四川省成都市第七中学2019-2020学年高一上学期期末热身考试数学试题 Word版含解析
成都七中2019-2020学年度高一上期期末热身考试
数学试题
本试卷共22题，满分150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，只需将答题卡交回，本试卷由考生自行保管.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，向量()()2,1,1,3a b =-=，则2a b +=（ ） A. ()3,2 B. ()5,1
C. ()4,5
D. ()3,5-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的坐标运算计算即可． 【详解】解：
()()2,1,1,3a b =-=，
()()()222,115,1,3a b +∴+-==，
故选：B ．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，是基础题．
2.英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道
“ , ?If Winter comes can Spring be far behind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）
A.
4
π B.
3
π C. 3
π-
D. 4
π-
【答案】A 【解析】 【分析】
找到每一等份的度数，进而可得答案． 【详解】解：由题可得每一等份为
22412
ππ=， 从冬至到次年立春经历了3等份，即312
4
π
π
?=
.
故答案为：A.
【点睛】本题考查角的运算，是基础题.
3.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,U =集合{}{}3,4,5,6,5,6,7,8A B ==，则()U
A B =
（ ） A. {}1,2 B. {}3,4
C. 5,6
D. {}7,8
【答案】D 【解析】 【分析】
利用补集的定义求出U
A ，再利用两个集合的交集的定义求出()
U A B ．
【详解】解：
{}1,2,7,8U
A =，
{}{}{}()1,2,7,85,6,7,8,87U A B ==．
故选：D ．
【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出U
A 是
解题的关键．
4.设e 为自然对数的底数，函数()
ln 3f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2
C. ()2,e
D. (),3e
【答案】C 【解析】 【分析】
由()f x 在0x >递增，计算各区间端点的符号，结合零点存在定理，即可得到所求区间．
【详解】解：函数()
ln 3f x x x =+-在0x >递增， 且()()()
1ln133,2ln 23l 0,12n 210f f f =+-=-=+-=→--<∞， ()() ln 320,3ln3303f e e e f e =+-=->=+->
可得()f x 在()2,e 存在零点． 故选：C ．
【点睛】本题考查函数的零点所在区间，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．
5.已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αα
αα
-=-（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B 【解析】 分析】
将条件分子分母同除以cos α，可得关于tan α的式子，代入计算即可． 【详解】解：由已知3sin cos 3tan 1331
45cos sin 5tan 53
αααααα--?-===---．
故选：B ．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的
方法，是基础题．
6.已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D 【解析】 【分析】
先令4315x +=，求出x ，再代入原函数，可求得实数a 的
值.
【详解】解：令4315x +=，得3x =， 则212315a x =-=?-=． 故选：D ．
【点睛】本题考查根据函数解析式球函数自变量，是基础题．
7.已知[],,αππ∈-若点()sin cos ,tan P ααα+在第四象限，则α的取值范围是（ ） A. 3,0,424
πππ
????-
? ? ?????
B. 3,,2424
ππππ
????
-
-? ? ?????
C. 3,0,44πππ????
-
? ? ?????
D. 3,,244ππππ????
-
-? ? ?????
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件可得sin cos 0,tan 0ααα+><，解出α的取值范围． 【详解】解：由已知得tan 0α<，得,0,22ππαπ??∈- ???
?????
又sin cos 0αα+>，即sin cos αα>- 当,02πα??
∈-
???时，cos 0,tan 1αα>>-，解得,04πα??∈- ???
， 当,2παπ??∈
???
时，cos 0,tan 1αα<<-，解得3,
24ππα??∈ ???
， 综合得3,0,424
πππ
α????
∈-
? ?????
．
故选：A ．
【点睛】本题考查由三角不等式求角的范围，是基础题．
8.设0a >且1,a ≠则函数x
y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据两个图像得,a b 的范围，看能否统一即可.
【详解】解：对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，x
y a b =+中的1a >，不能统一，错误；
对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，x
y a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；
对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，x
y a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；
对D ，y b ax =-中的1b <-，x
y a b =+中的10b -<<，不能统一，错误； 故选：C.
【点睛】本题考查函数图像的识别，考查一次函数和指数函数的性质，是基础题. 9.下列关于函数()sin 23πf x x ??
=-
??
?
的叙述中，其中正确的有（ ） ①若()()f f αβ=，则k βαπ=+(其中k Z ∈)；
②函数()f x 在区间0,2π??
