机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案

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2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则： mg k δ=

，即：n ω==

取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为：

δ

?+=?

=??=?&&&00

020mx kx x x （参考教材P14）

解得：δω=()2cos n x t t

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2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V

所以：7(/)n rad s ω=

== 取系统的平衡位置为原点，得到：

系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&

& 其中，初始条件：(0)0.2

(0)0x x =-??=?& （参考教材P14）

所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-

弹簧力为：()()cos ()k n mg

F kx t x t t N ω==

=-V

因此：振幅为0.2m 、周期为2()7

s π

、弹簧力最大值为1N 。

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2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2

121()2T E m m x

=+& 212

U kx =

由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&&

即：12/()n k m m ω=+

系统的初始条件为：?=??=-?+?&202012

2m g

x k m x gh m m （能量守恒得：2

21201()2

m gh m m x =

+&）

因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+

其中:ω?==??==-?+?

&200

2112

2n m g

A x k x m g ghk A k m m

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即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k

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2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有

θ转角时，系统有：

2222111()()222T E I m r I mr θθθ

=

+=+&&& 21

()2U k r θ=

由()0T d E U +=可知：22()0I mr kr θ

θ++=&&

即：22/()n kr I mr ω=+ （rad/s ）

2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

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2.6 求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,k k k k ==。

解：取m 的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2

12

T E mx =& 222

11115226

U kx k x k x =

+= （其中：1212k k k k k =+）

由()0T d E U +=可知：15

03mx k x +=&&

即：153n k m ω=rad/s ），1

325m

T k π=（s ）

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2.7 如图所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

解：设物体重量W ，摆角坐标θ如图所示，逆时针为正，当系统有θ摆角时，则： θθ=--≈-2

()(1cos )()

2

U W R r W R r

设?&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度： ()c R r r υθ?=-=&&，即：()R r r

?

θ-=&

& 记圆柱体绕瞬时接触点A 的转动惯量为A I ，则：

=+

=+222

12A C W W W I I r r r g g g

?θθ-=

==-&&&222221133()()()2224T A W R r W E I r R r g r g

（或者理解为：?θ=

+-&&22211()22T c W E I R r g

，转动和平动的动能）

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由()0T d E U +=可知：θθ-+-=&&23()()02W R r W R r g

即：ω=

n rad/s ）

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2.8 横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。设从平衡位置压低距离x (见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得：

()0mx Ax g γ+=&&，即：n Ag

m

γω=有初始条件为：{

==&000

x x

x 所以浮子的响应为：()sin()2

Ag

x t x m γπ

=

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2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，

O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，

m 2。

解：两轮的质量分别为12,m m ，因此轮的半径比为： 1

1

2

2

r m r m = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：

121212

r r θθθθ==&&

取系统静平衡时10θ=，则有：

222222111222121111111()()()22224T E m r m r m m r θθθ=+=+&&& 2221112221211111

()()()()222

U k r k r k k r θθθ=+=+

由()0T d E U +=可知：222121112111()()02

m m r k k r θθ+++=&&

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即：n ω=

rad/s ）

，=2T （s ）

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2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R 与a 均已知，求微振动的周期。

解：取轮的转角θ为坐标，顺时针为正，系统平衡时0θ=，则当轮子有θ转角时，系统有： θθθ=

+=+&&&2222111()()222T P P E I R I R g g

θ=21

()2

U k a

由()0T d E U +=可知：θθ+

+=&&22

2()0P I R ka g

即：ω=

+22n ka P I R g

（rad/s ），故 π

ω+

==2

2

22n P I R g

T ka （s ）

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2.11 弹簧悬挂一质量为m 的物体，自由振动的周期为T ，如果在m 上附加一个质量m 1，则弹簧的静伸长增加l V ，求当地的重力加速度。 解：

224T m k T

π=∴=

Q 1211

4m g k l

k l m l g m T m π=∴==

Q V V V

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2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P ，(b )与(c )中每个弹簧的弹性系数为k /2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

解：取系统的摆角θ为坐标，静平衡时0θ= （a ）若不计杆重，系统作微振动，则有： θ=

&221()2T P E L g

θθ=-≈

21

(1cos )2

U PgL PgL 由()0T d E U +=可知：θθ+=&&20P L PL g

即：ω=n g

L

rad/s ）

如果考虑杆重，系统作微振动，则有：

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θθθ=

+=+&&&2222221111()()()22323

L T L P P m E L m L L g g

θθθ=-+-≈+2

(1cos )(1cos )()222

L L L P m U PgL m g gL g

由()0T d E U +=可知：θθ+++=&&2(

)()032

L L P m P m L gL g g

即：ω=

n rad/s ）

（b ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：

θθθ=

+=+&&&2222221111()()()22323

L T L P P m E L m L L g g

θθ≈++?221()()()222222

L P m k L U gL g

即：ω=

n （rad/s ）

（c ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：

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θθθ=

+=+&&&2222221111()()()22323

L T L P P m E L m L L g g

θθ≈-++?221()()()222222

L P m k L U gL g

即：ω=

n （rad/s ）

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2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x 的关系式。

答案：系统的运动微分方程222

0a b mx

kx a ++=&&

2.14 一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝

1.66 105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；

(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；

(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)

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2.16 求等截面U 形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L 。

解：假设U 形管内液柱长l ，截面积为A ，密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x 时，有： ρ=

&2

12

T E Alx ρ=???U A x g x

由()0T d E U +=可知：ρρ+=&&20Alx g Ax

即：ω=

2n g l （rad/s ），=2l

T g

s ）