高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明
【高频考点解读】
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．
2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．
3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法：
知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：
由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法．
二、综合法与分析法 1．综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
2．分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．
3．平均值不等式
定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称
a ＋
b ＋
c 3
为正数a ，b ，c 的算术平均值，3
abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．
4．一般形式的算术—几何平均值不等式
如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n
a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
【高考考纲突破】
考点一、比较法证明不等式
例1．已知c>b>a ，证明：a2b ＋b2c ＋c2a 2. 考点二、综合法与分析法证明不等式 例2．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 【变式探究】已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b2－ac<3a. 【方法技巧】 1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b)2≥4ab ， a2＋b22≥??? ?a ＋b 22等；(4)a ＋b 2≥ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a>0)，b a ＋a b ≥2(ab>0)，b a ＋a b ≤－2(ab<0)等． 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 【高考风向标】 1．（·辽宁卷）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x2－8x ＋1.记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N. (1)求M ； (2)当x ∈M∩N 时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤1 4. 2．（·新课标全国卷Ⅱ）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)＝? ?? ?x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a 的取值范围． 3．（·浙江卷）(1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3； (2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac≥36，并给出等号成立条件． 4.(·新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且1a ＋1b ＝ab. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 【随堂巩固】 1．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 2．若0 18. 4．已知a ，b 为正实数． (1)求证：a2b ＋b2 a ≥a ＋ b ； (2)利用(1)的结论求函数y ＝ 1－x 2x ＋x2 1－x (0 (2)若a ，b ，c 均为正实数，且1a ＋12b ＋1 3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9. 6．已知实数x ，y ，z 满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x ＋y ＋z 的最大值是1，求a 的值． 7．已知实数m ，n>0. (1)求证：a2m ＋b2 n ≥ a ＋ b 2 m ＋n ； (2)求函数y ＝2x ＋91－2x 〔x ∈(0，1 2)〕的最小值． 8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a 的最值． 9．已知n≥2，求证： 1 n >n －n －1. 10．已知a ，b ，c 均为正数，求证： (1)b2a ＋c2b ＋a2 c ≥a ＋b ＋c ； (2)a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32 . 11．已知a>2，求证：loga(a －1) 3. 13．设a ，b ，c 均为正实数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 14．已知x ，y ∈R ，且|x|<1，|y|<1. 1 1－x2＋ 1 1－y2≥ 2 1－xy. 求证： 高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家 说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的 S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 若双曲线C:22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐 近线被圆()2 224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 23 10. 若2x =-是函数2 1` ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（） A ．32 B ．155 C ．105 D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（） A.2- B.32- C. 4 3 - D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽 到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4 f x x x =+- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11 n k k S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2 8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为 F N 的中点，则F N =． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 18.（12分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率； 2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） P （ ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -= ++++ 19.（12分） 如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ， o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分） 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = . （1） 求点P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分） 已知函数3 ()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2 30()2e f x --<<. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计 22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=． （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2 C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2, )3 π ，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值． 23.[选修45：不等式选讲]（10分） 已知3 3 0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3 3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤． 参考答案 1．D 【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m = ∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B 【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112 -==-a S ，解得13a =． 4．B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2211 π310π3663π 22=-=??-???=V V V 总上 5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-． 6．D 【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作． 由此把4份工作分成3份再全排得23 43C A 36?= 7．D 【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话． 甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩． 【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A 【解析】取渐近线b y x a = ，化成一般式0bx ay -=，圆心()20， = 得224c a =，24e =，2e =． 10．C 【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角 （异面线所成角为π02? ? ?? ?，） 可知112MN AB = ，1122 NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1 2 MQ AC = ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠ 14122172?? =+-???-= ??? ，=AC 则MQ = MQP △ 中，MP = 则PMN △中，222 cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=?? 222 +-= = 又异面线所成角为π02? ? ??? ， ． 11．A 【解析】()()21 21x f x x a x a e -'??=+++-???， 则()()3 2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 12．B 【解析】几何法： 如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则() 2PA PB PC PD PA ?+=?， 要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值， 又3 23PA PD AD +==? =， 则2 233 24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ?? ???