(整理)二元函数极限的求法.

二元函数极限的求法

数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002

1.引言

多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.

2.二元函数极限的定义

定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.

有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即

}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.

知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多

元函数极限的定义.

定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0

lim M M f M A →=或

()()0f M A M M →→.

定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数

()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()()

22

000x x y y δ<

-+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0

M 点的极限。记为()0

lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.

定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数

()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当

000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时，

有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为

()0

l i m M M f M A →=或

()()0f M A M M →→.

注：（1）和一元函数的情形一样，如果0

lim ()M M f M A →=,则当M 以任何

点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A .

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.

3.二元函数极限的计算方法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法，对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.

3.1利用二元函数极限的定义求解

例1 求

()()

()1

22

,0,0lim

sin x y x y x y -→??++??.

解：当()(),0,0x y ≠时，()1

22sin 0x y x y x y x y -??++-≤+≤+??.

任意地给定一个正数ε，取2

ε

δ=，则当,x y δδ<<,并且()(),0,0x y ≠时，

有

()1

22

sin 0x y x y x y ε-??++-≤+

所以

()()

()1

22

,0,0lim

sin 0x y x y x y -→??++=??.

3.2利用极限的运算法则求解

二元函数的极限的运算法则有着和一元函数类似的运算法则.

例2 求()()22

,0,02lim x y x xy y x y

→-+-.

解：由于2

222x xy y x y -+=-，则

()()22

,0,02lim

x y x xy y x y

→-+-()()()()(),0,0,0,0lim lim x y x y x y x y →→=-=±- ()

lim lim 0x y x y →→=±-=.

3.3利用初等函数的连续性求解

二元初等函数在定义域内都是连续的.由二元函数极限的定义可知,若

f 为二元初等函数,()000,P x y 是函数f 定义域内一点,则

()()

()()0000,,lim

,,x y x y f x y f x y →=.

例3 求()()

()2

2

,1,0lim

y x y ln x e x y

→++.

解：因为()()2

2

,y ln x e f x y x y

+=+是初等函数，而()1,0是其定义域内的点，

故

()()

()()2

2

,1,0lim

1,0ln 2y x y ln x e f x y

→+==+.

3.4利用无穷小量的相关结论求解

一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用,例如无穷小量的倒数是无穷大量,等价无穷小替换,无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量. 例4 求

()()

()33,0,0sin lim

x y x y x y

→++.

解：()(),0,0x y →时，()()333

3sin x y x

y ++.故

()()

()33,0,0sin lim

x y x y x y

→++

()()33

,0,0lim x y x y x y →+=+

()()

()2

2,0,0

lim

x y x xy y →=

-+

=0.

3.5利用两边夹法则求解

类似于一元函数极限的两边夹法则，可证明二元函数极限的两边夹法则.

设(),f x y ，(),g x y 和(),h x y 在区域D 上有定义,()000,P x y 是D 的内点或界点()()(),,,,g x y f x y h x y ≤≤若

()()

()00,,lim

,x y x y g x y A →=,

()()

()00,,lim

,x y x y h x y A →=则有

()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=.

例5 求

()()22

,,lim

x y x y

x xy y →∞∞+-+.

解：由222x y xy +≥可得

2222

1102x y x y x y x xy y x y xy xy xy x y

+++≤

≤≤=+-++--. 而 ()(),,1111

lim

lim lim 0,x y x y x y x y →∞∞→∞→∞??+=+= ? ??

? 所以

()()22

,,lim

0x y x y

x xy y →∞∞+=-+.

3.6利用重要极限公式求解

有时我们可以利用一元函数的重要极限0sin lim

1x x x →=和1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

直接求解二元函数的极限. 例6 求

()()

()33,0,0sin lim

x y x x y

→++.

解：令33t x y =+，则()(),0,0x y →时0t →，从而

()()

()()()()()()

33,0,03

3

3

3

33

,0,0,0,0sin lim

sin =lim .lim x y x y x y x y x y

x y x y

x y x y →→→++++++

()()()22,0,00sin lim .lim x y t t

x xy y t

→→=-+

=0.

