一元线性回归方程教案
8.5 一元线性回归案例
湘教版选修 2-3 第 8.5 节
【教学目标】
（一） 知识与技能
了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、 相关系数、一元线性回归直线等概念。 （二） 过程与方法
熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方 法，加深理解线性回归模型的意义。判断变量间是否线性相关。 （三） 情感、态度与价值观
培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。
【教材分析】
1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。
2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。
3. 变量间的关系：
函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系）
相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的 随机性的两个变量之间的
关系称为相关关系 。
例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量
是随机变量。因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。
现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型， 而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。
4. 一元线性回归分析
在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成 为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。
5. 线性相关性检验：
（相关系数检验法）
当 r
>0 时，我们称其正相关；
当 r
xy <0 时，我们称其负相关； 当
r xy
=0 时，我们称其不相关。
教学过程教师活动学生活动
问题一：如果有两个变量X
和Y，那么这两个变量之间
有什么关系呢？答：
设计意图
引入新知
讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。研究一下相关关系。
在此之前，我们先一起来看
一道例题。
首先我们先一起分析一下答：通过学生表中所给数据，你能得到怎（1）随着年份的增加，船对数据的样的结论呢？只数量X也是在逐年增加观察可以
的；大概得到这是我们从表中数据直接（2）并且随着船只数量的两个变量得到的，一般情况下对于数增加，被撞死的海牛数整体间的关据的处理我们除了可以采呈现一种上升的趋势。系，但是用列表法，还可以采用图像未来更加法。那么为了更加直观的反直观便可映整体走势，下面请同学们以借助散根据表中数据在坐标系中点图来帮绘出相应各点。看看能得到助我们分什么样的结论呢？析。
（用excel绘制散点图）
我们发现绘制出的图形呈
现一个一个的散点，我们称
这样的图形为散点图。
并且从数据散点图看到y
i
有随着x的增加而沿某一
i
直线增加的趋势。并且这些
n x
2 n - x 2
∑ ( x - x )( y
- y )
∑ ( x - x ) ∑ ( y
- y )
2
x, y , ∑ x 2 , ∑ y 2 , ∑ x y 系数 r 。
散点是相对较均匀的分布 在这条直线的两侧。那么这 条直线就被我们叫做一元 线性回归直线，
讲
授 新
知
那么这条直线该如何确定 呢？（为了解决确定直线的 问题，我们先给出一些必要 的公式。）
下面介绍一个新的名词定 义——相关系数。
当 s s ≠ 0 时，…………
x y
我们称其为相关系数、并且 相关系数有如下几条性质：
x + x + ...... + x
x = 1 2 n
n
y + y + ...... + y y = 1 2 n
n
( x - x )2 + ( x - x ) 2 + ...
+ ( x - x )
s 2 = 1 2 n
x
x y + x y + ??? + x y
s =
n
- xy
1 1
2
2 n
n
xy
n
i i
r =
i =1
xy
n n
2
i i
2
=
n ∑ i =1
i
1、正相关、负相关和不相
关；（主要根据 90 至 91 页的图形加以说明）
2、.相关系数的取值为[-1,1]
3、相关系数的大小与相关
程度的关系。
既然学习了相关系数，下面 i =1 i =1
从 90 页的六个散点图中， 我们可以发现散点图的密 集程度是不一样的，并且这 种密集程度与相关系数有 着一定的联系，相关系数越 接近 1，X,Y 的线性相关性 越强，并随着 X 的增加 Y 也在线性增加。
我们就一起来解决例一中
的两个问题。
（1）答：要求解 s 和 s , s
xy x
y
（1） 首 先 我 们 先 一 起 来
计算一下例一中两
个变量 X 、Y 的相关
n n n
i i i i =1 i =1 i =1
i
所以
xy
要计算相关系数，就要求解 r = xy 哪些量呢？
（我们发现 r 很接近 1，说 xy
明被撞死的海牛数 Y 和机
动船数 X 正相关，即随着 X 的增加 Y 也是在增加的。就 此我们可以预测出机动船
979.36
88.56 ?11.75
≈ 0.9412
? ?
