指数函数知识点汇总
指数函数知识点汇总
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指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n
=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *
.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,
a a n
n =,当n 是偶数时,
?
?
?<≥-==)0()0(||a a a a a a n
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m )
1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)r
a ·s
r r
a
a += ),,0(R s r a ∈>;
(2)rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>;
(3)
s
r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自
变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a >1
0 6 5 4321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y 值域y >0 >0 在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指 数 函 数 )1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321x x 解(1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为y≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,∴值域是≤<. 0y3 练习:(1) 4 1 2- =x y;(2)|| 2 () 3 x y=;(3)1 2 41+ + =+x x y; 【例2】指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示, 则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0), 则得b<a<1<d<c. 练习:指数函数①②满足不等式 ,则它们的图象是( ). 【例3】比较大小: (1)2 (2)0.6 、、、、的大小关系是:.24816 3 2 3589 4 5 1 2 -- () (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 练习: (1)1.7 2.5 与 1.73 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.7 0.3 与 0.9 3.1 (4) 5 .31 .2和 7 .20 .2 【例4】解 比较大小与>且≠,>. 当<<,∵>, >, a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () ∴<,∴<当>时,∵>,>,∴>,>a a a n n a a a n n n n n n n n n n n n 1111 1111 1 1() () ()--+--+-1a 1n 101 【例5】作出下列函数的图像: (1)y (2)y 22x ==-,()1 2 1 x + (3)y =2|x-1| (4)y =|1-3x | 解 (1)y (264)(0)(11)y 1=的图像如图.-,过点,及-,. 是把函数=的图像向左平移个单位得到的. ()()121 212 1x x + 解 (2)y =2x -2的图像(如图2.6-5)是把函数y =2x 的图像向下平移2个单位得到的. 解 (3)利用翻折变换,先作y =2|x|的图像,再把y =2|x|的图像向右平移1个单位,就得y =2|x-1|的图像(如图2.6-6). 解 (4)作函数y =3x 的图像关于x 轴的对称图像得y =-3x 的图像,再把y =-3x 的图像向上平移1个单位,保留其在x 轴及x 轴上方部分不变,把x 轴下 方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到.(如图2.6-7) 【例8】已知=>f(x)(a 1)a a x x -+1 1 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域;(3) 证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 解 (1)定义域是R . f(x)f(x)-==-,a a a a x x x x ---+=--+111 1 ∴函数f(x)为奇函数. (2)y y 1a 1y 1x 函数=,∵≠,∴有=>-<<,a a y y y y x x -+---=+-?11 111 10 即f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值x 1、x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2.f(x 1)-f(x 2) ==,∵>,<,<,++>,∴<,故在上为增函数. a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x x x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 12 12 单元测试题 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????,结果是( ) A 、1 1 32 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 2、44 366399a a ???? ? ????? 等于( ) A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 3、若1,0a b ><,且22b b a a -+=,则b b a a --的值等于( ) A 、6 B 、2± C 、2- D 、2 4、函数( ) 2 ()1x f x a =-在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) A 、1>a B 、2 5、下列函数式中,满足1 (1)()2 f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2x + B 、1 4 x + C 、2x D 、2x - 6、下列2 ()(1)x x f x a a -=+是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、既奇且偶函数 7、已知,0a b ab >≠,下列不等式(1)2 2 a b >;(2)22a b >;(3)b a 1 1<;(4)11 33a b >; (5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8、函数21 21 x x y -=+是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 9、函数1 21 x y = -的值域是( ) A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞ 10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 11、2()1()(0)21x F x f x x ?? =+ ?≠ ?-?? 是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x ( ) A 、是奇函数 B 、可能是奇函数,也可能是偶函数 C 、是偶函数 D 、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( ) A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上) 13、若103,104x y ==,则10 x y -= 。 14、函数2281 1(31)3x x y x --+??=- ? ?? ≤≤的值域是 。 15、函数2 233x y -=的单调递减区间是 。 16、若21 (5 )2x f x -=-,则(125)f = 。 三、解答题:(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设01a <<,解关于x 的不等式22 232 223 x x x x a a -++->。 18、已知[]3,2x ∈-,求11 ()142x x f x =-+的最小值与最大值。 19、设a R ∈,22 ()()21 x x a a f x x R ?+-= ∈+,试确定a 的值,使()f x 为奇函数。 20、已知函数225 13x x y ++??= ??? ,求其单调区间及值域。 21、若函数4323x x y =-+的值域为[]1,7,试确定x 的取值范围。 22、已知函数1 ()(1)1x x a f x a a -=>+ (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证明()f x 是R 上的增函数。 