2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十四)理科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十四）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ?=（ ） A. [3,4] B. (3,)-+∞

C. (,4]-∞

D. (3,4]-

【答案】D 【解析】 【分析】

化简集合Q,根据集合的并集运算即可.

【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ?=-，故选D.

【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.

2.x ，y 互为共轭复数，且()2

3i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）

A. 2

B. 1

C. 22

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()2

3i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.

【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()

2

22

23i 46i a a b -+=-，

所以()2

24a =，()

22

36a b +=，解得1=a ，1=b ，所以22x y +=.

故选：C

【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.

3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A. 20

B. 27

C. 54

D. 64

【答案】B 【解析】 【分析】

设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为31

22

x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解．

【详解】设大正方体的边长为x 31

2

x x -， 设落在小正方形内的米粒数大约为N ，

则2

2

3

12200

x x N x ??

- ?

??=，解得：27N ≈ 故选B

【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．

4.如图所示，在ABC ?中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λ

μ

=（ ）

A.

12

B.

13

C. 2

D.

23

【答案】B 【解析】

分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD 写成BC 的实数

倍，从而得到AD 1344AB AC =

+，从而确定出13

,44

λμ==，最后求得结果. 详解：34=+=+AD AB BD AB BC 3()4AB AC AB =+-13

44

AB AC =+，

所以13

,44

λμ==，从而求得13λμ=，故选B.

点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.

5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，

(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )

A. a b c <<

B. a c b <<

C. c a b <<

D. c b a <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数；

∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；

∴f （x ）＝2x ﹣1；

∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a

【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．

6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）

A. 23

B. 226 D. 2

【答案】B 【解析】 【分析】

由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，

故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =23PB =，

∴1

2112

ABC PAC S S ??==

??=， 1222222

PAB S ?=??=，1

23262PBC S ?=?=

∴该多面体的侧面最大面积为2 故选：B ．

【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.

7.已知双曲线22

22C :1(0,b 0)x y a a b

-=>>的左、右焦点分别为()10F c

－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ??

- ??

?．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围

为( ) A. 1353?

? B. 5,13)

C. 13(5,)?+∞ ??

D. 5)(13,)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即

()

1

min

24MF

MN

a b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN +最小，转化为

不等式23242b a b a

+>，最后求离心率的范围.

【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4

MF MN b +>，

即

1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，

故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,

23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,13

c c a a >∴<

<

或5,c

a >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)??

+∞ ? ???

.

【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何

关系分析

1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求c

a

的范围. 8.已知在关于x ，y 的不等式组0010x y a x y y +-≤??

-≥??+≥?

，(其中0a >)所表示的平面区域内，存在点()00,P x y ，满足

()()

22

00331x y -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）

A. (],3-∞

B. )

62,?+∞?

C. (

,62-∞

D. )

62,?+∞?

【答案】D 【解析】 【分析】

先由条件画出可行域，而()()2

2

00331x y -+-=表示可行域中的点()00,P x y 到点(3,3)的距离的平方等于

1，由图可知只需点,22a a A ??

???

到(3,3)的距离的平方小于等于1即可，从而求出a 的取值范围. 【详解】由条件可得可行域，如图所示，

由0

y x x y a =??+-=?，得,22a a A ?? ???.

因为直线0x y a +-=与直线y x =垂直，所以只需圆心到A 的距离小于等于1满足题意即可，

即22

33122a a ????-+-≤ ? ?????

，解得6262a ≤≤，

当62a ≥+a 的取值范围)

62,?+∞? 故选：D

【点睛】此题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题. 9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3

cos cos 5

a B

b A

c -=

，则()tan A B -的最大值为 A.

3 B.

34

C.

32

D.

3【答案】B 【解析】

3

cos cos 5

a B

b A

c -=

∴由正弦定理，得3

5

sinAcosB sinBcosA sinC -=

， C A B sinC sin A B π=-+?=+（）（）

，， ∴3

5

sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），

整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得

2

33

11144tanA tanB tanB

tan A B tanAtanB tan B

tanB tanB

（），

--=

==+++

A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，

A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，

11

4244tanB tanB tanB tanB

+≥?=

3

3

144tan A B tanB tanB

-=

≤+（），

当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（） 的最大值为34

． 故选B ．

10.已知函数2

2()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω??=?-->

???在区间25,56ππ??

-???

?上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）

A. 30,5

?? ??

?

B. 15,

22??

????

C. 13,24

??????

D. 13,25

??????

【答案】D 【解析】 【分析】

将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解.

【详解】2

2()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω??

=?--

???

2sin [1cos()]sin sin 2

x x x x π

ωωωω=?+--=，

()f x 在区间25,56ππ??

-

???