的数量增加时，被撞死的海 牛数也会增加。）
（2） 那对于问题二，这样
一个具体的数据，我 们要想找到 Y 的一 个大概取值就要确 定这条回归直线的
方程。 最小二乘法：
首 先 设 回 归 直 线 为 （又称最小平方法）
l : y
= bx + a
x 和 y 满足以下关系：
i i
y = bx + a + e （i=1,2,…n ）
i i
i
其中 e , e ,....e 表示随机误
1
2
n
通过最小化误差的平
方和寻找数据的最佳 函数配对。
差。
要想根据表中数据求解 a,b 所利用的方法是最小二乘
b =
s
xy s
2
x
=
979.36 ≈ 0.125,
88.562
法，那什么叫做最小二乘法 呢？
则回归直线：
l : y = 0.125x - 41.5
a = y - bx = 29.43 - 0.125 ? 567.5 ≈ -41.5
小
结
板书设计
线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法
法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！
高二数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案 文
第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 第一课时 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 /cm 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 /kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理） 第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身次函数y bx a 高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即 =++，其中残差残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 备课人：张颖岳新霞王莉
第十章 一元线性回归
第十一章 一元线性回归 一、填空题 1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。 2、若回归方程的判定系数R 2 =0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。 3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2 为____________。 4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692 =∑x ， a=b ，则趋势 方程中的b=______。 5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。 6、相关系数的取值范围_______________。 7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。 8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。 9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。 10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。 11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。 二、单选题 1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ） A 、 增加70元 B 、 减少70元 C 、增加80元 D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。 A 、强相关 B 、弱相关 C 、不相关 D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。 A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δ xy 2 =-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+? 这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。 A 、107 B 、102.5 C 、108 D 、113.5 7、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δ xy 2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 9、下面的各问题中，哪一个不是回归分析要解决的问题（ ）。 A 、判断变量之间是否存在关系 B 、 判断一个变量的数值的变化对另一个变量的影响
一元线性回归方程的计算和检验
一元线性回归方程的计算和检验 （1） 从键盘输入一组数据（x i ，y i ），i=1,2,…n 。 （2） 计算一元线性回归方程y=ax+b 的系数a 和b ，用两种方法计算： 一是公式：x a y b x x y y x x a i i i -=---=∑∑,)())((2 ； 二是用最小二乘法的公式求出最小值点（a,b ）,使 ∑--=2)(min },(b ax y b a Q i i . （3） 检验回归方程是否有效（用F 分布检验）。 （4） 把散列点（x i ，y i ）和回归曲线y=ax+b 画在一个图上。 （5） 每种计算法都要有计算框图，且每种计算法都要编成一个自定义函数。 程序： function yiyuanhuigui clc; disp('从键盘输入一组数据:'); x=input('X 的数(以向量形式输入)：'); y=input('Y 的数(以向量形式输入)：'); disp('一元线性回归方程的计算和检验：'); disp('1、公式法'); disp('2、最小二乘法'); disp('3、检验并画图'); disp('0、退出'); global a0 b0; while 3 num=input('选择求解一元回归方程的方法：'); switch num case 1 [a0,b0]=huigui(x,y) case 2 [a0,b0]=zxec(x,y) case 3 break; case 0 return; otherwise disp('输入错误，请重新输入!'); end end X=x';Y=y'; X=[ones(size(X)),X];alpha=0.5; %输出向量b ，bint 为回归系数估计值和它们的置信区间； %r1，rint 为残差及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量,第一个是R^2，其中R %是相关系数，第二个是F 统计量值，第三个是与统计量F 对应的概率P ，第四个是估计误
