小学生数学解题思路汇总
1.想数码
如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知 1222×1222＞1221×1223
例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、 (19)
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16－1＝15，
15－1＝14 或16－2＝14。
若先求第一个数，则
思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数
例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介
绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想份数
10巧用分解质因数
例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18
1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11
例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲数是45，乙数是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
例7600有多少个约数？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
2、22、23；
3；
5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
?【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
17.想法则
用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
子比分母少16。求这个分数？
由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
18.想公式
证明方法：
以分母a，要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。
19.想性质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？
200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几？
此题特点：
(2)每组分子的排列：
假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系
分母：1、2、3、4、5、……
分数个数：1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2－1－6=13(个)位置上。
分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。
第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，
即
若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。
逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。
(1989－4)÷6＝330 (5)
最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。
21.用规律
例1第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解这类题的规律是：
先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到，可推广为
(1)当n=1、2时，等式显然成立。
(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。
=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小，分母是13的最简分数有多少个。
7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。
例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
看结果，想条件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
23.想和不变
无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。
某数为7－6＝1或12－11＝1。
24.想和与差
算理，原式相当于
求这个分数。
25.想差不变
分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。
某数为42－35＝7，或48－41＝7。
与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，
某数为11－6＝5或23－18＝5。
分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。
例1求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是
例2分母是105的，最简真分数的和是多少？
倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加减恒等式
个数。
若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得
这九个分数是
28.计算比较
例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？
……
可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11
凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。
不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。
只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。
29.由验算想
例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303＝( )，
商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。
所以商是12。
30.想倍比
31.扩缩法
例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。
若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又
若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5
