磁场中运动的时间t ； (2)为使电子完成上述运动，求磁感应强度B 的大小应满足的条件；

(3)若电子到达y 轴上P 点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y 轴右侧加方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 1，在y 轴左侧加方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场，电子在第(k ＋1)次从左向右经过y 轴(经过P 点为第1次)时恰好通过坐标原点．求y 轴左侧磁场磁感应强度大小B 2及上述过程电子的运动时间t .

【答案】(1)3πm

4eB 0

(2)B ≥

2＋1

mv 0

(3)2k πm eB 1－πa 2v 0

(2)设磁感应强度最小值为B min ，对应最大回旋半径为R ，圆心为O 1，则有ev 0B min ＝mv 2

，R ＋2R ＝a ，解得B min

＝

2＋1mv 0

则磁感应强度B 应满足的条件为B ≥

2＋1mv 0

图乙

(3)设电子在y 轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r 1和r 2，则有

ev 0B 1＝mv 20r 1，ev 0B 2＝mv 20

r 2

由图乙所示的几何关系可知

2k (r 1－r 2)＝a ，解得B 2＝2kmv 0B 1

2kmv 0－aeB 1

设电子在y 轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T 1和T 2，则T 1＝2πm eB 1，T 2＝2πm eB 2，t ＝k ·T 1＋T 2

解得t ＝2k πm eB 1－πa

2v 0

11. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行。

(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？

(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【答案】(1)

3Bqr 3m (2)3Bqr

(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有

乙

12. 如图，A 、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA ＝30°，OA 的长度为L 。在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t 0。不计重力。

(1)求磁场的磁感应强度的大小；

(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；

(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为5

3t 0，求粒子此次入射速

度的大小。

【答案】(1)πm 2qt 0 (2)2t 0 (3)3πL

7t 0

【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t 0内其速度方向改变了90°，故其周期T ＝4t 0①

设磁感应强度大小为B ，粒子速度为v ，圆周运动的半径为r ，由洛伦兹力公式和牛顿定律得qvB ＝m v 2

②

匀速圆周运动的速度满足v ＝2πr

③

联立①②③式得B ＝πm 2qt 0

④

(2)设粒子从OA 边两个不同位置射入磁场，能从OC 边上的同一点P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。

图(a)

设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。由几何关系有：θ1＝180°－θ2⑤ 粒子两次在磁场中运动的时间分别为t 1与t 2，则t 1＋t 2＝T

＝2t 0⑥

设粒子此次入射速度的大小为v 0，由圆周运动规律

v 0＝

2πr 0

⑨

联立①⑦⑧⑨式得v 0＝

3πL

7t 0

⑩