????上的最大值为1；
③函数()y f x =的图象关于点,012π??
???
成中心对称； ④将cos 2y x =的图象向右平移512
π
个单位后得到()y f x =的图象. A. ①② B. ①③
C. ②④
D. ③④
【答案】C 【解析】 【分析】
①由已知得sin 2sin 233ππαβ???
?-=- ? ?????，可得11222,33k k Z ππβαπ-=-+∈或
22222,3
3
k k Z π
π
αβππ-
+-
=+∈，化简计算即可；
②求出23
x π
-的范围，进而可得()f x 的最值； ③代入12
x π
=
验证计算即可；
④将cos 2y x =的图象向右平移
512
π
个单位后化简整理. 【详解】解：①若()()f f αβ=，则sin 2sin 233ππαβ??
?
?-
=- ? ??
??
?， 则11222,3
3
k k Z π
π
βαπ-
=-
+∈或22222,3
3
k k Z π
π
αβππ-
+-
=+∈，
即11,k k Z βαπ=+∈或225,6
k k Z π
αβπ+=
+∈，故①错误； ②当0,2x π??
∈????
时，22,333x πππ??-∈-????，此时()1f x ≤，故②正确； ③当12
x π
=
时，1sin 20121232f πππ?
?=?-=-≠ ???
??
???，故③错误； ④将cos 2y x =的图象向右平移
512
π
个单位后
努力的你，未来可期!
得555sin sin 12662cos 2cos 2232y x x x x πππππ?????
????
?==+= ? ? ? ????
??????=-?-?-?
-，故④正确.
故选：C .
【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查函数图像的平移，是基础题.
10.已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时()2
f x x x =-，则不等式()()10x f x +>的解集是
（ ） A. ()0,1
B. ()()1,00,1 -?
C. ()(),10,1-∞-?
D. ()()1,01, -?+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意求出()f x 的解析式，然后分类讨论()100x f x +>??>?或()10
0x f x +
，解不等式组即可．
【详解】解：当0x <时，()()(
)2
2
f x f x x x
x x
=--=---=+，
则()22
,0
,0
x x x f x x x x ?-≥=?+??∴+>?->??≥?或210
00
x x x x +
+
或2
100x x x -<?， 解得01x <<. 故选：A ．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查分类讨论解不等式，属于基础题．
11.设0.30.2
0.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则
,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b c a << C. a b c <<
D. a c b <<
【答案】B 【解析】 【分析】
利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性，通过中间量来比较大小.
【详解】解：0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，
0.300.20.21b =<=，
0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.
b c a ∴<<.
故选：B.
【点睛】本题考查对数式，指数式的大小比较，找中间量是关键，是基础题.
12.已知0,ABC ω>?的三个顶点是函数()
4sin y x ω?=+和() 4cos y x ω?=+图象的交点，如果ABC ?的周长最小值为16,则ω等于（ ）
A. 6
π
B.
4
π C.
3
π D.
2
π 【答案】D 【解析】 【分析】
将函数()
4sin y x ω?=+和() 4cos y x ω?=+图象的交点问题转化为函数() 4sin y x ω=和()
4cos y x ω=的问题，要交点的周长最小，则必为相邻的交点，求出交点的横坐标和纵坐标，根据周长列方程求解即可。
【详解】解：将函数()
4sin y x ω?=+和() 4cos y x ω?=+图象同时向右平移φ
ω
个单位得到函数()
4sin y x ω=和() 4cos y x ω=，此时ABC ?的周长最小值还是为16， 要周长最小，一定是相邻的交点， 令()()4sin 4cos x x ωω=，则,x k k Z π
ωπ+∈＝
４
，即,4k x k Z ππ
ωω
+∈＝
，
当,x k k Z π
ωπ+∈＝
４时，()
4sin si 4n y x k πωπ??
== =???
+４-， 不妨设相邻的交点对应的坐标分别为：
23
,,,,,444A B C ππππππωωωωωω???++-+ ???
则3244AC ππ
πππωω
ωωω????=+-+=
?
?????，AB BC ===
所以
216πω+=，即8πω=，
代入选项发现只有2π
ω=满足方程8πω+=. 故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的交点问题，关键时要找到周长最小是相邻三个点产生的，是中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.直接将最后结果写在答题卡相应位置.
13.已知12,1,,1,2,3,2
α?
??-?
-??
