《二次根式》典型分类练习题
《二次根式》分类练习题
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义: 形如
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,
才有意义.
【典型例题】
【例1】下列各式1)
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子
1
3
x -有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三:
1、使代数式4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2、使代数式2
21x x
-
+-有意义的x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=
解题思路:式子a (a ≥0),50
,50
x x -≥??
-≥? 5x =,y=2009,则x+y=2014
举一反三:
1、若11x x ---2
()x y =+,则x -y 的值为( )
A .-1
B .1
C .2
D .3
2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值
3、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
已知a 是5整数部分,b 是 5的小数部分,求1
2
a b +
+的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求
y x 1
2+
的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a a ()≥0是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ()()a aa 20=≥.
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-?
?
||()() 注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
4. 公式a a a a a a 2
00==≥-
?
?
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 (1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
【例4】若()2
2340a b c -+-+-=,则=
+-c b a .
举一反三:
1、若0)1(32
=++-n m ,则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数,且()02312
=-+-y x ,则y x -的值为( )
A .3
B .– 3
C .1
D .– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______.
4、若
1
a b -+与24a b ++互为相反数,则
()
2005
_____________
a b -=。
(公式)0()(2
≥=a a a 的运用)
【例5】 化简:2
1(3)a a -+-的结果为( )
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三:
1、
在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ;4244m m -+=
429__________,222__________x x x -=-+=
2、 化简:()
3313--
3、
已知直角三角形的两直角边分别为2和5,则斜边长为
(公式?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用)
【例6】已知2x <,则化简244x x -+的结果是
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三:
1、根式2(3)-的值是( )
A .-3
B .3或-3
C .3
D .9
2、已知a<0,那么│2
a -2a │可化简为( )
A .-a
B .a
C .-3a
D .3a
3、若23a ,则
()
()
2
2
23a a --
-等于( )
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a -3<0,则化简
a
a a -++-4962的结果是( )
(A) -1 (B) 1 (C) 2a -7 (D) 7-2a 5、化简(
)
2
2
44123x x x -+-
-得( )
(A ) 2 (B )44x -+ (C )-2 (D )44x -
6、当a <l 且a ≠0时,化简
a a a a -+-221
2= . 7、已知0a <,化简求值:
22
114()4()a a a a -+-+-
【例7】如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a -b │+2()a b + 的结果
等于( )
A .-2b
B .2b
C .-2a
D .2a
举一反三:实数a 在数轴上的位置如图所示:化简:21(2)______a a -+-=.
【例8】化简21816x x x ---+的结果是2x -5,则x 的取值范围是( )
(A )x 为任意实数 (B )1≤x ≤4 (C ) x ≥1 (D )x ≤1
举一反三:若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2,则a 的取值范围是( )
A.4a ≥
B.2a ≤
C.24a ≤≤
D.
2a =或
4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+,那么a 的取值范围是( )
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三:
1、如果2693a a a +-+=成立,那么实数a 的取值范围是( )
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ,则x 的取值范围是( )
(A )3>x (B )3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简,正确的结果是( ) A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内:当b >0时, x x b = ;a a --11)1(= 。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式; 分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 解题思路:掌握最简二次根式的条件。 举一反三: 1、)b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 2、下列根式中,不是..最简二次根式的是( ) A .7 B .3 C .12 D .2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A.21a + B.21x + C. 24 b D.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么? (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4) )(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式: (1)12 (2) b a 2 45 (3)x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三: 1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( ) A 、318和 B 、1 33 和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、在二次根式:①12;② 32;③ 3 2 ;④27中,能与3合并的二次根式 是 。 3、如果最简二次根式83-a 与 a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四:二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a ?=来确定,如:a a 与,a b a b ++与,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a b +与a b -, a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 (1)148 (2)4337 - (3)11212 (4)13550- 【例14】把下列各式分母有理化 (1)328x x y (2)2a b - (3)38 x x (4)25 2 5 a b b a - 【例15】把下列各式分母有理化: (1)221- (2)5353+- (3)333223 - 举一反三: 1、已知2323 x -=+,2323y +=-,求下列各式的值:(1)x y x y +-(2)22 3x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化: (1)()a b a b a b -≠+ (2) 22 22a a a a +--++- (3)2222 b a b b a b -+++ 小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与 ; ② 与 ; ③ 与 ; ④ 与 . 知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 ab =a ·b (a ≥0,b ≥0) 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 a ·b =ab .(a ≥0,b ≥0) 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 a b =a b (a ≥0,b>0) 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 a b =a b (a ≥0,b>0) 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 【典型例题】 【例16】化简 (1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)22 9x y (0,0≥≥y x ) (5) 1 2 ×632? 【例17】计算(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【例18】化简: (1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (3)2964x y )0,0(>≥y x (4)2 5169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算:(1) 12 3 (2)3128÷ (3)11416÷ (4)648 【例20】能使等式2 2x x x x = --成立的的x 的取值范围是( ) A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解 知识点六:二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. 【典型例题】 【 例 20 】 计 算 ( 1 ) 11327520.53227 -- +-; (2) 12 543102024553457????+-- ? ? ? ????? ; (3)11113275348532-+-+; (4)113326327284814723247???? -+-+ ? ????? 【例21】 (1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a b a b a b --+ -+ (3) 32 132********a a a a a a a -+- (4)1142a a b b a b ??+-- ? ??? (5)3 53 8154a a a a a -+ (6)2x y y x xy y x x y +-+++ 知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序; 2、灵活运用运算定律; 3、正确使用乘法公式; 4、大多数分母有理化要及时; 5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化; 【典型习题】 1、a b b a ab b 3)23(235 ÷-? 2、 22 (212 +41 8 -348 ) 3、 13 2 x y ·(-4 2 y x )÷ 162x y 4、673)3 2272(-?++ 知识点八:根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 2、平方法 当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0a b a b ->?>;② 0a b a b -< 8、求商比较法它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①1a a b b >?>; ②1a a b b < 【典型例题】 【例22】 比较35与53的大小。(用两种方法解答) 【例23】比较231-与1 21 -的大小。 【例24】比较1514-与1413-的大小。 【例25】比较76-与65-的大小。 【例26】比较73+与873-的大小