例7 求()()

sin ,,1lim 1x y

x y xy →∞∞??

+ ?

??

.

解：

()()()()sin sin .

,,,,11lim

1lim

1y

x y

xy y

x y x y xy xy →∞∞→∞∞????

+=

+ ? ?????

令t xy =，则

()()()(),,,,11sin sin lim 1lim 1,lim lim 0xy

t

x y t x y y y y e xy t y y →∞∞→∞→∞∞→∞????

+=+=== ? ?????

.

故

()()sin 0,,1lim

11x y

x y e xy →∞∞??

+== ???.

3.7把二元函数的极限转化为一元函数的极限

定理 1 (),z f x y =在点()000,P x y 的某空心邻域内有定义,cos ,sin αα是向量()00,x x y y --的方向余弦，若()000

lim cos ,sin t f x t y t A αα→++=，则有：

（1）若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=,则A 与α无关;

（2）若A 与α有关,则()()

()00,,lim

,x y x y f x y →不存在.

例8 求()()()()

()()2

2

22

,3,232lim 32x y x y x y →---+- .

解：此极限中003,2x y ==

()(

)()()()

2

2

2200

cos sin lim 3cos ,2sin lim cos sin t t t t f t t t t αααααα→→++=+ ()2220

lim sin cos 0t t αα→==.

从而

()()()()()()22

22

,3,232lim

032x y x y x y →--=-+-.

3.8利用换元法 例9 求()(

)

()

22,0,0

sin lim

x y x y xy xy →+.

解：

()()

()

22,0,0sin lim

x y x y xy xy

→+

()()

(),0,0sin lim

x y xy x y xy

→+????

=

()()

()

()()

,0,0sin lim

x y xy x y x y xy x y →+????=

++

()()

()()()

()()

,0,0,0,0sin lim

lim

x y x y xy x y x y xy x y →→+????=

++.

令()t xy x y =+，因为()(),0,0x y →所以0t →，则

()()

()()

,0,00

sin sin lim

lim

1.x y t xy x y t

xy x y t

→→+????==+ 所以

()()

()()()

()()

,0,0,0,0sin lim

lim

0.x y x y xy x y x y xy x y →→+????+=+

即

()()

()

22,0,0sin lim

0x y x y xy xy

→+=.

例10 求

()()()()22,0,0lim

ln x y x y x y →++ 解：令cos ,sin ,x r y r θθ==则

()()()220ln 2cos sin ln 4ln x y x y r r r r θθ≤++=+≤.

其中()0

00

ln lim ln lim

lim 01r r r r

r r r r

→→→=-=洛必达法则.故由两边夹法则知： ()()()()22,0,0lim

ln =0x y x y x y →++. 在求某个具体极限时,往往是多种方法的综合运用.如在上面的“重要极限”中的两个例子,实际上也运用到了换元法,在“换元法”的例子中用到了两边夹法则以及洛必达法则.但要注意在使用洛必达法则时,必须把原极限转化为相应的一元函数的不定式极限. 4.综合运用

由上我们知道二元函数的求法有很多种,同一个题目可以有多种做法,也可能是几种方法的综合.因此,我们要灵活运用二元函数极限的计算方法. 例1 试应用-εδ定义证明

()()222

,0,0lim

x y x y

x y →+. 方法1 证明：因为()(),0,0x y ≠时，

222

22

1

0.

2

x y xy x x x x y x y ≤

=≤≤++ 从而0,εδε?>=取,则当0,0x y δδ<<<<时,

222

x y

x y ε<+，

所以

()()222

,0,0lim 0x y x y

x y →=+. 方法1的证明中用的是方形邻域.如果用圆形邻域,则证明如方法2.

方法2 证明：因为22222,x x y y x y ≤+≤+,所以

()3

2

222

222

222222

x y x y x y x y x y x y x y

+=≤=++++. 于是对于0,=,εδε?>取则当220,x y δ<+<时

222

x y

x y ε<+,

即 ()()222,0,0lim 0x y x y

x y →=+.

