流体力学习题及答案-第七章

第七章 粘性流体动力学

7-1 油在水平圆管内做定常层流运动，已知75=d （mm ），7=Q （litres/s ），800=ρ (kg/m 3)，壁面上480=τ（N/m 2

），求油的粘性系数ν。 答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出2081m u λρτ=

； 其中：λ是阻力系数，并且Re

64=λ； m u 是平均速度，585.1075.014.325.01074

123

2=???==-d Q u m π（m/s ）。 由于阻力系数208m u ρτλ=，因此0

202886464Re τρτρλm m u u ===； 即：028τρνm

m u d

u =； 所以油的粘性系数为401055.3585

.18008075.0488-?=???==m u d ρτν（m 2/s ）。 7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么

答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。

7-3无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa ，且剪切应力为0，流体密度为ρ，运动粘性系数为ν，平板倾斜角为θ。试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。

答：首先建立如图所示坐标系。

二维定常N-S 方程为：

???

? ????+??+??-=??+??22221y u x u x p f y u v x u u x νρ ???

? ????+??+??-=??+??22221y v x v y p f y v v x v u y νρ

对于如图所示的流动，易知()y u u =，()y p p =，0=v ，θsin g f x =，θcos g f y -=；即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量0=v 。

因此上式可改写为：

???

? ????+??+=??2222y u x u f x u u x ν y

p f y ??=ρ1 由不可压缩流体的连续方程

0=??+??y v x u 可知，由于0=v ，0=??y v ，则0=??x u ； 则上式可进一步简化为：

022=??+y

u f x ν （1） y

p f y ??=ρ1 （2） 对于（1）式，将θsin g f x =代入，则有：

θν

sin 122g y u -=?? 两端同时积分，得到：

1sin 1C y g y u +-=??θν

由于当h y =时，0=??=y u μτ，即0=??y

u ，代入上式有： h g C θνsin 11=

因此： y g h g y u θν

θνsin 1sin 1-=?? 两端再次同时积分，得到：

()22sin 21sin 1

C y g hy g y u +-=θν

θν 由于0=y 时，()00=u ，代入上式，知02=C ；则有：

()??? ??-=221sin 1

y hy g y u θν 若将ρ

μν=代入，则上式成为： ()??? ??-=

221sin y hy g y u θμρ 该式即为流动的速度分布。

对于（2）式，将θcos g f y -=代入，有：

θρcos g y

p -=?? 两端同时积分得到：

()C y g y p +-=θρcos

由于当h y =时，()a p h p =，代入上式有：

h g p C a θρcos +=

因此：

()()y h g p y g h g p y p a a -+=-+=θρθρθρcos cos cos

该式即为流动的压力分布。

7-4两块无限长二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ和2μ，密度分别为1ρ和2ρ的液体，厚度分别为1h 和2h 。已知上板以等速0v 相对于下板向右作平行运动，整个流场应力相同（不计重力），流动是层流，求流场中速度和切应力的分布。 答：首先建立如图所示的坐标系。

当不计及质量力时，平面定常层流流动的N-S 方程为：

???

? ????+??+??-=??+??22221y u x u x p y u v x u u νρ ???

? ????+??+??-=??+??22221y v x v y p y v v x v u νρ 显然，y 方向的速度分量0=v ； 由不可压缩流体的连续方程可知0=??+??y v x u ，可知0=??x

u ，u 仅仅是y 的函数，即()y u u =，所以上式可重新整理成为：

221dy

y d x p νρ=??? （1） 01=???y

p ρ （2） 由（2）式知道，0=??y

p ，p 仅仅是x 的函数()x p p =。 将（1）式分区域写成：

x

p dy u d ??=1221μ 10h y ≤≤ x

p dy u d ??=2221μ 02≤≤-y h 分别对两式两端同时积分得到：

111C y x

p dy du +??=μ 10h y ≤≤ （3） 221C y x

p dy du +??=μ 02≤≤-y h （4） 即

111C y x

p dy du μμ+??= 10h y ≤≤ 222

C y x p dy du μμ+??= 02≤≤-y h

由于当0=y 时，两种流体界面上的剪切应力相同，即dy

du dy du 21μμ=，因此有： 2211C C μμ=，

（3）（4）两式化为：

111C y x

p dy du +??=μ 10h y ≤≤ （3）′ 12

121C y x p dy du μμμ+??= 02≤≤-y h （4）′ 分别对（3）′和（4）′

两式两端同时积分得到： 312121C y C y x

p u ++??=μ 10h y ≤≤

41212221C y C y x p u ++??=

μμμ 02≤≤-y h 由于当0=y 时，两种流体界面上的速度相同，得43C C =，则：

312121C y C y x

p u ++??=μ 10h y ≤≤ （5）

31212221C y C y x p u ++??=

μμμ 02≤≤-y h （6） 当1h y =时，0v u =，带入到（5）式；当2h y -=时，0=u ，带入到（6）式；得到：

031121121v C h C h x

p =++??μ （7）

0213212

1222=+-??C h C h x p μμμ （8） （7）（8）两式相减，经整理后得到：

()x p h h h h v h h C ???+-?++=21121212221021122

121μμμμμμμμ 将1C 代入（8）式，经整理后得到：

()()()x

p h h h h h h v h h h h x

p x p h h h h v h h h h x

p C h C ???++?-+=??-???? ?????+-?++=??-=211221210211221222211212122210211222212221221321 2121 21μμμμμμμμμμμμμμμμμμμ 将1C 和3C 代回到（5）（6）两式，则可得到两种流体中的速度分布；将（3）′和（4）′两式两端分别乘以1μ和2μ，并将1C 代入，可得到应力分布分别为：

dy

du 11μτ= dy du 2

2μτ=。 7-5 直径为15mm 的光滑圆管，流体以速度14m/s 在管中流动，是确定流体的状态。又若要保持为层流，最大允许速度是多少这些流体分别为（1）润滑油；（2）汽油；（3）水；（4）

