概率论与数理统计统计课后习题答案

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答

1. 设)(1x F 与)(2

x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2

1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).

A . 5

2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a

2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数}

X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈；

31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈；

2215542070{2}0.2167323

C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈；

041554201{4}0.0010969

C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为：

3．

5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}.

则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.

051339552

2109

{0}0.22159520C C P x C ===≈；

14

133955227417

{1}0.411466640

C C P x C ===≈；

231339552

27417

{2}0.274399960C C P x C ===≈；

32133955216302

{3}0.0815199920

C C P x C ===≈；

4

11339

552429{4}0.010739984

C C P x C ===≈；

50

133955233

{5}0.000566640

C C P x C ===≈.

所以X 的概率分布为：

6.

解：由已知，()X G p :

所以()(1),0,1,2i

P X i p p i ==-=L L . 7.

解：X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 且1{0}2

P X ==； 111{1}224P X ==?=；

1111{2}2228P X ==??=；

1111{3}2228

P X ==??=； 所以X 的概率分布为 X 0 1

2 3 P 1/

2 1/4 1/8 1/8

8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：

（1） 恰有6个人不能完成培训的概率；

（2） 不多于4个的概率.

解：设X ＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)X B :，

（1）6

694100{6}0.040.960.1052P X C

==?=;

（2）41001000{4}0.040.960.629k k k k P X C

-=≤=?=∑.

9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过05.0=p ，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）.

解：设X ＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)X B :，

所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430k

k k k P X C

-≤≤==∑.

10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.

解：设甲X ＝{投掷一次后甲的赌本}，乙

X ＝{投掷一次后乙的赌本}.

则甲

X 的取值为20，40，且 1{20}{40}2P X P X ====甲甲，1{10}{30}2P X P X ====乙乙，

所以甲X 与乙

X 的分布律分别为： 甲X 20 40

乙

X 10 30 p 1/2

1/2

p 1/2 1/2 0,20

1,2040

2

1,40X x F x x x

1,30X x F x x x

11. 设离散型随机变量X 的概率分布为：（1）{}2,1,2,,100k P X k a k ===L ；

（2）{}2,1,2,k P X k a k -===L ，分别求（1）、（2）中

常数a 的值. 解：（1）因为{}100100112

1,k k k P X k a =====∑∑

即 1002(12)112

a -?=-，所以)12(21100-=a . (2) 因为 {}112

1,k k k P X k a ∞∞-=====∑∑

即1

21112a ?=-，所以 1=a .

12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.

解：设X ＝{每分钟接到的传唤次数}，则()X P λ:

，

查泊松分布表得

（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=；

（2）{8}0.02136P X ≥=.

13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X 的概率分布.

解：X 的所有可能的取值为1，2，3.

243563{1}105C P x C ====；

23353{2}10

C P x C ===； 22351{3}10C P x C ===.

所以X 的概率分布为： X

1 2 3 P 6/10 3/10 1/10

14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.

解：设Y ={每天去图书馆的人数},则()Y P λ:

， {},0,1,2,!i

P Y i e i i λλ-===L L

当{}Y i =时，(,)

X B i p :，

{}{}(1)k k i k

i i k P X k P Y i C p p +∞-====?-∑

!(1)(1)!!!()!i i k k i k k i k

i i k

i k i e C p p e p p i i k i k λλλλ+∞+∞----===?-=-?-∑∑ !(1)(1)!!()!!()!

i k k

i k

k i k i k

i k i k i p e p p e p i k i k k i k λλλλλ-+∞+∞----===-=-?--∑∑ (1)()(1)

e !()!!!k k

i k k k k

i k p p i k p p p e p e e k i k k k λλλλλλλλ-+∞-----==-=?=-∑

即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!

k

p p P X k k k λλ-===L . 15. 设随机变量

X 的密度函数为 ,010,???<<+= x b ax f(x)其它， 且?