方法3 证明：令cos ,sin ,x r y r θθ==则

()(),0,0x y →→时，r 0.

所以

2222222

cos .sin cos sin x y r r r r x y r

θθθθ==≤+. 从而0,,0r εδεδ?>=<<取当时,有

222

x y

r x y δε≤<=+,

所以

()()222

,0,0lim 0x y x y

x y →=+. 例1主要是运用二元函数极限的定义来解决问题.

例2 求()()

()

222

2,0,0lim

x y

x y x

y

→+.

解：因为

()

()

()2

2

22

2

2

2

220ln ln 4

x y x y x y

x y +≤+≤

+

令22t x y =+,则

()()

()

()2

2222,0,0lim

ln 4

x y x y x y →++

201

lim ln 4

t t t →+=

0=.

所以

()()

()

222

2,0,0lim

x y

x y x

y

→+

()()

()

2222

ln ,0,0lim x y x y x y e

+→=

0e = 1=.

例2中用到的是两边夹法则以及换元法的综合. 例3 ()2

2

00

lim

x y y x x

x y

→→-+.

解法1：设22,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==则 ()2

2

00

lim

x y y x x

x y

→→-+

()20sin cos cos lim ρρθθθρ

→-????

= ()0

lim sin cos cos ρρθθθ→=-????

0=. 解法2： ()22

2

2

2

20x xy y x x

x y

x y

+-≤

≤

++

()2222

2

x x y x y

++≤

+

()222

2

2x y x y

+≤

+

222x y =+. 又 220

lim20x y x y →→+=,

所以

()2

2

00

lim

0x y y x x

x y

→→-=+.

例4 求2

22

lim x x y xy x y →+∞→+∞??

?+??. 解：22102

xy x y ≤

≤

+因为 而 2

+1lim 02x x y →∞→+∞??

= ???,

所以

2

22

lim 0x x y xy x y →+∞→+∞??

= ?+?

?.

例5 求

2

1

lim1

x

x y

x

y a

x

+

→∞

→

??

+

?

??

.

解：

2

1

lim1+

x

x y

x

y a

x

+

→∞

→

??

?

??

1

lim1

x

x x y

x

y a

x

+

→∞

→

??

??

=+

??

?

??

??

??

e

=.

从上述中的几个例题中可以看出,求解二元函数极限的方法不外乎那么几种.因此,总结出二元函数极限的计算方法是很有必要的.

至于三元以至更多元的函数,其极限理论一般地都可由二元函数类推而出.多元函数理论是一元函数理论的发展,但从一元函数转到二元函数,会出现某些原则上是新的东西.比如,二元函数会出现累次极限和重极限的问题.在这里就不一一叙述了.

结束语

本文通过对比一元函数极限的性质和求法,总结出二元函数极限计算的一些常用方法,并给出了相应的例题加以说明.求极限的方法有很多,通过总结出常用的计算方法,让我们做题时知道如何下手.

致谢

经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.

在这里首先要感谢我的导师柴国庆老师.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导.我的论文刚开始写得不尽如意，但是柴老师仍然细心地纠正其中的错误.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作.

然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励.此次毕业论文才会顺利完成.

最后感谢我的母校湖北师范学院大学四年来对我的大力栽培.

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]宋国栋，庞学，毛羽辉，胡善文等，数学分析上下册（第三版）[M].高等教育出版社，1999.03.

[3]任春丽,张海琴.从多元函数极限定义引出的问题[J]. 高等数学研究, 2006, 02.

[4]冯英杰，李丽霞.二元函数极限的求法[J].高等教学研究，2003,(01):32~43.

[5]费定晖,周学圣.数学分析习题集题解[M].山东：山东科学技术出版社,1999,(09): 1~30.

[6]罗志敏，汪琳.一类多元函数极限的计算[J].科技创新导报,2008,(26):243.