∈若幂函数()a
f x x =的图象关于 y 轴对称，且在区间()
0,∞+内单调递减，则α=__________． 【答案】2- 【解析】 【分析】
根据题意可得函数的奇偶性和单调性，进而得到α可取的值.
【详解】解：因为幂函数()a
f x x =的图象关于
y 轴对称，则α必为偶数， 又()a
f x x =在区间()0,∞+内单调递减，则α为负数，
综合得2α=-. 故答案为：2-．
【点睛】本题考查幂函数的奇偶性及单调性，是基础题．
14.已知角α的顶点在坐标原点，始边在 x 轴非负半轴，终边经过点(),4P x ，且3
cos 5
α=-
，则tan __________．
【答案】
43
【解析】 【分析】
先通过三角函数的定义
3
cos
5
α=-求出x，再根据点
(),4
P x求出()
tanπα
-．
【详解】解：由三角函数的定义23cos54x xα==-+，解得3x=-，所以()
44
tan
t
3
an
3
παα
-=-=-=
-
．
故答案为：
4
3
．
【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题．
15.早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周，四而一.” (直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形AOB的弧长为2,π面积为6,π设OA OB AB
λ
+=，则实数λ等于__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先利用扇形的面积公式及弧长公式求出半径和圆心角，再利用向量数量的运算求出OA OB
+
和AB，进而可得实数λ的值.
【详解】解：如图
由扇形面积公式可得
1
62
2
r
ππ
=??，得6
r=，
所以扇形圆心角263
ππ
α=
=，则AOB 为等边三角形，则6AB =，
又2
2
26OA OB OA OA OB OB +=+?+==
所以3OA OB AB +=，即λ=
【点睛】本题考查本题考查扇形的面积公式及弧长公式的应用，考查向量模的运算，是基础题.
16.已知a ∈R ，函数()22,1
,1
a ax x f x x ax x ?-<=?-≥?.①若()1f f a ???=?
，则a 之值为___________；②若不等式()()1f x f ≥对任意x ∈R 都成立，则a 的取值范围是___________ 【答案】 (1). ±1 (2). []1,2 【解析】 【分析】
①根据题意，分类讨论当1a <和1a ≥时，代入分段函数，分别解方程即可；
②将不等式()()1f x f ≥对任意x ∈R 都成立，转化为211a ax a
x ?-≥-?
恒成立且
211x ax a x ?-≥-?
≥?恒成立，其中对于211a ax a
x ?-≥-?
【详解】解：由题可知，()22,1,1a ax x f x x ax x ?-<=?-≥?
，
①当1a <时，则()22
0f a a a =-=，()()2
01f f a f a =?=??=?，
解得：1a =-；
当1a ≥时，则()22
0f a a a =-=，()()2
01f f a f a =?=??=?，
解得：1a =；
综上得：1a =±.
②由题可知，()11f a =-，
由不等式()()1f x f ≥对任意x ∈R 都成立，
所以有211a ax a x ?-≥-?
恒成立，
对于211a ax a x ?-≥-?
1ax a a x ?-++-≥?
则2
010a a a a -
，解得：1a ≥； 对于211x ax a x ?-≥-?≥?恒成立时，即()2111a x x x ?-≤-?≥?
恒成立，
当1x =时，明显成立， 当1x >时，1a x ≤+恒成立，又1,12x x ≥+≥，解得：2a ≤；
综上得：12a ≤≤. 所以a 的取值范围是：[]1,2 故答案为：①±1；②[]1,2.
【点睛】本题考查由分段函数求参数值和通过不等式恒成立问题求参数范围，利用一次函数的性质和参变分离求最值问题时关键，考查分类讨论思想.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知323,18.a
b log ==
（1）求()2a b -的值；
（2）求21
4
b
a -+?
的值.
【答案】（1）-1（2） 【解析】 【分析】
（1）由23a =得，2log 3a =，代入式子利用对数的运算性质进行计算；
（2）由3log 18b =得318b =，代入式子利用指数的运算性质进行计算. 【详解】解：()1由23a =得，2log 3a =.
所以()()()232332log 32log 18log 3log 9log 18a b -=?-=?-
()23323log 3log 18log 9log 3log 21=-?-=-=-；
()2由3log 18b =得318b =，
所以()
()22
1
43
423b
a a b
-+?
=??
24336182182
=??
=?=. 【点睛】本题考查指数，对数的运算性质，关键是公式的灵活应用，是中档题. 18.在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，2CN ND =.