?上是增函数， 2

50,56x ωπωωπω>-≤≤，53,06

2

5

π

πωω∴≤

∴<≤

. 当22(),()2

2k x k k Z x k Z π

ππωπωω

=

+∈=

+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，

222π

πωπππ

ωω

?≤??∴??+>??，解得15

22ω≤<，

综上，

13

25

ω≤≤. 故选:D.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.

11.已知抛物线C ：24y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的一

条切线与y 轴交于Q ，则PQF ?外接圆面积的最小值为（ ）

A.

2

π

B.

C.

D. 2π

【答案】A 【解析】 【分析】

设出过点P 的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率，进而得到点Q 坐标，利用斜率乘积为-1可判断出PQF ?为直角三角形，外接圆的圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值.

【详解】将直线l 与抛物线联立2410

y x x y ?=?

-+=?，得()2

10x -=，即直线l 与抛物线相切且切点为（1,2），又P 是l 上一点，

当点P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)，此时PQF ?为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为

π；

当点P 不为切点时，设点()001P x x +,,切线斜率为k,则切线方程为()()001y x k x x -+=-，即

0010kx y kx x --++=，将切线方程与抛物线方程联立200410

y x

kx y kx x ?=?--++=?得

2

00104ky y kx x --++=，其中(

)()0110k kx =--=，则0

1PQ k x =，此时切线方程化简得001y x x x =

+，此时点Q ()00,x ,可得0FQ k x =-,即PQF ?为直角三角形，PF 中点M 00

11,22x x ++??

??

?

即为外接圆的圆心，则2

2

2

22000111||222x x x r MQ +-+????==+= ? ?????

,面积为22012x r ππ+=，当00x =时面积取到最小值为

2

π

， 综上，面积最小值为2

π， 故选A.

【点睛】本题考查直线与抛物线相切，考查三角形外接圆的面积问题，关键是能确定出三角形为直角三角形.

12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对

棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ） A. 163

(0,

]27

B. 83

(0,

]27

C. 23

(0,

]3

D. 3(0,

]3

【答案】A 【解析】 【分析】

在四面体A BCD -中，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,过点A 作AE CD ⊥于E ，连接BE ，

得244a AE BE =-=，求得64

1462

A BCD a V a -=-

，令()6

442a f a a =-，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答案.

【详解】如图所示，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,

过点A 作AE CD ⊥于E ，连接BE ，则2

44

a

AE BE =-=，

又AB a =，所以2

1424

ABE

a S a ?=??-， 所以264

1114432462

A BCD

a a V a a a -=???-=-

， 令()64

42

a f a a =-，则()35163f a a a -'=，解得2

163a =，

所以体积的最大值为()

max

163

A BCD V -=

， 所以此三棱锥的体积的取值范围是1630,??

? ??

，故选A.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答

中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知二项式6

1ax x ??- ??

?的展开式中的常数项为160-，则a =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】

在二项展开式的

通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160-求得实数a 的值．

【详解】二项式6

1ax x ??- ???的展开式中的通项公式为()662161r r

r r r T C a x --+=?-??，

令620r -=，求得3r =，可得常数项为33

6160C a -?=-，2a ∴=，

故答案为2．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14. 观察分析下表中的数据： 多面体

面数（）

顶点数（)

棱数（)

三棱锥

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中，

所满足的等式是_________.

【答案】2F V E +-= 【解析】

试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=

考点：归纳推理.

15.设函数()()e

1x

f x x =-，函数()

g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得

()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．

【答案】1

(,)2

-∞-

【解析】 【分析】

由题意可知，()f x 在[]22-,

上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.

【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,

上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；

当(]

0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.

()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,

上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，

当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；

当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾； 当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 最小值为()22g m =，则12m ->，即1

2

m <-

，符合题意.

故实数m 的取值范围是1,2??-∞-

???

. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，

属于中档题.

16.ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且

2CA CB mc =?，有下列结论：

①28t <<； ②2

29

m -

<<； ③4t =，ln 2a =时，ABC ?

；

④当8t <<时，ABC ?为钝角三角形.

其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】

sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =，

故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<，

则28t <<

，当8t <<时，222

0a b c +-<，故ABC ?为钝角三角形.

面222222222

5ln 2cos 222

a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--?==?==

， 又2CA CB mc =?，∴222

222225ln 25ln 21222

k c CA CB k m c c c -?===-. ln 23ln 2k c k <<，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即222

55ln 25

1822k c <<，∴

229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ?，故四个结论中，只有③不正确.填①②④． 【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．

三?解答题：共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：11

4

a =

，1n n a b +=，121n n n b b a +=-.

（1）证明：11n b ??

??-??