?????>=??????<3131X P X P ，试求常数a 和b . 解：1301()3183a b P X ax b dx ??<=+=+?????；

113142()393a b P X ax b dx ??>=+=+?????， 由421183932a b a b +=+=得，71.5,.4a b =-=

16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;

{1}P X <以及概率密度f (x ). 解：由()lim (arctan )02()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞?-∞=+=-=????+∞=+=+=??得121

A B π?=????=??.

所以11()arctan 2F x x π

=+； {1}{11}(1)(1)0.5

P X P x F F <=-<<=--=； 211

()'()1f x F x x π==?+.

17. 设连续型随机变量X 的分布函数为 20,0(),

011,1x F x Ax x x

求：（1）常数A 的值；（2）X 的概率密度函数)(x f ；

（3）{}2≤X P .

解：（1）由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+==

即21lim 1x Ax -→=，所以1A =，20,0(),011,1x F x x x x

（2）2,01()'()0,x x f x F x <

（3）{2}(2)1P X F ≤==.

18. 设随机变量

X 的分布密度函数为

, 01 , 1)(2?????<-=其它当x x A x f

试求：（1）系数A ；（2）?

?????<<221X P ；（3）X 的分布函数)(x F .

解：（1）因为11121()arcsin 1f x dx dx A x A x π+∞

--∞-====-??

所以1A π=，21()

10 , x f x x π<=-?其它；

（2）12111212221112()arcsin 231P X f x dx x x ππ??<<====????-??；

(3) 当1x <-时，(){}0f x P X x =≤=，

当01x ≤<时，211(){}arcsin 21x f x P X x x t ππ-=≤==+-?

， 当1x ≥时，12(){}11f x P X x t π-=≤==-?

， 所以 ???????≥<≤-+-<=1,111,

arcsin 1211,0x x x x x F π

）（

19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？

解：设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)X U :，

由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min ， 所求概率为 4.50{ 4.5}0.45100

P X -≤==-.

20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （min ）服从5

1=λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：

(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y 的分布；

(2) 求{}1≥Y P . 解：（1）由已知，1(),(5,)5

X E Y B p :: 其中10{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞=>=-≤=-?

110

250115e dx e --=-=?

所以Y 的分布为 55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=；

（2）{}0

2025511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C e e --≥=-==--=.

21. 设随机变量)4,5(~N X ，求α使：

（1）{}903.0=<αX P ；（2）{}01.05=>-αX P .

解：由)4,5(~N X 得5~(0,1)2X

N -

（1）{}555()0.903222X P X P ααα---??<=<=Φ=????

查标准正态分布表得：5 1.32

α

-=，所以6.7=α； （2）由{}01.05=>-αX P 得，{}50.99P X α-<= 所以{}{}55P X P X ααα-<=-<-<

5()()2()10.99222222X P ααααα-??=-<<=Φ-Φ=Φ-=???? 即()0.9952

αΦ=，查标准正态分布表得 2.582α=，所以16.5=α

22. 设)2,10(~2

N X ，求{}{}210 , 1310<-<

N X 得10~(0,1)2X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -??<<<<=Φ-Φ=-=????；

{}102{2102}

P X P X -<=-<-< 10{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262

X P -=-<<=Φ-Φ-=Φ-=?-=. 23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布，求该地区8月份降水量超过250

mm 的概率.

解：设随机变量X ＝{该地8月份的降水量}， 则2(185,28)X N :，从而185(0,1)28X N -:

所求概率为 185250185{250}{}1(2.32)10.98980.01022828

X P X P --≥=>=-Φ=-= 24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ，求在3次测量中至少

有1次误差的绝对值不超过30

cm 的概率. 解：由(0,400)X N :得(0,1)20X N :

设Y ＝{在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm 的次数}，则(3,)Y B p : 其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<<

(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=?-=

所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm }={1}P Y ≥

00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-?=

25. 已知测量误差2~(7.5,10)X N ，X 的单位是mm ，

问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.

解：设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.