最佳想法：
两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求
32.分别假设
例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。
设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，
正方形边长2÷25％＝8(米)，
面积8×8＝64(平方米)。
高中数学解题技巧归纳
高中数学破题技巧 主讲人：徐德桦（绍兴一中） 一、列举法 【方法阐释】列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合的基本运算进行求解的方法。这种方法适用于数集的有关运算以及集合类型的新定义运算问题，也适用于一些集合元素比较少而且类型比较单一类型的题目，如排列组合等等。 【典型实例】 设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q={z|z=a/b,a∈P,b∈Q}，若P={-1,0,1}，Q={-2，2}，则集合P*Q中元素的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 二、定义法 【方法阐释】利用定义判断充分条件和必要条件的方法就是最基本的、最常规的方法（回忆一下这些条件的判断方法），一般拿到陌生的题目或者一些新定义类型的题目都需要从定义和性质出发寻找突破口。 【典型实例】 “（m-1）(a-1)>0”是“logam>0”的（）（logam 意思就是以a为底m的对数） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三、特殊函数法
【方法阐释】对于一些小题目（譬如，选择题和填空题）一般不需要详细的过程和步骤，只要有一种预感和能说服自己的理由可以尝试地使用一些特定的函数或者说特殊值。给定函数f(x)具备的一些性质来研究它另外的一些性质。对于能看出来是定值的题目一般也宜用特殊值法。 【典型实例】 定义在R上的函数f（x）关于（2,0）对称，且在[2,+无穷）上单调递增，如果x1+x2>4,且（x1-2）(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)与0的大小关系是（） A.f(x1)+f(x2)>0 B.f(x1)+f(x2)=0 C.f(x1)+f(x2)<0 D.无法判断 四、换元法 【方法阐释】这是一种高中阶段最常用的数学解题方法，贯穿于高中所有的阶段。解题过程就是将复杂的抽象的难以分辨和讨论的问题转化为简单具体直接而且熟悉的问题。例如，求函数y = x^4+2x^2-8的最值，就可以t=x^2(t>=0),这里t的范围需要特别注意。 【典型实例】 若2= 高中数学九大解题技巧 1、配法 通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的 恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常 用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、 几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多， 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数 学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子， 使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别， △=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代 数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算 中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个 数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数， 计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线 的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学 中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从 而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用 构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透， 有利于问题的解决。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有 时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题 的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到 求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数 量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添 置辅助线，也很容易考虑到。 8、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集 合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变 如何实施小学数学教学 实施小学数学教学，我们必须牢固地确立以学生为中心的教育主体观、以学生能力发展为重 点的教育质量观、以完善学生人格为目标的教育价值观。教师要充分地尊重学生的个体差异，让学生自主地学数学，让学生创造性地学数学，充满创新的活力。具体做法如下： 一、“生活中”学数学 《数学课程标准》指出：“数学教学要紧密地联系学生的生活实际，要从学生的生活经验和 已有知识点出发，创设生动有趣的情境。”要做到让数学联系生活，让数学回归生活，解决实际问题，达到数学学习的最终目的。 把“身边的数学”引入课堂，让数学走进孩子的生活，使学生感到“生活处处有数学”。如《认 识角》这一节课，在教学时我从学生身边熟悉的角出发，让学生在张开的剪刀、每天戴的红 领巾、时针分针形成角的钟面上找角，并指出生活中物体表面上有角，通过观察初步感知角，然后利用课件演示抽象出角的形状，让学生建立角的表象。在进一步观察中比较，寻找共同点，让学生表述自己所认识的角。整个过程学生表现出了极大的兴趣，进而对角有了深刻的 了解。在“巩固练习”环节，创设“帮小动物选滑梯”和“欣赏生活中的角”等环节。这样，不仅 使学生感受到数学就在身边，激发了学生学生活中数学的兴趣，而且学生的能力得到提高， 思维得以发展，教学效果显著。 二、“动手中”悟数学 孩子要建立空间观念，必须有动手做的过程，这也正是《标准》中提倡的重要学习方式。