matlab中方程根的近似计算要点

实验一方程根的近似计算

一、问题

求非线性方程的根

二、实验目的

1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。

4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。

三、预备知识

方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。它的一般形式是求方程f(x)=0的根。如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。并非所有的方程都能求出精确解或解析解。理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。至于超越方程，通常很难求出其解析解。不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。下面介绍几种常见的求近似根的方法。

1. 求方程近似解的简单方法

1.1 图形方法—放大法求根

图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。不过，不要总是想得到根的精确值。这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。

例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。

解

（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。为此，在matlab命令窗中输入

clf

ezplot x-x,

grid on

hold on

ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])

1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形

clf

x=-2*pi:0.1:2*pi;

y1=zeros(size(x));

y2= x.^5+2*x.^2+4;

plot(x,y1,x,y2)

grid on

axis tight

title('x^5+2x^2+4')

xlabel('x')

从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。

（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。在matlab命令窗中先后键入

subplot(2,2,1)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,2])

subplot(2,2,2)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,-1])

subplot(2,2,3)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.6,-1.5])

subplot(2,2,4)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.55,-1.54])

图1-2 放大法求函数f(x)=x5+2x2+4的根

由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。

1.2 数值方法

非线性方程f(x)=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。

（1）根的隔离与二分法

根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根x *。

二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{x n }来逼近根x *。

用该方法求f(x)=0的近似解可分两步做：

第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间[a,b],使所求根是位于这个区间内的唯一实根。这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x 轴交点的大概位置。

第二步，以根的隔离区间[a,b]的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。具体步骤如下：

取[a,b]的中点x 0=(a+b)/2，若f(x 0)=0，则x 0就是f(x)=0的根x *。若f(a)f(x 0)<0，则根x *必在区间(a,x 0)内，取a 1=a, b 1=x 0；否则根x *必在区间(x 0,b)内，取a 1=x 0, b 1=b 。这样，得到新区间[a 1,b 1]，其长度为[a,b]的一半。如此继续下去，进行n 等分后，得到一组不断缩小的区间序列[a,b], [a 1,b 1], [a 2,b 2],…, [a n ,b n ],…,和对应区间的中点数列x n =(a n +b n )/2, n=0,1,2,…, 其中每个区间都含有根x *，满足

[a,b]?[a 1,b 1] ?[a 2,b 2] ?…? [a n ,b n ] ?…

且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。由于[a n ,b n ]的长度为(b-a)/2n ,当n 不断变大时，这些区间将收敛于一点x *，该点即为所求的根。

当做到第n 步时，有

1*11

22||()()

n n n n x x b a b a +-≤-=-

选择适当的步数n ，就可达到满意的精度。

用二分法，理论上区间中点序列{x n }将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。

（2）简单迭代法

迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。

由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f(x)=0等价变换为

()x x ?=，构造迭代计算公式1()n n x x ?+=。取定初值x 0，算出数列{x n }。如果

{x n }收敛于x *，则有

**1lim lim ()(lim )()n n n n n n x x x x x ???+→∞

→∞

→∞

====

这说明，x *就是方程f(x)=0的根。上面()x x ?=称为不动点方程，()x ?称为迭代函数，数列{x n }称为迭代数列。

（3）牛顿迭代法

如果f(x)在[a,b]上具有二阶导数，f(a)f(b)<0，且f'(x)与f''(x)在[a,b]上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f(x)=0在(a,b)内的惟一实根。牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。具体做法如下：

设x n 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k 处作泰勒展开，得

f(x)=f(x k )+f'(x k )(x-x k )+(f''(x k )/2!)(x-x k )2+…

取前两项来近似代替f(x)，则得近似线性方程

f(x)≈f(x k )+f'(x k )(x-x k )=0

如果f'(x k )≠0，令其解为x k+1，得

x k+1=x k-f(x k)/f'(x k), k=1,2,.. （1-1）上式称为f(x)=0的根的牛顿迭代格式。

牛顿法具有明显的几何意义，方程

y=f(x k)+f'(x k)(x-x k)

是曲线在点(x k, f(x k))处的切线方程。迭代方程（1.1）就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标近似替代曲线与x轴交点的横坐标。因此牛顿法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛最快的方法。