由已知2

~(7.5,10)X N ，7.5~(0,1)10X

N - 设Y ＝{n 次测量中，绝对误差不超过10mm 的次数}，则(,)Y B n p : 其中7.5{10}{0.25}(0.25)0.598710X

p P X P -=≤=≤=Φ=

所求概率为{1}0.9P Y ≥>，即{0}0.1P Y =≤

000.59870.40130.1n n C ?≤，解之得，3n ≥

必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.

26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分

)(~2σμ，N X ，某教授根据得分X 将学生分成五个等级：A 级：得分)(σμ+≥X ；B 级：)(σμμ+<≤X ；C 级：μσμ<≤-X )(；D 级：)()2(σμσμ-<≤-X ；F 级：)2(σμ-

（2）多少个学生得B 级？ 解：（1）由已知，448352μσμσ+=??-=?，解之得40048μσ=??=?

（2）{}{01}X

P X P μμμσσ-≤<+=≤<

(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=

由于0.3413×380=129.66，故应有130名学生得B 级。

27. 已知随机变量X 的概率分布如下，

X -1 0 1 2

P 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25

求13+-=X Y 及12+=X

Z 的概率分布. 解：13+-=X Y 的所有可能的取值为4，1，-2，

-5. 且{4}{1}0.2P Y P X ===-=；

{1}{0}0.25

P Y P X ====； {2}{1}0.3P Y P X =-===；

{5}{2}0.25

P Y P X =-===. 所以13+-=X Y 的分布律为

13+-=X Y -5 -2

1 4

P 0.25 0.3

0.25 0.2

12+=X Z 的所有可能的取值为1，2，5

且{1}{0}0.25P Z P X ====； {2}{1}{1}0.5

P Z P X P X ===-+==； {5}{2}0.25P Z P X ====.

所以12+=X Z 的分布律为 12

+=X Z 1 2 5

P 0.25 0.5

0.25

28. 设随机变量)1,0(~N X ，求X Y 21-=的密度函数. 解：由X ～N (0,1)，得2221)(x X e x p -=π ，设X Y 21-=的分布函数为F Y (y )，则

}.21{}21{}{)(y X P y X P y Y P y F Y -≥=≤-=≤=

当y ≥1时，

1}{}21{}{)(=Ω=-≥=≤=P y X P y Y P y F Y ；

当y<1时，

}21{}{)(y X P y Y P y F Y -≥

=≤=

}21{1y X P -≤-=

}2121{1y X y P -≤≤---=

(0

)]21()21([1y F y F X X -----=. 即 ?????≥<-----=.1,0,

1)],21()21([1)(y y y F y F y F X X Y

)()(y F y p Y Y '=

?????≥<--+-=.1,0,

1),21(21)21(21y y y p y p X X

?????≥<=--.1,0,1,218)1(2y y e y π

29. 随机变量X 的概率密度为

?????≤>+=0,00,)1(2)(2x x x x f π

求X Y ln =的密度函数.

解：由于y =ln x 是一个单调函数，其反函数为y

e x =， .

)}(),00(max {,)}(),00(min{+∞=+∞+=-∞=+∞+=f f f f βα 利用公式得Y =ln X 的密度函数为

)()()('?=y

y X

Y e e p y p

).(,122+∞<<-∞+=y e e y y π 30. 设通过点)1,0(的直线与

x 轴的交角θ在],0[π上服从均匀分布，求这直

线在x 轴上

截距X 的密度函数.

解：以α表示过（0，1）点的直线与x 轴的交角，

见图1。由题意知：随机变量α在(0,π)内服从均匀分

布，故得α的概率密度为

?????<<=.,0,0,1)(其它ππx x p a

设随机变量X 表示直线在x 轴上的截矩，易知

α

ctg X =-，即αctg X -=，其分布函数为：

}{}{}{)(x ctg P x ctg P x X P x F X

-≥=≤-=≤=αα )]([)}({x arcctg F x arcctg P -=-≤=α。

其密度函数为

})]([{)()('-='=x arcctg F x F x p X

X

).(,)1(1+∞<<-∞+=x x π