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法 一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。 方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下： y b x a y bx n -==-∑∑ 222 n xy x y xy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即 x =n x ∑ y =n y ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。计算公式为： 22xy-x y r= (x x x)(y y y) --∑∑∑∑∑∑ 当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。 [例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。 表1： 根据表1计算出有关数据，如表2所示： 表2：
将表2中的有关数据代入公式计算可得： 1256750x == （件） 2256 1350y ==（元） 1750 9500613507501705006b 2=-??-?=（元/件） 100675011350a =?-=（元/件） 所建立的预测模型为： y ＝100+X 相关系数为： 9.011638 10500])1350(3059006[])750(955006[1350 750-1705006r 22==-??-???= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为： y ＝100+1×200＝300(元)
线性回归方程公式证明
112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当
线性回归分析教案
线性回归分析 管理中经常要研究变量与变量之间的关系，并据以做出决策。前面介绍的检验可以确定两个变量之间是否存在着某种统计关系，但是如果检验说明两个变量之间存在着某种关系，我们还是不能说明它们之间究竟存在什么样的关系。 本章介绍的回归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度。回归分析以对一种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础，并在某种精确度下，预测未知变量的值。 社会经济现象中的许多变量之间存在着因果关系。这些变量之间的关系一般可以分为两类：一类是变量之间存在着完全确定的关系，即一个变量能被一个或若干个其他变量按某种规律唯一地确定，例如，在价格P确定的条件下，销售收入Y与所销售的产品数量之间的关系就是一种确定性的关系：Y＝P·X。另一类是变量之间存在着某种程度的不确定关系。例如，粮食产量与施肥量之间的关系就属于这种关系。一般地说，施肥多产量就高，但是，即使是在相邻的地块，采用同样的种子，施相同的肥料，粮食产量仍会有所差异。统计上我们把这种不确定关系称为相关关系。 确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限。由于测量误差等原因，确定性关系在实际中往往通过相关关系表现出来；另一方面，通过对事物内部发展变化规律的更深刻的认识，相关关系又可能转化为确定性关系。 两个相关的变量之间的相关关系尽管是不确定的，但是我们可以通过对现象的不断观察，探索出它们之间的统计规律性。对这类统计规律性的研究就称为回归分析。回归分析研究的主要内容有：确定变量之间的相关关系和相关程度，建立回归模型，检验变量之间的相关程度，应用回归模型进行估计和预测等。 第一节一元线性回归分析 一、问题的由来和一元线性回归模型 例7-1。某地区的人均月收入与同期某种耐用消费品的销售额之间的统计资料如表7-1所示。现要求确定两者之间是否存在相关关系。 表7-1 年份1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 人均收入 1.6 1.8 2.3 3.0 3.4 3.8 4.5 4.8 5.2 5.4 销售额(百万元) 4.7 5.9 7.0 8.2 10.5 12 13 13.5 14 15 如果作一直角坐标系，以人均收入x i为横轴，销售额y i为纵轴，把表7-1中的数据画在这个坐标系上， 我们可以看出两者的变化有近似于直线的关系，因此，可以用一元线性回归方程，以人均收入为自变量，以销售额为因变量来描述它们之间的关系。即： y i =a+b x i+e i() i n =12,,,
数学苏教版必修3教学案第1部分 第2章 2.4 线性回归方程 Word版含解析
房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在年前两季度销售的新楼盘中的销售价格(单位：万元)与房屋面积(单位：)的数据. 问题：在平面直角坐标系中，以为横坐标，为纵坐标作出表示以上数据的点． 提示： 问题：从上图中发现，有何关系？是函数关系吗？ 提示：从图中发现逐渐增大时，逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系． ．变量间的常见关系 ()函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系． ()相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达． ．散点图 从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量与变量是否有相关关系，常将的取值作为横坐标，将的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图. 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
问题：判断气温与杯数是否有相关关系？ 提示：作散点图可知具有相关关系． 问题：若某天的气温是－℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？ 提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测． ．线性相关关系：能用直线＝＋近似表示的相关关系． ．线性回归方程： 设有对观察数据如下： 当，使＝(－－)＋(取得最小值时，就称方程 ＝＋为拟合这对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．．用回归直线进行数据拟合的一般步骤： ()作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． ()如果散点在一条直线附近，用公式 错误! 求出，，并写出线性回归方程． ．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如 试验田的施肥量与水稻的产量.当自变量每取一确定值时，因变量的取值带有一定的随机性 ，即还受其他环境因素的影响．．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用散 点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的． [例] 关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：