在《认识角》这课教学时，我让学生感知抽象的角的形状以后，让学生记住它的样子，再让学 生亲自动手摸一摸三角板，感知角的顶点是尖尖的和角的两条边是平平的直直的，然后抽象 出角有两条直直的边、一个尖尖的顶点的显性特征。这个结论是学生自己动手摸一摸的感知 发现的，比起老师给予的，印象深刻得多，效果自然是大不相同。最后，还让学生动手画角，使学生在动手操作中亲身体验知识的形成和发展的过程，进一步认识角。 三、“游戏中”思数学 动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。例如《认识角》这节课，我以 游戏PK的形式贯穿整节课。为了突破本节教学重难点，我放手让学生在游戏中“玩角”及同桌之间“比角”来发现角的奥秘。先给每位学生提供一个学具“活动角”，让学生在“超级变变变” 的游戏中体验“角的张口可大可小”的特征；再引导学生动手、操作发现张口的大小变化导致 角的大小变化，讨论得出“角的大小与张口大小有关”的结论。这样较好地突破了本节的教学 难点。再给每位学生提供第二种学具“固定角”，同桌之间合作比较角的大小，在游戏中让学 生会运用“观察法”比角，使“角的大小与张口大小有关”的结论进一步得到巩固。同时，当两 个角大小接近时，同桌之间通过游戏“比角”来发现：可以运用“重合法”进行比较，也就是“顶 点对顶点，一条边对一条边，再看另一条边”。就这样，在轻松愉悦的游戏氛围中，学生思维在碰撞中产生火花，从而得出了优化比较角的大小的方法。 四、“创新中”导数学 创造性教学表现为教师不在于把知识的结构告诉学生，而在于引导学生探究结论，在于帮助 学生在走向结论的过程中发现问题、探索规律、习得方法；教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和 有效的学习策略。 创造性教学有多种做法，如动手操作、制造悬念、实物观察、电教媒体展示等。如教学“平 行四边形面积公式”的推导时，先让学生回忆长方形面积的计算，并有意渗透转化的思想，然后让大家想一想谁能把平行四边形转化为长方形，导出平行四边形面积的计算公式，比一比 最新小学数学公式大全 公式定义 第一部分：概念 第二部分：定义定理（算术方面） 第三部分：计算公式 第四部分：几何体 第一部分：概念 1，加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2，加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3，乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4，乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5，乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5=2×5+4×5 6，除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O 除以任何不是O 的数都得O。 简便乘法：被乘数，乘数末尾有O 的乘法，可以先把O 前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7，什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8，什么叫方程式答：含有未知数的等式叫方程式。 9，什么叫一元一次方程式答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10，分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。 11，分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12，分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。 异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 13，分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 14，分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15，分数除以整数（0 除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 16，真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 17，假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。18，带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 19，分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外），分数的大 小不变。 20，一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 21，甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 分数的加，减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 22，什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5 或3：6 或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0 除外），比值不变。 23，什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3：6=9：18 24，比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 25，解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3：χ=9：18 26，正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关 如何让小学生喜欢上数学 学生喜欢上自己的课，这对于一个教师来说是一种荣誉，同时也是进一步提高教学效果的前提。“兴趣是最好的老师”,只有学生对数学产生了浓厚的兴趣，才能使他“乐学、爱学、会学”。在课堂上，培养学生数学学习兴趣的途径是多种多样的，除了和谐、融洽的师生关系外，更重要的是选择恰当的教学方法.如果我们能根据学生学习的特点，努力处理好课堂教学问题，那么，我们的教学工作就有可能进入好上加好，锦上添花的境界。就我个人教学谈几点看法： 一、利用直观手段进行教学 低年级的学生抽象思维能力较差，可是他们好动、好奇心强，对新奇动人的事物比较敏感。因此，在低年级课堂教学中，教师应根据学生的年龄特点和生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。在教学10以内数的顺序时，我设计了一个坐火车的游戏，先让学生排队买票，再根据“火车票”上的数字找相应的车厢。这样一方面认识数的顺序，又进行了社会生活方面的教育，学生在游戏当中掌握了数学知识，寓教于乐。 二、利用数学游戏进行教学 小学生的注意力只能保持15分钟左右。