近十年高考物理力学压轴题

力学

2003年理综（全国卷）

34．（22分）一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都

与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个

在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送

到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度

不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每

个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带

静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。

已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为

N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均抽出功率P。

参考解答：

以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有

s＝1/2at2①

v0＝at ②

在这段时间内，传送带运动的路程为

s0＝v0t ③

由以上可得

s0＝2s ④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A＝fs＝1/2mv02⑤

传送带克服小箱对它的摩擦力做功

A0＝fs0＝2·1/2mv02⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量

2⑦

Q＝1/2mv

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为

W＝P T ⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W＝1/2Nmv02＋Nmgh＋NQ ⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以

v0T＝NL ⑩

联立⑦⑧⑨⑩，得

P ＝T Nm [22

2T L N ＋gh]

2004年全国理综

25．（20分）

柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：

柴油打桩机重锤的质量为m ，锤在桩帽以上高度为h 处（如图1）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M （包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一距离l 。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩幅之间的距离也为h （如图2）。已知m ＝1.0×103kg ，M ＝2.0×103kg ，h ＝2.0m ，l ＝0.20m ，重力加速度g ＝10m/s 2，混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F 是恒力，求此力的大小。

25．锤自由下落，碰桩前速度v 1向下，

gh v 21= ①

碰后，已知锤上升高度为（h －l ），故刚碰后向上的速度为

)(22l h g v -= ②

设碰后桩的速度为V ，方向向下，由动量守恒，

21mv MV mv -= ③ 桩下降的过程中，根据功能关系，

Fl Mgl MV =+22

1

④ 由①、②、③、④式得

])(22)[(l h h l h M

m

l mg Mg F -+-+

= ⑤ 代入数值，得

5101.2?=F N ⑥

2005年理综（四川、贵州、云南、陕西、甘肃）

25.（20分）如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s 。已知男演员质量m 1和女演员质量m 2之比m 1/m 2＝2秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点低5R 。

解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v 0，由机械能守恒定律，

2

2121)(2

1)(v m m gR m m +=

+ 设刚分离时男演员速度的大小为v 1，方向与v 0相同；女演员速度的大小为v 2，方向与

v 0相反，由动量守恒，2211021)(v m v m v m m -=+分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C 点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律，22

14gt R =

t v x 1=，根据题给条件，女演员刚好回A 点，由机械能守恒定律，2

2

222

1v m gR m =

，已知m 1＝2m 2，由以上各式可得x ＝8R

2006年全国理综（天津卷）

25．（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是

观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期。

（1）可见得A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m /

的星体（视为质

点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2。试求m /

的（用m 1、m 2表示）；

（2）求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m I 的两倍，它将有可能

成为黑洞。若可见星A 的速率v ＝2.7m/s ，运行周期T ＝4.7π×104s ，质量m 1＝6m I ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？

（G ＝6.67×10

11

－N ·m/kg 2，m I ＝2.0×1030kg ）

解析（1）设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有

F A ＝m 1ω2r 1 F B ＝m 2ω2r 2 F A ＝F B

设A 、B 之间的距离为r ，又r ＝r 1＋r 2，由上述各式得 r ＝

12

12

m m r m ① 由万有引力定律，有

F A ＝G

12

2m m r

将①代入得

F A ＝

G 312

22

12()m m m m r

+ 令

F A ＝

G 121

/

m m r

比较可得

32

12()

/

=m m m m + ②

（2）由牛顿第二定律，有

/2

11211

m m v G m r r = ③

又可见星A 的轨道半径

r 1＝

2vT

π

④ 由②③④式可得

3322

12()2m v T

m m G

π=+ （3）将m 1＝6m I 代入⑤式，得

3

3222(6)2I m v T

m m G

π=

+ ⑤ 代入数据得

32

2

2 3.5(6)I I m m m m =+ ⑥

设m 2＝nm I ，（n ＞0），将其代入⑥式，得

3222

2 3.56(6)(1)I I I m n

m m m m n

==++ ⑦

可见，32

2

2(6)I m m m +的值随n 的增大而增大，试令n =2，得

20.125 3.56(1)I I I n m m m n

=<+ ⑧

若使⑦式成立，则n 必须大于2，即暗星B 的质量m 2必须大于2m I ，由此得出结论：

暗星B 有可能是黑洞。

2006年全国理综（重庆卷）

25.(20分)（请在答题卡上作答）

如题25图，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A 、B 质量分别为m 、βm （β为待定系数）。A 球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为R 4