一元线性回归方程教案
8.5 一元线性回归案例 湘教版选修 2-3 第 8.5 节 【教学目标】 （一） 知识与技能 了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、 相关系数、一元线性回归直线等概念。 （二） 过程与方法 熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方 法，加深理解线性回归模型的意义。判断变量间是否线性相关。 （三） 情感、态度与价值观 培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。 【教材分析】 1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。 2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。 3. 变量间的关系： 函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系） 相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的 随机性的两个变量之间的 关系称为相关关系 。 例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量 是随机变量。因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。 现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型， 而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。 4. 一元线性回归分析 在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成 为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。 5. 线性相关性检验： （相关系数检验法） 当 r >0 时，我们称其正相关； 当 r xy <0 时，我们称其负相关； 当 r xy =0 时，我们称其不相关。
教学过程教师活动学生活动 问题一：如果有两个变量X 和Y，那么这两个变量之间 有什么关系呢？答： 设计意图 引入新知 讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。研究一下相关关系。 在此之前，我们先一起来看 一道例题。 首先我们先一起分析一下答：通过学生表中所给数据，你能得到怎（1）随着年份的增加，船对数据的样的结论呢？只数量X也是在逐年增加观察可以 的；大概得到这是我们从表中数据直接（2）并且随着船只数量的两个变量得到的，一般情况下对于数增加，被撞死的海牛数整体间的关据的处理我们除了可以采呈现一种上升的趋势。系，但是用列表法，还可以采用图像未来更加法。那么为了更加直观的反直观便可映整体走势，下面请同学们以借助散根据表中数据在坐标系中点图来帮绘出相应各点。看看能得到助我们分什么样的结论呢？析。 （用excel绘制散点图） 我们发现绘制出的图形呈 现一个一个的散点，我们称 这样的图形为散点图。 并且从数据散点图看到y i 有随着x的增加而沿某一 i 直线增加的趋势。并且这些
线性回归方程题型
线性回归方程 1.【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = -- = - ∑ ∑ ，? ?a y bt =- 2.【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑ 0.55=，≈2.646. 参考公式：()() n i i t t y y r --= ∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() ()n i i i n i i t t y y b t t ==--= -∑∑ ，=.a y bt - 3.【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
高中数学《回归分析》教案1 苏教版选修2-3
3.2回归分析（1） 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计 时刻x /s 1 2 3 4 5 6 7 8 位置观测值y /cm 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 1 6.12 16.98 21.06 根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数 公式，1 221 ()n i i i n i i x y nx y b x n x a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 可以得到线性回归方为$3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为$22.6287y = 2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数； y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差； 将y a bx ε=++称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
多元线性回归模型公式().docx