在教学中，如果组织学生通过灵活多变的游戏活动来学习数学知识，他们就会对学习产生更浓厚的兴趣，把注意力长时间地固定在学习的对象上来，使教学收到更 好的效果，而且课堂气氛妙趣横生，师生感情融为一体。 如：巩固“倍”的概念时，和学生一起做拍手游戏。教师首先拍2下，然后拍4个2下，让学生回答第二次拍的是第一次的几倍。接着，按要求师生对拍，进而同桌同学互拍。如复习“小数的减法”时，可让学生做“争当模范营业员”的游戏，教师一手拿着人民币，一手举着所购买的物品的价格卡，让学生算出要找回的钱，并写在练习本上，五次后评出模范营业员，这样促使学生进一步巩固学到的知识。这样的教学过程，学生始终精神集中、情绪高涨。这种简单易行的游戏，深受学生喜爱。 四，尊重学生，做学生的良师益友。 学生喜欢上某位教师的课，师生之间的感情因素也是很重要的。往往有一些教师偏爱思想严重，对学习好，表现好的学生很亲切，而对学习不好，表现差的学生则态度冷漠，学习不好，表现差的学生在这样的教师面前抬不起头来，更不敢向教师请教。由于得不到正确的引导与帮助，这部分学生只会越滑越远，并且产生和教师对立的情绪，用不学习不听课的方式来表达自己对教师的不满。所以，教师应该树立起高尚的师德，满腔热忱地去帮助每一位学生，让每一位学生都不失去走向成功的机会，这样才能换来学生真诚的爱戴，才能换来学生对自己所教学科的由衷喜爱，才能换来尽可能大的教学效益。 四、学习评价表扬为主 教师在施教过程中的一次微笑、一个信任的眼神、一句鼓励的话语，都会增进学生的学习信心，使学生感到莫大的欣慰和鼓舞。教师 第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 怎样实施小学数学教学 摘要：《数学课程标准》中指出：”数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”21世纪教育的使命是帮助学生学会学习，学会共处.小学生正处在身心迅速发展又极具可塑造性的阶段，是实施教育最佳期.对于小学数学的成功与否，在很大程度上又表现在学生能否运用所学的知识去解决实际问题.新编数学教材从概念的形成、方法的归纳，知识的运用等方面已成为这方面的教学创造了良好的条件.但如何运用这些条件，创造地发挥老师的主观能动性，培养学生解决实际问题能力，需要我们不断的实践和探讨。 关键词：小学数学；教学；教法；创新 中图分类号：G623.5文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）10-0225-01 1.创设课堂教学生活化情境 浓厚的学习氛围和生动有趣的学习情境，是学好数学的保障。爱玩是孩子的天性，即使是孩子在玩儿，也能不断地接受新的知识、新鲜的事物，怎样才能让孩子在玩儿中获得知识呢？心理学研究表明：当学习的内容与儿童的生活经验越接近时，学生自觉接受知识的程度也就越高。在课堂教学中，教师应从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事情出发设 计数学活动，使学生身临其境，激发学生去发现、探索和应用，学生们就会发现原来熟视无睹的事物竟包含着这么丰富的数学知识。例如老师可以把学生春游中的情境拿到教学中来，”同学们去春游，争着要去划船，公园里有7条小船，每船乘6个人，结果还有18个人在岸上等候。”在课上，让学生根据情境自己编题，自己列式解题。这样，不但把教材中缺少生活气息的题材变成了来自生活的、生动的数学问题，还促使学生能够主动投入、积极探究。针对每课不同的学习内容，我编排设计了很多不同的游戏、故事。例如，加法课时，我拿了5瓶奶，以演员形式表演：我扮演老红军爷爷，让两个小朋友张献和李帅分别看望红军爷爷。张献拿了3瓶、李帅拿了2瓶，问红军爷爷一共收到多少瓶奶？3+2=5。然后，红军爷爷又拿给三个小朋友每人一瓶，问红军爷爷还有多少瓶？5-3=2。就这样通过实物表演，孩子们高高高兴学会加法，又学会思考和动手能力。 2.积极运用主体参与型教学模式 弗赖登塔尔是世界著名的数学家和数学教育家，有着极其渊博的知识和丰富的教育经验。他认为数学学习主要是进行”再创造”，或者是他经常提出的”数学化”。按照他的观点，这个”化”的过程必须是由学习者自己主动去完成，而不是任何外界所强加的。”主体参与”型小学数学教材教法课堂教学模式突出学生的主体地位，以学生为本，让 小学数学公式大全整理（完整版） 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形的底=面积×2÷高a=2S÷h 三角形的高=面积×2÷底h=2S÷a 平行四边形的面积=底×高 S=ah 平行四边形的高=平行四边形的面积÷底h=S÷a 平行四边形的底=平行四边形的面积÷高a=S÷h 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 梯形的上底=面积×2÷高-下底 梯形的下底=面积×2÷高-上底 梯形的高=面积×2÷（上底+下底）a=2S÷（a＋b） 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中： S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了 高中数学解题的21个典型方法与技巧 2018-12-26 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有： ①()2222a ab b a b ±+=± ②()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ③()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++? ? ④222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。 ①因式分解型：()()0---?---=，两种情况为或型。 ②配成平方型：()()22 0---+---=，两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路： ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ②求取值范围的思路??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 谈素质教育在小学数学教学中的实施 罗周鸿 随着我国教育改革的不断深入，基础教育必须由“应试教育”向素质教育全面转轨，已为广大教育工作者所共识。所谓素质教育，是以培养和提高全体公民的基本素质为最终目的的教育。而小学的素质教育是指以开发儿童身心潜能，培养和提高儿童各方面素质为出发点和归宿，以社会文化（包括思想品德）的传播为宗旨，以心理品质培养为中介，以身体素质训练为基础的德、智、体全面和谐发展的教育，其最终目标是造就具有良好素质的合格公民。① 小学数学是义务教育的一门重要学科，从小给学生打好数学的初步基础，使他们掌握一定的数学基础知识和基本技能，这是我国公民应具备的的文化素养之一。因此，素质教育在小学数学教学中的实施，直接影响人的文化素质、思维品质、思想品德、生理和心理素质的形成。 当前，小学数学教学受“应试教育”的影响，存在着重知识轻能力、重结论轻过程、重智育轻德育、重讲解轻学习、重课内轻课外、重“学会”轻“会学”的现象，束缚了学生学习主动性的发挥，影响了学生个性的发展和创造意识的培养。