1

,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g 。试求： （1）待定系数β;

（2）第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速度和B 球对轨道的压力; （3）小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度。

解析：（1）由mgR ＝

4

mgR +4mgR

β得

β＝3

（2）设A 、B 碰撞后的速度分别为v 1、v 2，则

2112mv =

4mgR 2

212

mv β=4mgR β 设向右为正、向左为负，解得 v 1

v 2

设轨道对B 球的支持力为N ，B 球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向

下为负。则

N －βmg ＝22

v m R

β

N /＝－N ＝－4.5mg ，方向竖直向下

（3）设A 、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V 1、V 2，则

121222

121122

mv mv mV mV mgR mV mV βββ--=+??

?=+?? 解得：V 1

V 2＝0

（另一组：V 1＝－v 1，V 2＝－v 2，不合题意，舍去） 由此可得：

当n 为奇数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同

当n 为偶数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同

2008年（四川卷）

25．（20分）

一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h 0＝1m ，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m ＝0.09kg 的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g ＝10 m/s 2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

25．（20分）

解法一：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v 。

由功能关系得

θ

θμsin cos 212h mg mv mgh +=

① 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

)(v m mv I --= ② 设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h ’，则

θ

θμsin cos 212h mg h mg mv '+'= ③ 同理，有 θ

θμsin cos 212h mg v m h mg '

+'=

' ④ )(v m v m I '--'=' ⑤

式中，v ’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I ’为再次碰撞过程中挡板给小物块的

冲量。由①②③④⑤式得

kI I =' ⑥

式中 μ

θμ

θ+-=

t a n t a n k ⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

)c o t 1(2201θ

μ-=gh m I ⑧ 总冲量为

)1(3214321k k k I I I I I I +++=+++= ⑨ 由 )11112k

k k k k n

n --=

?+++- ⑩ 得 )cot 1(221104

θμ---=gh m k

k I ⑾

代入数据得 )63(43.0+=I N ·s ⑿

解法二：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a ，依牛顿第二定律得

ma mg mg =-θμθcos sin ①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v ，则 θ

s i n 22h

a

v = ② 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

)(v m mv I --= ③

由①②③式得

)cot 1(221θμ-=gh m I ④

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a ’， 依牛顿第二定律有 a m mg mg '=-θμθcos sin ⑤ 小物块沿斜面向上运动的最大高度为 θsin 22

a v h '

=

' ⑥ 由②⑤⑥式得 h k h 2=' ⑦ 式中 μ

θμ

θ+-=

tan tan k ⑧

同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

)cot 1(22θμ-'='h g m I ⑨

由④⑦⑨式得 kI I =' ⑩

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

)c o t 1(2201θ

μ-=gh m I ⑾

总冲量为 )1(3214321k k k I I I I I I +++=+++= ⑿

由 )1111

2k

k k k k n n --=?+++- ⒀ 得 )cot 1(221104

θμ---=

gh m k

k I ⒁ 代入数据得 )63(43.0+=I N ·s ⒂

π

β

α-=1T t ○

4 式中， A CO /∠=α， B CO /

∠=β 。由几何关系得

11cos R R r -=α ○

5

11cos R r =β ○6 由○

3○4○5○6式得 ????

?

?--=

111331arccos arccos r R r R R mr Mr T

t π

○7 评分参考：○

1○2式各4分，○4式5分，○5○6式各2分，○7式3分。得到结果 ???

?

??--=

1111331arcsin arcsin r R R r R mr Mr T

t π

的也同样得分。2008年（全国Ⅱ卷） 25．（20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月

球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。 25．（20分）

如图，O 和O /分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心线OO /与地月球面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点。卫星在BE 弧上运动时发出的信号被遮挡。

设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G ，根据万有引力定律有

r T m r Mm G 2

22??

? ??=π ○1 12

1

02102r T m r mm

G ???

?

??=π ○

2 式中，T 1是探月卫星绕月球转动的周期。由○

1○2式得 3

12

1??? ??=??

?

