最新江苏省历届高等数学竞赛试卷(-)

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1.函数

sin sin y x x

=（其中

2x π

≤

）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n

x 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m n

n d x p x dx -=

，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.

2

22

[cos()]sin x x xdx π

π-+=

?_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由

?=--x

t dt e t 1

2

所确定的隐函数，则

==0

2

2t dt x

d 。

7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。

8.直线21x z

y =??

=?

绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v 为单位向量，b a ??3+垂直于b a ??57-，b a ??4-垂直于b a ??27-，则向量b a ?

?、的夹

角为____________。

10.

=?????????? ?

?+???? ??+???? ??+∞→n

n n n n n 1

2222

2212111lim Λ 。

二、（7分）

设数列{}n a 满足1

,2,

21≥+=->+n a a a n n n

，求n

n a ∞

→lim 。

三、（7分）求c的值，使?=

+

+

b

a

c

x

c

x0

)

cos(

)

(

，其中a

b>。

四、（12分）求由曲面

222222

,,

x y cz x y a xy b

+=-=±=±和0

z=所围区域的体积（其中

,,

a b c为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m（其中01

q

<<），如此不断重复

左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的

q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明20

1

()3f x dx M

≤?

，

其中 [0,2]

()

max x M f x ∈''=.

江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1. 111414242lim n n n n n →∞??+++= ?+++?

?L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+??=?确定的隐函数，则z x ?=?____________________。

3.设

2

2

()(32)cos

16n

x f x x x π=-+，则()

(2)n f =________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为

1cos 2x y xe x

=，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22

221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。 6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r ，(,)3a b π∧=r r ，则0

lim x a xb a

x

→+-=

r r r

___________________。

7.

2

3

1

1(cot )dx x π

=

+?

_______________________。

8.椭球面

222241x y z ++=

与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。 二、（8分）试比较e π与e π

的大小。

三、（10分）已知,a b 满足

1

2b a

x dx =

?

，（0a b ≤≤），求曲线

2

y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：

)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。求证： )

0,0(),(1

lim

2

f dxdy y x f t D

t =

??→。

五、（10分）求不定积分dx

xe x x x x ?++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程0462222

2=??+???+??y u

y x u x u 化简成

02=???ηξu

，求b a ,的值。

七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠,

证明：10

[0,1]

()4()

max x f x dx f x ∈''≥?

。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共40分）

1.若0a >

，

2006

1lim lim[sin()tan 3]

sin 6x

x x x x x x ππ→→=-- ，则a =____________.

2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--??-则(0)f '=________________.

3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与

1

()2b

a x -为等价无穷小，则 a =_____________,

b =_______________.

4.

2

||1

x xe dx --=

?

___________________________.

5.直线23223x y z x y z +-=??

-+=?

在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为

____________.

6.++π

αβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的

6

面积为______________.

2

7.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx '==≠=设当时

，则

8.设函数)(x y y =是由033

3

=-+axy y x （0>a ）确定，则=

+∞→x y

x lim

。

二、（10分）

设

,0

()0,0

x y f x x >===??；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

三、（10分）

22(1)(3).x x --2设f(x)=x

(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.

(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.

四、（10分）

220

x sin u x (sin ),.

3sin 4cos x

x

f x dx dx x π

π

π

π

+???

若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=

并求2

五、（10分）

10()[0,1]0x

1|f ()|ln 2.

2

f x x dx ≤≤≤≤?设在区间上可积，当时，又求证：

六、(10分)

求过点

)0,9,

11

(，而与两直线?

?

?

=

+

+

-

=

+

4

:

1z

y

x

y

x

L

、?

?

?

=

-

+

=

-

+

2

1

3

:

2z

y

y

x

L

相交的直线方

程。

七、（10分）

设

)(t

f连续函数，求证2

,

2

:

,

)

)(

(

)

(

A

y

A

x

D

dt

t

A

t

f

dxdy

y

x

f

D

A

A

≤

≤

-

=

-

???-

。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)

一、填空题（每小题5分，共40分）

1.

____________

x →=

2. 函数f(x)=

()2

232x

x x x

++-的不可导点的个数为___________.

3.设

f(x)=0 0x x ?≤?f ,则31(2)f x dx -?=_______________.

4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dy

dx

=_______________.

(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则1

01lim

()________

x f xt dt x →=?

5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：21

35x z x y z +=??-+=?和

22,:14,3x t l y t z =-+??

=-??=?

垂直，则l 的参数方程为_______________________.

6.

ln x dx =?_____________________.