2. matlab中方程求解的基本命令

roots(p)：求多项式方程的根，其中p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。solve(fun)：求方程fun=0的符号解，如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。

solve(fun,var)：对指定变量var求代数方程fun=0的符号解。

fsolve(fun,x0)：用最小二乘法求非线性方程fun=0在估计值x0附近的近似解。fzero(fun,x0)：求函数fun在x0附近的零点。

四、实验过程

1、编写二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0实根的近似值，使误差不超过10-3。

解：

（1）求根的初始隔离区间

在matlab工作区输入命令：

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4')

图1-4

画出曲线图1-4。

由上图可知，根应在-2和2之间，进一步画出该部分的图形。ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4',[-2,2])

图1-5

由图1-5可见，根在0.5与1之间。

（2）编写程序如下：

f=input('输入函数：f(x)=');

qujian=input('输入区间=');

err=input('输入误差=');

a=qujian(1);

b=qujian(2);

yc=1;

while ((b-a)>err)&(yc~=0)

c=(a+b)/2;

x=a; ya=eval(f);

x=b; yb=eval(f);

x=c; yc=eval(f);

if ya*yc<0

b=c;

else

a=c;

end

x0=c

end

存为文件erfenfa.m

调用erfenfa得到如下结果：

>> erfenfa

输入函数：f(x)='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

输入区间=[0,1]

输入误差=0.001

x0=0.5000

x0=0.6250

x0=0.6875

x0=0.6563

x0=0.6719

x0=0.6641

x0=0.6680

x0=0.6699

x0=0.6709

由此得到，方程的根的近似值为0.6709.

2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。

解：

由1可知，[0.5,1]是根所在的区间，在[0.5,1]上

f(x)= x3+1.1x2+0.9x-1.4

f'(x)=3*x2+2.2x+0.9, f''(x)=6x+2.2

f'(x)与f''(x)在[0.5, 1]上保持同号，f(1)>0与f''(1)同号，所以取x0=1为迭代初始值。

用matlab语言编写一般的程序如下：

f=input('输入函数：f(x)=');

n=input('请输入迭代次数：n=');

x0=input('请输入迭代初始值：x0=');

f1=diff(f);

format long

for i=1:n

x=x0;

fx0=eval(f);

x0=x0-fx0/f1x0;

fprintf('x0=%12.10f\n',x0)

end

存为文件niudunfa.m，调用及运行结果如下：

>> niudunfa

输入函数：f(x)='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

请输入迭代次数：n=6

请输入迭代初始值：x0=1

x0=0.7377049180

x0=0.6741688117

x0=0.6706675756

x0=0.6706573108

x0=0.6706573107

x0=0.6706573107

由此得到，方程的根的近似值为0.6706573107。

3. 用matlab中的内部函数求方程的根。

（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；

（2）用solve求上述方程的根；

（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；

（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；

解：

（1）在matlab命令窗口输入命令：

p=zeros(10,1);

p([1:2,end],1)=1;

roots(p)

ans =

-1.213149723059643

-0.901727735578254 + 0.575312094072893i

-0.901727735578254 - 0.575312094072893i

-0.269351937596575 + 0.940578401023146i

-0.269351937596575 - 0.940578401023146i

0.416834006536573 + 0.841919773084660i

0.416834006536573 - 0.841919773084660i

0.860820528168075 + 0.334352258897906i

0.860820528168075 - 0.334352258897906i

（2）在matlab命令窗口输入命令：

solve('x^9+x^8+1=0')

ans =

RootOf(X1^9 + X1^8 + 1, X1)

（3）首先作图确定根的大致范围：

clf, ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^2+4*sin(x)-25')

图1-6

由图1-6可确定两根在x1≈-4，x2≈5附近。再具体求根。x1=fzero('x^2+4*sin(x)-25',-4)

x2=fzero(' x^2+4*sin(x)-25',5)

x1 =

-4.586052690568049

x2 =

5.318580248846235

（4）在matlab命令窗口输入命令：

x=fsolve('x-exp(-x)',0)

Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x =

0.567143165036970

五、实验练习

1、用二分法求方程x3-1.2x+6=0的实根的近似值，使误差不超过10-3，并用roots命令进行检验。

2、用牛顿迭代法求方程x3-1.1x2+2x-8=0的实根的近似值，使误差不超过0.001，并用solve命令进行检验。

3、用简单迭代法求方程x=e-x在0附近的根，并用fsolve命令进行检验。