（1）设,,AB a AD b ==用,a b 表示AM 和AN ； （2）求实数λ的值，使得AM AN λ-与BD 共线. 【答案】（1）1=2AM a b +；1=3AN a b +（2）9
8
λ= 【解析】 【分析】
（1）利用向量的加法和数乘运算计算；
（2）将AM AN λ-和BD 都用向量,a b 表示出来，再根据向量共线定理列方程求解. 【详解】（1）11
=+ =22
AM AB BM AB AD a b =+
+ 11
=+ =33
AN AD DN AD AB a b =++；
（2）111112332AM AN a b a b a b λλλλ??????
-=+
-+=-+- ? ? ???????
， =BD AD AB b a -=-，
AM AN
λ-与BD 共线，
∴存在t R ∈使得AM AN tBD λ-=，即()
11132a b t b a λλ????
-+-=- ? ?????
，
又,a b 不共线，1
1312
t t
λλ?-=-??∴??-=??，解得9
8λ=.
【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，是基础题.
19.已知函数()()sin f x A x B ω?=++(其中
0,0,A ωπ?>><)的部分图象如图.
（1）根据图象，求()
f x 的解析式； （2）求函数()2
log y f x =的单调递减区间. 【答案】（1）() 2sin 216f x x π=+? ???+?（2）,,62k k k Z ππππ????
??
++∈. 【解析】 【分析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A 和B ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，可得
() f x 的解析式；
（2）要使()2log y f x =单调递减，应使()
0,f x >且()u f x =单调递减，可得1
sin 2623222,2
62x k x k k Z ππππππ???+>- ????
??
?+≤+≤+∈??解不等式组，求出x 的范围即可.
【详解】（1）由图象可得3131
2,122A B +-=
===， ()02sin 12f ?=+=，即1
sin 2?=，
?π<，且点()0,2位于()f x 的递增区间上，
6
π
?∴=
，
又
2sin 13666f ωπππ???? ? ?????=++=，即6
6sin 1ωππ??= ???+，
2,6
6
2
k k Z ωπ
π
π
π+∴
+
=
∈，解得212()k k Z ω=+∈， 由图象可得:
126
44T π
πω
<
=?， 得03ω<<， ∴当0k =时，2ω= ，
故()
2sin 216f x x π=+?
??
?
+?
； （2）要使()2log y f x =单调递减，应使() 0,f x >且()u f x =单调递减， 1
sin 2623222,2
62x k x k k Z ππππππ???+>- ?????∴??+≤+≤+∈?? 即7222,6663222,2
62k x k k Z k x k k Z ππππππππππ?-+<+<+∈????+≤+≤+∈??，
于是
7222,2
6
6k x k k Z π
π
πππ+≤+
<
+∈，,62
k x k k Z ππ
ππ+≤<+∈ 故()2log y f x =的单调递减区间为,,62k k k Z π
π
ππ??
????
++∈.
【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ω?=+的部分图象求解析式，考查函数sin()y A x ω?=+的单调性，属于中档题.
20.提升城市道路通行能力，可为市民提供更多出行便利.我校某研究性学习小组对成都市一中心路段(限行速度为60千米/小时)的拥堵情况进行调查统计，通过数据分析发现：该路段
的车流速度
v (辆/千米)与车流密度 x (千米/小时)之间存在如下关系:如果车流密度不超过
30,该路段畅通无阻(车流速度为限行速度)；当车流密度在[]30,180时，车流速度是车流密度
的一次函数；车流密度一旦达到180,该路段交通完全瘫痪(车流速度为零).
（1）求v 关于
x 的函数();v x （2）已知车流量(单位时间内通过的车辆数)等于车流密度与车流速度的乘积，求此路段车流量的最大值.
【答案】（1）()60,030
272,3018050,180
x v x x x x ≤
=-+≤≤??>??（2）3240辆/小时
【解析】 【分析】
（1）当[]30,180x ∈时，设()0v kx b k =+≠，将()30,60，()180,0代入方程组即可求出
,k b ，进而可得v 关于
x 的函数();v x （2）分类讨论求出每一段的最大值即可.
【详解】（1）当车流密度[]30,180x ∈时，设()0v kx b k =+≠， 由题意知，当30x =时，60v =；当180x =时，0v =，
建立方程组60300180k b k b =+??=+?，解得2572k b ?
=-?