7. 设

)

(1

lim

)(2212N n x

bx

ax x x f n

n n ∈+++=-∞

→， 极限与)(lim 1

x f x →)

(lim 1

x f x -→都存在.，则

a =______________________、

b =___________________________.

8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。

二、（9

分）求lim sin(n →∞.

三、（9分）α为正常数，使得不等式x

x e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.

四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，

''

()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.

五、（9分）设连续函数

()

f x满足()

f x=

12

23

00

()(),().

x x f x dx x f x dx f x

++

??求

六、（9分）设

]

[

)

(x

x

x

f-

=（]

[x表示不超过x的最大整数），求极限

?

+∞

→

x

x

dx

x

f

x0

)

(

1

lim

。

七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,k

f x y k x y x y x y

=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。

江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛

本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.已知

3

1

[()]()______________. d

f x f x

dx x

'

==

，则

2.

1

ln

lim(tan)______________.

x

x

x

+

→

=

3.

_______________. =

4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则

=

??+??y z x z ；

5. [()()]sin ________________.

a

a

f x f x xdx +-+-=?

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.函数

21

()(1)x e f x x x -=

-的可去间断点为( ) A 、0,1x = B 、1x = C 、0x = D 、无可去间断点 2. 改变积分次序

21

10

1

(,)y

y dy f x y dx --=

?

?( )

A

、

1

1(,)dx f x y dy -? B

、011100

(,)(,)x

dx f x y dy dx f x y dy

--+?

??

C

、

1

(,)dx f x y dy

? D

、

1

11

(,)x dx f x y dy

--?

3.设()f x 可导, ()()(1sin )

F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( )

A 、(0)0f '=

B 、 (0)0f =

C 、 (0)(0)0f f '+=

D 、 (0)(0)0f f '-=

4.若0000(,)(,)

,

x y x y f f x

y

????都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )

A 、连续且可微

B 、连续但不一定可微

C 、可微但不一定连续

D 、不一定可微也不一定连续

5. 22

(,)(2)x f x y e x y y =++在点

1,12??- ???处取( ) A 、极大值2e -

B 、极小值2e

-

C 、不取得极值

D 、极小值e

三、（8分）设2

2

22

ln(1)()

lim

(ln )x

e

x t x ax bx dx x x e dt

+∞

→+-+=?

?

，求常数,a b 。

四、（6分）设(1)y

z xy =+，求(1,1)dz 。

五、（6分）设(),()f x g x 在[]

,a b

上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有

()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之

间，()g x 至少有一个零点。

六、（6分）计算二重积分2

D

||y x dxdy -??，其中积分区域

:1,0 2.

D x y ≤≤≤

七、（8分）过抛物线2y x =上一点

2

(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图面积最小？

八、（6分）当0→x 时，220

()()()x

F x x t f t dt

'=-?的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '。

九、（8分）计算dx

x

x ?

∞+++0

2

2

)

1)(1(1。

十、（8分）求两直线??

?+==12x z x

y 和???=+=x z x y 3之间的最短的距离。

十一、（6分）求581x x

dx x -+?。

十二、（8分）设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且满足

222

224

()2

()x y t f t x y f dxdy t +≤=++??

，求()f x 。

江苏省第六届（2002年）高等数学竞赛

本科三级，民办本科竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）

0e 1.lim

(0k _____,____.

x k

x c c c x →-=≠==设），则

+++2.f(x)lim f ()0,f(x)B. lim f ()0,f(x)C. lim f ()=1,f(x)x x x x x x '→∞

'→∞

'→∞

∞=∞≠∞∞设在[1,+)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若则在[1,+)上有界

若则在[1,+)上无界

若则在[1,+)上无界

3.e ()1y=y(x),y (0)_______.y x y x x -"+-=+=设由确定则

4.(arcsin arccos )____________.

x x dx -=?

4

5.________________.

+∞

=?

2z 6.()(,sin ),g ______________.

x

y z f g e y f x x y ?=+=??的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则21

30

7.dx (,)____________.

x

x

f x y dy -=??交换积分次序

28.x 5y +=2函数f(x,y)=2x-y+1满足方程的条件极大值为____,条件极小值为____.

二、（8分）

设()f x +∞在[0，）上连续且单调减少，0a b <<，证明：0

()().

a

a f x dx

b f x dx ≤??b a

三、（9分）

k f -+-+k ≥∞∞∞∞设f(x)=kx+sinx.

(1)若1，求证：(x)在（，）上恰有一个零点;

(2)若0