??r r m M T T ○

3 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有

2008年（广东卷）

20．（17分）

如图17所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置Ｕ形滑板Ｎ，滑板两端为半径Ｒ＝

0.45m 的1/4圆弧面，Ａ和Ｄ分别是圆弧的端点，ＢＣ段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块Ｐ1和Ｐ2的质量均为m ，滑板的质量Ｍ＝4m ．Ｐ1和Ｐ2与ＢＣ面的动摩擦因数分别为μ1=0.10和μ2=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，Ｐ2静止在粗糙面的Ｂ点．Ｐ1以v 0 = 4.0m/s 的初速度从Ａ点沿弧面自由滑下，与Ｐ２发生弹性碰撞后，Ｐ1处在粗糙面Ｂ点上．当Ｐ2滑到Ｃ点时，滑板恰好与槽的右端碰撞

并牢固粘连，Ｐ2继续滑动，到达Ｄ点时速度为零．Ｐ1与Ｐ2视为质点，取g =10m/s 2

，问：

(1) Ｐ1在ＢＣ段向右滑动时，滑板的加速度为多大？

(2) ＢＣ长度为多少？Ｎ、Ｐ1、Ｐ2最终静止后，Ｐ1与Ｐ2间的距离为多少？

20．（1）P 1滑到最低点速度为1v ，由机械能守恒定律有：

21202

1

21mv mgR mv =+ 解得：s m v /51= P 1、P 2碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为1

v '、2v ' 21

1v m v m mv '+'= 2221212

1

2121v m v m mv '+'= 解得：01

='v 2v '=5m/s P 2向右滑动时，假设P 1保持不动，对P 2有：m mg u f 422==（向左）

图17

对P 1、M 有：2)(a M m f += 22/8.054s m m

m

M m f a ==+=

此时对P 1有：m f m ma f m 0.180.01=<==，所以假设成立。

（2）P 2滑到C 点速度为2

v '，由22

2

1

v m mgR '= 得s m v /32=' P 1、P 2碰撞到P 2滑到C 点时，设P 1、M 速度为v ，对动量守恒定律：

2

2)(v m v M m mv '++= 解得：s m v /40.0= 对P 1、P 2、M 为系统：222

222)(2

1

2121v M m v m mv L f ++'-= 代入数值得：m L 9.1=

滑板碰后，P 1向右滑行距离：m a v S 08.0212

1==

P 2向左滑行距离：m a v S 125.122

22

2='=

所以P 1、P 2静止后距离：m S S L S 695.021=--=?

2008年（北京卷）

24．（20分）有两个完全相同的小滑块A 和B ， A 沿光滑水平面以速度v 0与静止在平面边缘O 点的B 发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B 运动的轨迹为OD 曲线，如图所示。

（1）已知滑块质量为m ，碰撞时间为?t ，求碰撞过程中A 对B 平均冲力的大小； （2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，物制做一个与B 平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD 曲线重合的位置，让A 沿该轨道无初速下滑（经分析A 在下滑过程中不会脱离轨道），

a ．分析A 沿轨道下滑到任意一点时的动量P A 与B 平抛经过该点时的动量P B 的大小关系；

b ．在OD 曲线上有一点M ，O 和M 两点的连线与竖直方向的夹角为45?，求A 通过M 点时的水平分速度和竖直分速度。

24、（1）mv A ＋mv B ＝mv 0，12 mv A 2＋12 mv B 2＝1

2 mv 02，解得：v A ＝0，v B ＝v 0，对B 有：F ?t

＝mv 0，所以F ＝mv 0

?t

，

（2）a ．设该点的竖直高度为d ，对A 有：E kA ＝mgd ，对B 有：E kB ＝mgd ＋1

2

mv 02，而

v 0

P ＝2mE k ，所以P A

b ．对B 有：y ＝12 gt 2，x ＝v 0t ，y ＝g 2v 02 x 2，在M 点，x ＝y ，所以y ＝2v 02

g ，因轨迹相同，所

以在任意点它们的速度方向相同，对B 有：v xB ＝v 0，v yB ＝2gy ＝2v 0，v B ＝ 5 v 0，对A 有：v A ＝2gy ＝2v 0，所以v xA ＝v xB v A /v B ＝2 5 5 v 0，v yA ＝v yB v A /v B ＝4 5

5

v 0。