要克服这些不良倾向而实施素质教育，必须明确小学数学教学的指导思想是着眼素质、加强基础、培养智能、重视德育、发展个性，教学要坚持面向全体学生，使学生全面地、生动活泼地、主动地得到发展，从而学会学习、学会生存、学会做人、学会创造。为此，本文试就素质教育在小学数学教学中的实施谈几点个人浅见，就教于专家和同行。 一、面向全体学生，使所有学生都得到最大可能的发展 面向全体学生，促进所有学生的全面发展，这是素质教育的一大本质特征。 提高民族素质，必须从培养每一个人的素质入手，因为每一个人的素质是民族素质的基础，民族素质是每一个人素质的融合和升华。所以在小学数学教学中必须面向全体学生，使每个学生在原有基础上都得到最大可能的发展，从而实现全体学生素质的提高。在教学实践中怎样去实现这一目标呢？笔者认为，要使教学能促进全体学生的最大发展，以下两大教学措施不可缺少。 1．正确对待学生的个别差异。 首先，要相信所有智力正常的儿童都能学好小学数学。教学实践经验表明：数学成绩不佳儿童中的绝大多数都不是由于自身的智力因素造成的，主要是由于他们的非智力因素和教学条件造成的。因此，我们不能把差生形成的原因完全归结为智力上的原因，更不能将差生和“弱智”简单地划等号。对此，在教学中我们要树立起每个学生都能学好数学的信心，这是搞好面向全体学生的根本保证。 其次，要承认学生的个别差异。由于每个儿童的先天素质和后天影响在事实上存在着一定的差别，这种差别的结果必然要反映为他们在学习兴趣和动机、学习气质和能力、学习方法和习惯等方面的个别差异。显然，一个地区、一所学校、一个班的学生在学习水平和学习效果上不可能整齐划一。对此，在教学中我们要承认这种客观差异，并以此为依据去有针对性地实施小学数学教学工作。 2．正确处理统一要求与因材施教的关系。 小学数学公式大全 几何形体周长、面积，体积的计算公式 周长 长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 面积 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a×a（a= a） 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高 S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 圆的面积=圆周率×半径×半径 S=π×r2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。 公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。 公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。 公式：V=1/3Sh 三角形的面积＝底×高÷2 公式S= a×h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度 体积 单位换算 1公里＝1千米1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米（4）1吨＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤= 2市斤 （5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米 （6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米 （7）1元=10角1角=10分1元=100分 （8）1世纪=100年1年=12月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天 。 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月 1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600 秒数量关系计算 每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍 数速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 算术 加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 如何让小学生爱上数学课 湖口第三小学彭红云小学生有着好动、爱玩的天性。除此之外，他们还有注意力不集中，形象思维为主等特点。这些特点让学生对本来就枯燥、抽象的数学课感到厌烦。然而，数学是培养学生思维能力的重要学科。小学更是为以后的学习打基础的最重要的阶段。因此，学好数学的必要性和重要性不言而喻。只有让学生喜欢数学才能学好数学。如何才能让学生喜欢、爱上数学？这是值得我们广大数学教师思考的问题。我认为最重要的是培养学生的兴趣和树立学好数学的信心。 爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师！”如果学生对学习数学产生了浓厚的兴趣，就会产生一种强烈的求知欲望，表现出对数学学习的一种特殊情感，学习起来乐此不疲。在教学实践活动中，我总结出了以下三种培养学生学习数学兴趣的方法。 一、创设有趣的情境 《课程标准》在课程实施建议中明确指出：数学教学要求紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，为学生提供从事数学活动的机会，激发对数学的兴趣以及学好数学的愿望。为此，广大教师都非常重视创设情境，力求为学生提供良好的学习环境。 例如，在认识负数这一课的学习时。我们可以创设一个与生活有密切联系的生活情境。图书馆的管理员平时是如何表示借书和还书的呢？ 学生对借书和还书比较熟悉，这样更能让他们去主动思考。很多学生在思考的过程中有收获。他们有的说用箭头表示，→表示还书，←表示借书。还有的说用大写字母表示，J表示借书，H表示还书。当然，也有同学会说用加号和减号来表示。这时老师补充：以前我们学的＋和?叫加号和减号。但是今天，他们有了新名字：正号和负号。由此，导入今天的课题：认识负数。 学生对这样的介绍印象会更加深刻，并对他们产生兴趣和好奇。因此，能够主动的学习，渴望得到知识。这样的导入就使这节课成功了一半。 二、运用诙谐幽默的语言 数学课不像语文科那样充满丰富多彩的语言，也不像英语课有那么多的唱唱做做环节。大部分数学课比较抽象、乏味，课堂气氛容易出现过于沉闷的现象，教师适时幽默一下，既活跃了气氛，又帮助学生掌握了知识。 例如，在讲认识图形的一课时。很多同学不能正确的区分长方形和平行四边形。尤其是当长方形不是正着放的时候。这时，我就和同学们说：“平行四边形其实是长歪了的长方形。”同学们听了之后，哈哈大笑。并且知道如何区分长方形和平行四边形了。同时，还掌握了平行四边形和长方形一样，对边相等的特点。 数学课在运用幽默时，既要寓庄于谐，又要适可而止，不要画蛇添足，牵强附会。一个友善的微笑，一个很小的动作，一句恰当的话语都可以融入幽默，折射出教师教学的艺术水平。因此，每位数学教 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）高中数学九大解题技巧
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