≤， 则min 332242 PD PA ?=-?=-． 解析法： 建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， P D C B A ∴() 03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， () 3PA x y =--，， () 1PB x y =---，， ()1PC x y =--，， ∴() 222222PA PB PC x y y ?+=-+ 2 2 3324x y ??????=+-- ? ??????? 则其最小值为33242?? ?-=- ??? ，此时0x =，3y =． 13．1.96 【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n = 则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1 【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ??? ?=+-∈ ???? ???， ()231cos 3cos 4 f x x x =-+- 令cos x t =且[]01t ∈， 21 34y t t =-++ 2 31t ?? =--+ ? ??? 则当3 t =时，()f x 取最大值1． 15． 2+1 n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ． 则3123a a d =+= 414610S a d =+= 求得11a =，1d =，则n a n =，()12 n n n S += ()() 1 1 2222 1223 11n k k S n n n n == +++ +??-+∑ 111 111121223 11n n n n ??=-+-++-+- ?-+?? 122111n n n ? ?=-= ?++?? 16．6 【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ， ，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点， 故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME = 又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6 NF NM MF =+= 17. 【解析】（1）依题得：2 1cos sin 8sin 84(1cos )22 B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15 cos 17 B = ， （2）由⑴可知8sin 17 B =． ∵2AB C S =△， ∴1 sin 22 ac B ?=， ∴18 2217 ac ?=， ∴17 2ac = ， ∵15cos 17 B = ， l F N M C B A O y x ∴22215217 a c b a c +-=， ∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =． 18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B “新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C 而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+? 0.62= ()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+? 0.66= ()()()0.4092P A P B P C == （2） 由计算可得2K 的观测值为 ()2 22006266383415.705 10010096104 k ??-?= =??? ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥ ∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关． （3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++= 80.0320.06817÷= ，8 5 2.3517 ?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35． 19．【解析】 z y x M 'M O F P A B C D E （1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ． ∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1 2 EF AD ∥． 又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD == ，∴1 2 BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥ （2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系． 设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ， ，，(010)D ，，， (00P ，． M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?， ∴MBM '△ 为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=?． 设MM a '=， CM '= ， 1OM '=．∴100M ??' ? ??? ， ，． BM a a '==? = ．∴11OM '==． ∴100M ??' ? ?? ?，，10M ? ?? 2611AM ??=- ? ??? ，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116 0y z + =，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，， (001)n =，，． ∴10 cos ,m n m n m n ?<>= = ?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10 ． 20． 【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又1022NM NP ?== ?? ?， ∴1 2M x y ? ? ??? ，，又M 在椭圆上． ∴2 2122x += ??? ，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠， 由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， () 2 1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=， ∴2 13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=． 设直线OQ ：3Q y y x = ?-， 因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3 l Q k y = 故直线l 方程为3 ()P P Q y x x y y = -+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1 3 P Q P y y x x -?=-， ∴1 3 P Q P x y y x =-?+， ∵33P Q P y y x =+， ∴1 (33)13 P P x x x =-++=-， 若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点． 21． 【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥． 令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11 ax g x a x x -'=- = ， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1 x a =． 当10x a << 时，()0g x '<，()g x 单调减；当1 x a >时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ?? <= ???； 若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ?? <= ???； 若1a =，则()()min 110g x g g a ?? === ??? ，()0g x ≥． 综上，1a =． ⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()121 2x h x x x -'=-= ，0x >． 令()0h x '=得1 2 x =， 当102x << 时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1 2 x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ?? ==-+< ??? ． 因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122?? ∈+∞ ??? ，， 所以在102?? ???，和12?? +∞ ??? ，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ， ，因为()f x '在102?? ??? ，上单调减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01 2 x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12?? +∞ ??? ，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减， 2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以，()f x 有唯一的极大值点0x ． 由前面的证明可知，201e 2x -? ?∈ ?? ?，，则()() 24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01 4 f x <． 因此，()201 e 4 f x -<< ． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ， ，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016 cos 4ρρρθθθ =?? =??=? 解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为 () 2 224x y -+=．()0x ≠ ⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形． ||OA 为定值． ∴当高最大时，AOB S △面积最大， 如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大 max 1 ||||2 S AO HB =? ()1 ||||||2 AO HC BC = + 2= 23． 【解析】⑴由柯西不等式得：()() () 2 2 5533 4a b a b a b ++=+=≥ 1a b ==时取等号． ⑵∵332a b += ∴()() 222a b a ab b +-+= ∴()()2 32a b b ab α??++-=?? ∴()()3 32a b ab a b +-+= ∴()() 3 23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()3 2 232a b a b ab a b +-+??= ?+?? ≤ ∴()()3 2232a b a b a b +-+?? ?+?? ≤ ∴()()3 3 324 a b a b ++-≤ ∴ ()3 124 a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立． 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明， 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)
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