初中数学总复习《几何基本图形1—三角形》讲义

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学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师

授课日期及时段

课题初中数学总复习——几何基本图形1——三角形

学习目标

教学内容

初中数学总复习——几何基本图形1——三角形

【一、三角形的有关概念】

【基本知识考点：】

一、三角形的分类：

1、三角形按角分为______________，______________，_____________．

2、三角形按边分为_______________,__________________.

二、三角形的性质：

1、三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边

2、三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．

三、三角形中的主要线段：

1、___________________________________叫三角形的中位线．

2、中位线的性质：____________________________________________．

3、三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。

4、角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离，

内心也是三角形内切圆的圆心。

5、三角形三边的垂直平分线：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形

三个顶点的距离，外心也是三角形外接圆的圆心。

6、三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)

四、等腰三角形的性质与判定：

1、等腰三角形的两底角__________；

2、等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；

3、有两个角相等的三角形是_________． 五、等边三角形的性质与判定：

1、等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

2、三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的 三角形 是等边三角形． 六、直角三角形的性质与判定： 1、直角三角形两锐角________．

2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．

3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的 ；

4、勾股定理：_________________________________________．

5、勾股定理的逆定理：_________________________________________________．

【相关中考试题：】

1、如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm

2、如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点， DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ．

1013 B ．1513 C ．6013 D ．75

13

3、如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，

点M 是AE 的中点，下列结论：① tan ∠AEC=CD

BC ;② S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;

③ BM ⊥DM; ④ BM=DM.正确结论的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

4、如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的

M

E

D

C

B

A

C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．

图3

A 'C

B

A

D

E

5、如图5，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处， 若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）

A ．

2

1 B ．

2 C ．

3 D ．4

6、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°, BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2

＝AE 2

＋BC 2

.

7、已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ 分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为 8、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：一定正确的结论有 ① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；

9、如图7-67所示,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上 一点, 沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形 中的最大角的度数是 .

10、如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．

第5题图

11、如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以 Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五

个

等腰直角三角形所构成的图形的面积为__ ____．

12、如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、

B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…， ∠n+11A n n n B B θ+=则 ? 1θ= ； ? n θ= 。

13、在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．

AE 的中点是M ．

（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重 合时，点M 与点C 重合，

求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；

（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角， 得到图14-2，

求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，

△FMH 还是等腰直角三角形吗？

（不必说明理由）

图14-1

A

H

C (M )

D E

B F

G (N )

G

图14-2

A

H

C D

E

B F

N

M

A

H

C D

E 图14-3

B F

G M

N

14、如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,

若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.

（1）如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是

证明:

（1）如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是

证明：

（3）如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是

(写出关系式,不必证明)

【二、全等三角形和相似三角形：】

【基本知识考点：】

一、全等三角形：

1、全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.

2、三角形全等的判定方法有:____、____、____、___.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3、全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.

4、全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.

5、证明三角形全等的思路：

（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角

二、相似三角形：

1、三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2、相似三角形的判定方法

?若DE∥BC（A型和X型）则______________．

?射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且

AC 2 = ，CD 2 = ，BC 2

= ．

E A D

C

B

E

A

D C

B

A

D C

B

? 两个角对应相等的两个三角形__________．

? 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． ? 三边对应成比例的两个三角形___________． 3、相似三角形的性质

? 相似三角形的对应边_________，对应角________． ? 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．

? 相似三角形的对应角平分线，对应边的 线，对应边上的 线的比等于 比， 周长之比也等于________比，面积比等于_________．

【相关中考试题：】

1、如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是（ ）

A. 带①去

B. 带②去

C. 带③去

D. 带①和②去

2、已知如图11-134所示的两个三角形全等，则∠a 的度数是 （ ） A ．72° B ．60° C ．58° D ．50°

3、如图11-135所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ，BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对

4、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ， 则S △BCE ：S △BDE 等于（ ） A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21

5、如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是 （ ） A. ED EA =DF

AB B. DE BC =

EF FB C. BC DE =BF BE D. BF BE =BC

AE

6、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，?要把它加工成正方形零件，使正方形的 一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，?这个正方形零件的边长是多少？

【三、锐角三角函数和解直角三角形：】

【基本知识考点：】

一、锐角三角函数

1、sin α，cos α，tan α定义

sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2、特殊角三角函数值

二、解直角三角形

1、解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．

2、如图（1）解直角三角形的公式：

（1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B ＝_____，

（3）边角关系： sinA= cosA=_______． tanA= ， 3、如图（2）仰角是____________,俯角是____________．

30° 45° 60° sin α cos α tan α

α

a

b

c

c b

a

A C

B

图1

4、如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．

5、如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．

45?

南

北

西

东60?A

D

C B

70?

O

【相关中考试题：】

1、已知3tan 30 A -=∠A =则 ．

2、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

3、在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B =（ ）

A ．

125 B ．512 C ．13

5

D ．1312 4、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2，则tan ∠CAD 的值是（ ）

A 、2

B 、

C 、

D 、

5、如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’， 则tanB ’的值为（ ）

A ．

1

2

B ．

1

3

C ．

1

4

D ．

24

α

A

C

B

O

A

B

C

A

B

C

C’ B’

6、点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（

3

2

，

1

2

）B．（

3

2

-，

1

2

-）C．（

3

2

-，

1

2

） D．（

1

2

-，

3

2

-）

7、如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=

3

3

，则边BC的长为（）

A、303cm

B、203cm

C、103cm

D、53cm

8、已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）

A.1

3

B.

3

4

C.

4

5

D.

2

3

9、如图28－145所示，在高楼前的D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到达C点，又测得楼顶的

仰角为45°，则该高楼的高度大约为 ( )

A．82米 B．163米 C．52米 D．70米

10、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

A．3

4 B．

4

3 C．

3

5 D．

4

5

11、如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4， BC=5，则tan∠AFE的值为（）

A．

4

3 B．

3

5

C．3

4

D．4

5

A B

C D

150°

图4

h

12、图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）

A ．8

33

m B ．4 m C.3 m D.5 m

13、△ABC 中，若（sinA －

12）2＋|32

－cosB|＝0，则∠C 的大小是_______． 14、计算：|－1|－

1

82－（5－π）0+4cos45°先化简， 15、求代数式221

93

x x ÷--的值，其中x=2cos45°﹣3． 16、如图28－140所示，A ，B 两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB )，

经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范 围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区． 为什么?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)

17、气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45

方向的B 点生成，测得 1006km OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因

受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60

方向继续移动．以O 为原点建立如图 12所示的直角坐标系．

（1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且 处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？

x /km

y /km

北

东 A O C

60

45