??=?，
()60,030272,3018050,180
x v x x x x ≤
∴=-+≤≤??>??；
（2）设车流量为 y ，则60,030
2
72,3018050,180x y v x x x x ≤??，
①当030x ≤<时， 60301800y
29032405
y x =-
-+，
所以当90x =时，y 有最大值3240；
③当180x >时，0y =.
综上可知，此路段车流量的最大值为3240(辆/小时).
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，考查了分段函数求最值，注意自变量取值范围不同函数解析式不同.
21.已知集合1122x A x
x ??-=
，集合{}230|B x x ax =-+<. （1）当 4a =时，求A
B ；
（2）若,A B A ?=求实数
a 的
取值范围.
【答案】（1）{}1|2.A B x x ?=<<（2）72?
?-?
???
【解析】 【分析】
（1）代入 4a =，求出集合,A B 中元素范围，进而可得A
B ；
（2）先由A B A ?=，得到B A ?，再分B =?和B ≠?讨论求实数
a 的取值范围. 【详解】（1）
111102222x x x x --
2x A x =<<， 当 4a =时，2430{|}B x x x =-+<()(){}
{}10|3|13x x x x x =--<=<<，
{}|12A B x x ∴?=<<；
（2）
A B A
=，B A
∴?，
①若B =?，则2120a =-≤，解得a -≤≤；
②若B ≠?，要使B A ?，则()2
3f x x ax =-+应满足
()()0
22002
0a f f >???<
?≥?≥??，即0472a a a a R a ?<->?<
?∈??≤??
，
解之得72
a <≤
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是72
??-???
?
.
【点睛】本题考查二次不等式的解法及分式不等式转化二次不等式，考查集合间的运算及二次函数的性质，是中档题.
22.设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数()()2x
f x
g x +=，且其中x ∈R .
（1）求()f x 和()g x 的表达式，并求函数()()y f x g x =÷的值域
（2）若关于x 的方程()()23f x g x λ+????=?在区间()1,1-内恰有两个不等实根，求常数 λ的取值范围
【答案】（1）()()2222,,22
x x x x
f x
g x x R ---+==∈值域为()1,1.-（2）15,8??+∞ ??? 【解析】 【分析】
（1）由函数的奇偶性可得()()2
x
f x
g x --+=，再结合条件列方程组求解，进而可得
()()22
121
x f x g x =-+，利用函数单调性可求得值域； （2）由题意得方程
22222232
2x x x x λ--??-+?+= ???
在区间()1,1-内恰有两个不等实根，令
()22012x x t x --=<<，则可将方程转化为2321t t λ=--在区间30,4??
???
内有唯一实根，利用函数单调性求得函数()23
21h t t t
=
--的值域，进而可得常数 λ的取值范围. 【详解】（1）由已知()()2,x
f x
g x x R +=∈①， 以x -代x ，得()()2x
f x
g x --+-=，
因为()
f x 是奇函数，()
g x 是偶函数， 所以()()2x
f x
g x --+=②，
联立①②可得()()2222,,22
x x x x
f x
g x x R ---+==∈，
()()22222212
1222121
x x x x x x x f x y g x ----∴====-+++，
又
220x >，2211x ∴+>，220221x <
<+，于是
22
11121
x -<-<+， ∴函数()
()
f x y
g x =
的值域为()1,1-； （2）题意即方程
22222232
2x x
x x λ--??-+?+= ???
在区间()1,1-内恰有两个不等实根.
显然0x =不是该方程的根，所以令()22012
x x
t x --=<< 由22
22224x x t -=+-得22222212
x x t -+=+，则原方程可变形为()2
213t t λ++=
易知函数()t x 为偶函数，且在区间0,1内单调递增，所以30,4t ?
?∈ ???
且题意转化为方程2321t t λ=
--在区间30,4?? ???
内有唯一实根(因为每一个30,4t ??
∈ ???在区间()1,1-内恰有两个x 值与之对应).
易知()2
321h t t t =--在区间30,4?? ???
内单调递减，
又0t →时，()h t →+∞，
所以2
4315321348λ??>?-?-= ???
（此时每一个15 8λ>，在区间30,4?? ???内有且仅有一个t 值与之对应).
综上所述，所求常数λ的取值范围是15,8??
+∞
???
. 【点睛】本题考查函数奇偶性求函数解析式，考查方程根的分布问题，关键时将问题转化为
2321t t λ=--在区间30,4??
???
内有唯一实根，考查学生的转化能力和分析能力，是一道难度较
大的题目.