二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（ y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ）， a 1,2,..., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 0 1 x 1a 2 x 2 a ... k x ka a （） 式中： 0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为 ?= b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k （） 式中： b 0 为常数； b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。 偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j i ）都固定时，自变量 x i 每变 化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （ i 0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i 0,1,2,..., k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b 1 x 1a b 2 x 2a ... b k x ka min （） a 1 a 1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a b 0 a 1 （） Q n 2 y a y a x ja 0( j 1,2,..., k) b j a 1 将方程组（）式展开整理后得：
高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程 教学目标: （1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。 教学重点: 线性回归方程的求解。 教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。 教学过程: 一、复习练习 1．下例说法不正确的是（ B ） A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量； B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定; C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系; D.相关关系是一种非确定性关系. 2．已知回归方程81.05.0?-=x y ,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1?-= B x y 75.575.1? += C x y 75.575.1?-= D x y 75.175.1?+= 4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19. (2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。 二、典例分析 例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
第二节 一元线性回归分析
第二节一元线性回归分析 本节主要内容： 回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。 回归分析的主要内容： 1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式； 2.估计回归模型参数； 3.对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 影响显著的变量。 一、一元线性回归模型： 一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。 理论回归模型： 理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型： 回归估计模型： 二、模型参数估计： 用最小二乘法估计： 【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示
某地女孩身高的实测数据 建立身高与年龄的线性回归方程。 根据上面公式求出b0=80.84,b1=4.68. 三．回归系数的含义 （2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。 （3）回归系数b1的取值有正负号。如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。 [例题·判断题]回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同。（） 答案：错误 解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的 [例题·判断题]在回归直线y c=a+bx,b<0,则x与y之间的相关系数（） a.r=0 b.r=1 c.0 线性 回归 方程 统计总课时第18课时分课题线性回归方程分课时第1 课时 教学目标了解变量之间的两种关系，了解最小平方法〔最小二乘法〕的思想，会用公式求解回归系数． 重点难点最小平方法的思想，线性回归方程的求解． 线性回归方程 某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/C ?26 18 13 10 4 -1 杯数20 24 34 38 50 64假设某天的气温是C? -5，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 新课教学 1．变量之间的两类关系： 〔1〕函数关系： 〔2〕相关关系： 2．线性回归方程： 〔1〕散点图： 〔2〕最小平方法〔最小二乘法〕：〔3〕线性相关关系： 〔4〕线性回归方程、回归直线：3．公式： [来源:https://www.360docs.net/doc/312091190.html,] 4．求线性回归方程的一般步骤： x y Ｏ 例题剖析 例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．[来源:学&科&网] 机动车辆数x/千辆95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 [来源:1ZXXK] 思考：如图是1991年到2000年北京地区年平均气温〔单位：C 〕与年降雨量〔单位：mm 〕的散点图，根据此图能求出它的回归直线方程吗？如果能，此时求得的回归直线方程有意义吗？ 巩固练习 1x /百万元 [来 源:Z+xx+https://www.360docs.net/doc/312091190.html,] 2 4 5 6 8 y /百万元 30 40 60 50 70 〔1〕画出散点图； 〔2〕求线性回归方程． 课堂小结 了解变量之间的两种关系，了解最小平方法的思想，会用公式求解回归系数． x y 100 200 300 400 500 600 12.40 12.60 12.80 13.00 【课题】10.5 一元线性回归 【教学目标】 知识目标： (1)了解相关关系的概念． (2)掌握一元线性回归思想及回归方程的建立． 能力目标： 增强学生的数据处理能力，计算工具的使用能力，分析问题和解决问题的能力，培养严谨、细致的学习和工作作风． 