是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；

（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++???+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立． 【答案】（1）见解析，2

3

n n b n +=+；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】

（1）由已知变形为112n n b b +=-，再构造111111n n b b +-=---，从而证明数列11n b ??

??-??

是等差数列，并求

通项公式；

（2）由（1）可知1

13

n n a b n =-=

+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()

2

1368

2404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论

*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.

【详解】（1）∵()()

()11

1122n

n n n n n n n

b b b a a b b b +=

=

=-+--，

∴11112n n b b +-=

--，∴1211

1111

n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ??

??-??

是以-4为首项，-1为公差的等差数列．

∴

()1

4131n n n b =---=---，∴12133

n n b n n +=-=++． （2）∵1

13

n n a b n =-=

+． ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++???+=

++?????++()114444n n n =-=++，

∴()()()()

2

1368

244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++． 由条件可知()()2

13680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()2

1328f n a n a n =-+--，

当1a =时，()380f n n =--<恒成立，

当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．

当1a <时，对称轴3231102121a a a -??-?=--< ?--??

，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴15

4

a <

，∴1a <时4n n aS b <恒成立． 综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立．

【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.

18.在Rt ABC ?中，90ABC ∠=，1

tan 2

ACB ∠=

.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ?沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：

（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '

（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】 【分析】

（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角

C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即

EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.

（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH .

易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，

∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.

易知BE EC '=，∴BEC '?为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C E

BE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.

而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '

=，∴EH ⊥平面ABC '.

∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF

平行四边形.

∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ?平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '

.

（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.

则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，

，，()

3C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，

设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()

132AC ='-，，，()201AF =-，，， ∴20

320x z x z -=???+-=??

，∴()

1

32n =，，. 2

cos ,2

m n m n m n ?=

=?， 由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角. ∴平面AFC '与平面BEC '所成的二面角大小为45°

.

【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.

19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.

（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为

()11

91

1,2,31010

n n P n P n --??+

= ?

?=?

，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；

②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.

【答案】（1）0.026a =，0.024b =，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2）①0.999361；②详见解析，

() 1.109E X =.

【解析】 【分析】

（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a 、b 的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；

（2）①由（1）得出10.9P =，求出2P 、3P 的值，由此得出该团队挑战成功的概率为()()()1231111P P P ----；

②由题意可得出随机变量X 的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X 的分布列，结合期望公式可计算出X 的数学期望值. 【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，

()0.0150.014550.034547450.040.5a ∴?+?++?+-?=，解得0.026a =， 0.0430.032550.01100.5b ?+?++?=，解得0.024b =，

由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-?=；

（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =， 第二个出场选手解密成功的概率为291

0.910.911010

P =?

+?=， 第三个出场选手解密成功的概率为2

3910.920.9291010

P ??=?+?= ?

??， 所以该团队挑战成功的概率为()()()123111110.10.090.0710.999361P P P P =----=-??=；

②由①可知按()1

,2,3i P i =从小到大的顺序的概率分别1P 、2P 、3P ，

根据题意知X 的取值为1、2、3，

则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-?=，()()()310.910.910.009P X ==-?-=， 所以所需派出的人员数目X 的分布列为：

X

1 2 3

P

0.9

0.091 0.009

因此，()10.920.09130.009 1.109E X =?+?+?=.

【点睛】本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.

20.如图，设抛物线C 1:2

4(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点

F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为1

2

e =

，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.

（1）当

3

2a b

+

取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.

【答案】（1）2

4y x =-,22

143

x y +=；

（21256

，此时42:6633MP y x =+【解析】

【分析】

（1）由题意，c m =和12c e a ==，得到2a m =

，b =

，根据2a b

+取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程；

（2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ?的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ?面积取最大值，即可求解．

【详解】（1）由题意，抛物线2

1:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =，

椭圆22

222:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =，

又由12c e a =

=，则2a m =

，b =

，所以2a b

+取最小值时1m =， 所以抛物线C 1:2

4y x =-，

又由2a =，2

3b =，所以椭圆C 2的方程为22

143

x y +=．

（2）因为c m =，1

2

c e a =

=，则2a m =

，b =， 设椭圆的标准方程为22

2

2143x y m m

+=，0011(,),(,)P x y Q x y ， 联立方程组22

2221434x y m m y mx ?+=?

??=-?

，得22316120x mx m --=，

所以023x m =-或06x m =（舍去）

，代入抛物线方程得0y =

，即2,33m P ??- ? ???

，于是153m PF =

，21723m PF a PF =-=，12623

m

F F m ==， 又12PF F ?的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =， 此时抛物线方程为2

12y x =-，1(3,0)F -

，(2,P -， 则直线PQ

的方很为3)y x =+

，联立2

3)12y x y x

?=+?

?

=-??，得192x =-或12x =-（舍去），于是