空气。已知41010-?=润滑油νm 2/s ，610884.0-?=汽油νm 2/s 。

答：对于圆管内的流动，临界雷诺数为2300Re =c 。

当流速14=U （m/s ）时，各种流体的流动状态如下：

（1）润滑油：

2101010015.014Re 4=??==-ν

Ud

，2300Re Re =

884.0015.014Re ?=??==-νUd ，2300Re Re =>c ，为湍流流动。 （3）水：

取水的粘性系数6

10139.1-?=ν（m 2/s ）。 5610844.110

139.1015.014Re ?=??==-νUd

，2300Re Re =>c ，为湍流流动。 （4）空气：

取空气的粘性系数5

10455.1-?=ν（m 2/s ）。 4510443.110

455.1015.014Re ?=??==-νUd

，2300Re Re =>c ，为湍流流动。

若保持流动为层流状态，则要求2300Re Re =

ν

（1）润滑油：

3.153015.01010230023004

=??=?=-d U ν

（m/s ）； （2）汽油：

136.0015.010884.023*******

=??=?=-d U ν

（m/s ）； （3）水：

175.0015.010139.1230023006

=??=?=-d U ν

（m/s ）； （4）空气：

231.2015.010455.1230023005

=??=?=-d U ν

（m/s ）。

7-6 粘性系数μ=（m 2/s ），γ=7252N/m 2

的油流过直径为2.45cm 的光滑圆管；平均流速为0.3m/s 。试计算30m 长管子上的压力降，并计算管内距管壁0.6cm 处的流速。 答：雷诺数：νd

u m =Re ，其中：

平均流速：3.0=m u （m/s ）； 流体密度：2.73981

.97252===g γ

ρ（kg/m 3）； 运动粘性系数：53

10342.52

.7391049.39--?=?==ρμν（m 2/s ）。 因此雷诺数为：

6.14210342.50254.03.0Re 5

=??==-νd

u m ，流动状态是层流； 则阻力系数为：

449.06

.14264Re 64===λ； 压力降为： 4.176403.02.739210254.030449.02122=????=?=?m u d l p ρλ

（N/m 2）； 最大流速：

6.02max ==m u u （m/s ）；

圆管内沿径向的速度分布为：

???

? ??-=22max 1a r u u ； 上式中：7.122/4.25==a （mm ），则在7.667.12=-=r （mm ）处，流动速度为：

433.07.127.616.01222max =???????

???? ??-?=???? ??-=a r u u （m/s ）。

7-7

30C 的水流过直径为d=7.62cm 的光滑圆管，每分钟流量为0.340m 3，求在915m 长度上的压力降，管壁上的剪应力0τ及粘性底层的厚度。当水温下降到 5C 时，情况又如何 答：（1）当水温为 30C 时，取水的粘性系数为6

108009.0-?=ν（m 2/s ） ； 平均流速为：

243.10762.014.325.060/34.04

122=??==d Q

u m π（m/s ）； 雷诺数为： 5610183.110

8009.00762.0243.1Re ?=??==-νd u m ，流动为湍流流动； 查莫迪图谱，得到阻力系数为：

017.0=λ；

则压力降为：

157698243.1100.12

10762.0915017.021232=?????=?=?m u d l p ρλ（N/m 2） =（Pa ）；

管壁上的剪切应力：

283.3243.1100.1017.08

181

2320=????==m u λρτ（N/m 2）； 又由于0573.010

283.330===ρττu ，并且5=ντyu ，得到粘性底层厚度为： 069.00573

.0108009.0556

=??==-τνu y （mm ）。 （2）当水温下降为 5C 时，取水的粘性系数为6

10517.1-?=ν（m 2/s ） ； 平均流速为：

243.10762.014.325.060/34.04

122=??==d Q

u m π（m/s ）； 雷诺数为： 5610183.110

517.10762.0243.1Re ?=??==-νd u m ，流动为湍流流动； 查莫迪图谱，得到阻力系数为：

017.0=λ；

则压力降为：

157698243.1100.12

10762.0915017.021232=?????=?=?m u d l p ρλ（N/m 2） =（Pa ）；

管壁上的剪切应力：

283.3243.1100.1017.08

181

2320=????==m u λρτ（N/m 2）； 又由于0573.010

283.330===ρττu ，并且5=ντyu ，得到粘性底层厚度为： 069.00573

.0108009.0556

=??==-τνu y （mm ）。

7-8已知半径为r 0的光滑圆管中流体作定常层流流动，流体密度为ρ，运动粘性系数为μ，重度g ργ=，若由接出的两玻璃管测得l 长度流体的压力降?p=γh 0，（1）写出沿程阻力系数λ与雷诺数Re 的关系；（2）推导体积流量Q 与压力降的关系式408r l

p Q ?=μπ。

答：