指数与指数函数同步练习参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、 4 3 14、991,33?????? ??????? ,令22 2812(2)9U x x x =--+=-++,∵ 31,99x U -∴-≤≤≤≤, 又∵13U y ??= ???为减函数,∴9 9 133y ?? ??? ≤≤。 15、()0,+∞,令2 3,23U y U x ==-, ∵3U y =为增函数,∴2 233x y -=的单调递减区间 为()0,+∞。 16、 0,3221 (125)(5)(5 )220f f f ?-===-= 三、17、∵01a <<,∴ x y a =在(),-∞+∞上为减函数,∵ 2 2 232 223 x x x x a a -++->, ∴ 222322231x x x x x -+<+-?> 18、2 21113()142122124224x x x x x x x f x -----? ?=-+=-+=-+=-+ ?? ?, ∵[]3,2x ∈-, ∴1 284 x -≤≤. 则当12 2 x -= ,即1x =时,()f x 有最小值43;当28x -=,即3x =-时,()f x 有最大值57。 19、要使()f x 为奇函数,∵ x R ∈,∴需()()0f x f x +-=, ∴1222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++,由1 2202121x x x a a +-+-=++,得2(21) 2021 x x a +-=+,1a ∴=。 20、令13U y ??= ??? ,2 25U x x =++,则y 是关于U 的减函数,而U 是(),1-∞-上的减函数, ()1,-+∞上的增函数,∴225 13x x y ++?? = ??? 在(),1-∞-上是增函数,而在()1,-+∞上是减函 数,又∵2 2 25(1)44U x x x =++=++≥, ∴225 13x x y ++?? = ? ?? 的值域为410,3?? ?? ? ? ????? 。 21、243232 323x x x x y =-?+=-?+,依题意有 22(2)3237(2)3231x x x x ?-?+??-?+??≤≥即1242221 x x x ?-????或≤≤≥≤,∴ 224021,x x <或≤≤≤ 由函数2x y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞。 22、(1)∵定义域为x R ∈,且11()(),()11x x x x a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数; (2)1222()1,11,02,111 x x x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-; (3)设12,x x R ∈,且12x x <, 1212 1212 121122()()011(1)(1) x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零,且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数。 指数函数 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根,()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 指数函数及对数函数相关知识点 一.图像的画法。(三点:单调性;定点;图像的渐近线) 1. 画出函数2x y =的图像; 2.画出函数12 x y =()的图像; 3.画出函数2log y x =的图像; 4.画出函数12 log y x =的图像。 二.指数和对数的计算。 5.计算下面各式的值或者化简。 (1 (2 (3)11 23 3312(2)2 x x x - -- (4)2log 16 (5)lg2+lg5 (6)83log 27log 2? (7)2lg5+lg4 (8)lg0.1 (1011 2 03 81()()274e π- ??+-+ ??? 三.指对数比较大小。 6.比较下面各数的大小 (1)2-41.7 1.7-和 (2) 1.1 1.20.90.9和 (3)-2-30.9 1.1和 (4)22log 3log 5和 (5)0.90.9log 0.6log 0.7和 (6)123 log 2log 3和 四.过定点问题。(要点:0,0log 10,x a a ==让指数为;让真数为1) 7.函数1y=3x a ++2必定过点________________________________________; 8.函数3log (2)4a y x =-+必定过点___________________________________________。 五.指数型和对数型不等式。 9.求下面不等式中x 的范围, (1)3 22x > (2) x 182 >() (3)1x e < (2)22log log 8x ≥ (3)3log 0x ≥ (4)3log 20x -≥ 10.求下列函数的定义域。 (1)21 2x y += (2 )y = (3)10.7x y = (4)2log (1)y x =- (5)21 log y x = (6 )y = 指数函数知识总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作00=n 。 ③当n 是奇数时,a a n n =, 当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. 题型一、计算 1.44 等于( ) A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算(1 + 2048 21)(1 + 1024 21)…(1 + 421)(1 + 2 21)(1 + 21 ). 5. 计算(0.0081)4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?(a >0). 3.化简: 3 32 b a a b b a (a >0,b >0). 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3,求下列各式的值: ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2(常数),求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9,且x <y ,求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根,且a >b >0,求b a b a +-的值。 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念: 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,a 为常数,函数定义域为R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数.像23x y =?, 1 2x y =,31x y =+等函数都不是指数函数. (2)为什么规定底数a 大于零且不等于1: ①如果0a =,则000x x ?>??≤??x x 时,a 恒等于, 时,a 无意义. ②如果0a <,则对于一些函数,比如(4)x y =-,当11 ,,24 x x ==???时,在实数范围 内函数值不存在. ③如果1a =,则11x y ==是个常量,就没研究的必要了. 要点二、指数函数的图象及性质: 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 (2)当01a <<时,,0x y →+∞→;当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快。 当01a <<时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则:0<b <a <1<d <c 又即:x ∈(0,+∞)时,x x x x b a d c <<< (底大幂大) x ∈(-∞,0)时,x x x x b a d c >>> (2)特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像: 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若0A B A B ->?>;0A B A B -<;0A B A B -=?=; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 1A B >,或1A B <即可 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 指数函数·例题解析 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? - . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 3433)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-. 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:指数与指数函数知识点
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数及对数函数相关知识点
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