【教学重点】 掌握一元回归方程． 【教学难点】 理解相关关系、回归分析概念． 【教学设计】 一切自然现象和社会现象都不是孤立的．事物与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系．这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，另一类是非确定性的．用来近似地描述具有统计相关关系的变量之间关系的函数叫做回归函数．一元回归处理两个变量之间的相关关系问题．如果两个变量之间的相关关系是线性的，就是一元线性回归问题．本教材根据学生的实际情况只介绍两个变量间的一元线性回归问题．通过建立回归方程，可以对相应的变量进行预测和控制．回归分析具有广泛的应用．在本节教学过程中，由于统计量的计算十分繁杂，因此，必须注重训练学生利用计算器或计算机软件进行计算、求解的能力． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 过 程 行为 行为 意图 间 图10?8 表面上散点图中的这些点杂乱无章，但是大体上呈现出一种直线走向趋势〔这是非常重要的，否则不能用一次函数来近似〕.这启发我们，人的体重y 与身高x 大体上有一次函数的关系，，即可以近似地有 =+y a bx (10.5) 其中a 、b 是未知的，可以用样本的数据去估计a 、b 的值，估计值分别写作a ?和b ?． 一般地，用1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 表示数据的n 个有 序实数对，则可证明得到a ?与b ?的计算公式如下： 11122 1 1 ()() ?,() =====-=-∑∑∑ ∑∑n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x ??,=-a y bx 其中11 11,====∑∑n n i i i i x x y y n n ． 方程 ????=+y a bx （10.6） 叫做y 关于x 的回归方程，它的图形叫做回归直线. 【说明】 引领 分析 仔细 分析 关键 语句 讲解 说明 理解 记忆 观察 带领 学生 分析 启发 学生 思考 Excel求解一元线性回归方程步骤(图解详细) 1．开始－程序－Microsoft Excel，启动Excel程序。 2．Excel程序启动后，屏幕显示一个空白工作簿。 3．选定单元格，在单元格输入计算数据。 4．选中输入数据，点击“图表向导”按钮。 5．弹出图表向导对话窗，点击XY散点图，选择平滑线散点图，点击下一步。 6．选择系列产生在：列，点击下一步。 7．在图表标题中输入“硝基苯标准曲线”，数值（X）轴输入“硝基苯浓度”，数值（Y）轴输入“HPLC峰面积”。此外还可以点击“坐标轴”，“网格线”，“图例”，“数据标志”下拉菜单，对其中选项进行选择。 8．点击完成后，即可得到硝基苯的标准曲线图。 9．将鼠标移至图表工作曲线上，单击鼠标右键，选择“添加趋势线”。 10．在“类型”选项中选择“线性”，“选项”中选择“显示公式”，“显示R平方值”，单击确定。 11．单击确定后即可得到附有回归方程的一元线性回归曲线。 12．至此，利用“图表向导”制作回归方程的操作步骤完毕。 利用Excel中“图表向导”制作标准曲线，使用者仅需按照向导说明填入相关信息即可完成图表的制作。方法简单，适合对Excel了解不多的人员，如果你对Excel函数有一定的了解，那么你可以利Excel函数编制程序完成回归方程的计算。 4.4.2.2通过编制Excel程序计算一元线性回归方程 1．打开一个新工作簿，以“一元线性回归方程”为文件名存盘。 2．单击插入，选择名称－定义。 3．在弹出的“定义名称”对话窗中“名称”栏输入“a”，“引用位置”栏输入“＝$E$4”，然后按“添加”按钮；再在“名称”栏输入“b”，“引用位置”栏输入“＝$E$3”，按“添加”按钮，依次输入下列容，最后单击确定。 “名称”栏输入容“引用位置”栏输入容 a =$E$4 b =$E$3 f =$G$4 n =$G$3 rf =$G$6 rxy =$E$5 x =$A$3:$A$888 y =$B$3:$B$888 aa=$G$2 yi1 =$E$12 yi2 =$E$13 4．完成命名后，在相关单元格输入下列程序容。 单元格输入容 E3 =ROUND(SLOPE(y,x),4) G3 =COUNT(x) E4 =ROUND(INTERCEPT(y,x),4) G4 =n-2 E5 =PEARSON(x,y) E6 =DEVSQ(x) G6 =SQRT(FINV(a,1,f)/(f+FINV(a,1,f ))) E7 =DEVSQ(x)*(1-rxy^2) E8 =STEYX(y,x) E9 =IF(rxy>rf,“rxy>临界值回归方程有意义”， “rxy>临界值回归方程有意义”) G10 =1-G2 E11 =CONCATENATE(“=”,a,”+”,”(“,b,”)X”) G12 =(yi1-a)/b G13 =(yi2-a)/b 1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系. 直线的回归方程教学设计 一、课题引入 引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画． 问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？ 设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态． 师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础． 二、本节课的新知识 问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？ 设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备． 师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）． 设回归直线方程为，（x i，y i）表示第i个样本点，将样本数据记为，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模型： 模型3：． 师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便．Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（y n－bx n－a）2= 问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（x i，y i）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？线性回归方程
最新中职数学基础模块教学设计：一元线性回归
Excel关于求解一元及多元线性回归方程图解详细
非线性回归分析(教案)
线性回归方程 精品课教案