期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计80分)
1、(本小题5分)
求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124
2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求
3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞
?1
4、(本小题5分)
?
-.d 1x x x 求
5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021
6、(本小题5分)
??.
d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?
ππ2
1
21cos 1dx x x
8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分)
．
求dx x x ?+3
01 10、(本小题5分)
求函数 的单调区间y x x =+-422
11、(本小题5分) ．求?
π
+2
02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)
．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-
13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求
．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)
求函数的极值y e e x x =+-2
15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222
16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ?+求
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分)
1、(本小题7分)
,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿
2、(本小题7分) .823
2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题
( 本 大 题6分 )
设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230
一学期期末高数考试(答案)
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计77分)
1、(本小题3分)
解原式:lim =--+→x x x x 222312
61812
=-→lim x x x 261218
=2
2、(本小题3分) ?+x x x
d )1(22
?++=222)1()
1d(21x x
=-++121
12x c .
3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=1
故limarctan arcsin
x x x →∞?=1
4、(本小题3分) ?-x
x x
d 1 x x x d 11
1?----=
??-+-=x x
x 1d d
=---+x x c ln .
1
5、(本小题3分) 原式=+214
x x
6、(本小题4分) ??x x x d csc cot 46
?+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x
=--+171979cot cot .x x
c
7、(本小题4分) 原式=-?cos ()
11
12
x d x ππ
=-sin 11
2
x ππ
=-1
8、(本小题4分) 解： dy dx e t t
e t t t t t =+-22222(sin cos )
(cos sin )
=+-e t t t t t t (sin cos )
(cos sin )
2222
9、(本小题4分) 令 1+=x u
原式=-?2412
2()u u du
=-25353
12
()u u
=116
15
10、(本小题5分) )
,(+∞-∞函数定义域
01)1(222='=-=-='y x x x y ，当
(]
[)
+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)
原式=--?d x
x cos cos 9202π
=-+-163302
ln cos cos x x π
=1
62
ln
12、(本小题6分) dx x t dt ='()
[]dt
t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-
13、(本小题6分)
2265
yy y y x '+'=
'=+y yx y 31
5
2
14、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞
'=--y e e x x 2122() 驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值
15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222 =????=1011216101172
16、(本小题10分) dx x x dx x x x ??+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解
?++=x x d 2sin 211)12sin 21(
=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分)
1、(本小题5分)
设晒谷场宽为则长为
米新砌石条围沿的总长为 x x
L x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)
解 :,,.x x x x x x 23
2311288204====
V x x dx x x dx x =-??????=-??ππ()()()223
20446
0428464
=?-?π()1415164175704
x x π=-π=35512)7151(44
三、解答下列各题
( 本 大 题10分 )
证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====
则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f
由上述有且仅有三个实根'f x ()
参考答案
一。填空题（每小题3分，本题共15分）
1、6e
2、k =1 ．
3、x
x +1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、D
2、B
3、C
4、B
5、A
三．计算题（本题共56分，每小题7分）
1.解：x x x 2sin 24lim 0-+→8
1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 2.解 ：21lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe
e e e xe e e e x x e e x 3、解： 2
cos 1
02
lim x dt e x t x ?-→e x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→ 4、解： )111(1122x x x y ++++=' 211x +=
5、解：t
t t t dx dy 211211
2
2=++= 22
2232112()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t
-+===-+ 6、解：C x
d x dx x x ++=++-=+??)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 7、 解：
??=x x e x x x e d cos d cos
?+=sinxdx e cos x x e x ?+=x de sin cos x x e x
dx cos sin cos x e x e x e x x x ?-+=
C x x e x ++=)cos (sin
8、解：????--+==-011
0112
0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … ??+++=-100
11d 1d x x e x x 100
1)1ln(d )11(x x e e x x +++-=?- 2ln )1ln(10
1++-=-x e
)1ln()1ln(11e e +=++=-
四． 应用题（本题7分）
解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1），
于是曲线2x y =与2
y x =所围成图形的面积A 为 31]3132[)(1021023
2=-=-=?x x dx x x A A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
()πππ10352)(105210
42=??????-=-=?y y dy y y V 五、证明题（本题7分）
证明： 设x x f x F -=)()(，
显然)(x F 在]1,21[上连续，在)1,21(内可导，
且 02
1)21
(>=F ，01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,21
[1∈x ，使0)(1=x F .
由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点
)1,0(),0(1?∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf …