三角代换公式

常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换

（1）对于1≤x ，可做代换?sin =x ，或?cos =x ；对于1≥x ，可做代换?sec =x ，或?csc =x ；对于R x ∈，可做代换?tan =x ，或?cot =x .

（2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换??2

c o s ,s i n a y a x ==；形如

()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换??22tan ,sec a y a x ==.

（3）形如2

y x =+，可作代换??cos ,sin a y a x ==；形如2

22a

y x =-，可作代

换??tan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3

a y x a

y x ，可作代换??3

232cos ,sin a y a x ==.

（5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换()

1cos ,sin 2

≤==r r y r x ??；形如

()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ??.

（6）形如122≤+y x ，可作代换()

1cos ,sin ≤==r r y r x ??；形如12

2≥+y x ，可作

代换()

1cos ,sin ≥==r r y r x ??.

（7）形如x -1可作代换?2

s in =x ，或?2

c o s =x ；形如

22a x +，可作代换

?tan a x =；形如22a x -，可作代换?sec a x =，或?csc a x =；形如22x a -，可

作代换?sin a x =，或?cos a x =.

（8）形如2

2211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换?tan =x ，或?

cot =x ；形如xy y x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x .

（9）形如x y z z y x =++，可作代换γβαt a n ,t a n ,t a n

===z y x （其中Z ∈=++n n ,πγβα）.

（10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2

tan

===z y x （其中

()Z ∈+=++n n ,12πγβα）.

上述各种代换，是三角代换中带有规律性的东西，恰当地运用这些规律，有助于熟悉三角代换的技能，减少代换的盲目性，提高解题的成功率.

2. 直角三角形中的三角代换

设在RT ?ABC 中，

90=∠C ，则a

A b a A c b A c a A ====

cot ,tan ,cos ,si n ，通过构造直角三角形可实施边角转换. 从而把有关角（或边）的问题转化为边（或角）的问题来

处理.

3. 长方体内的三角代换

设c b a ,,为长方体的三边长，过同一顶点的三条棱和过该点的对角线的夹角为γβα,,（γβα,,均为锐角）

，则称下列代换为长方体内的三角代换. c

b a c

c b a b

c b a a

++=

γβαcos ,cos ,cos ，

b a b

a c

b a a

c c b a c b +++=+++=+++=

γβαsin ,sin ,sin .

显然，2sin sin sin ,1cos cos cos 2

=++=++γβαγβα.

4. 球面上的三角代换

球心为原点()0,0O ，半径为R 的球的方程为2

R z y x =++. 可作代换：

???

? ??≤≤≤≤??

??===π?πθ?θ?θ?020cos sin sin cos sin R z R y R x . 若z y x ,,满足2

R z y x ≤++，则可作代换：

????

? ??≤≤≤≤≤≤???

??===π?πθ?θ?θ

?0200cos sin sin cos sin R r r z r y r x .

同角三角函数公式的转化

同角三角函数公式的转化同角三角函数的基本关系式十分重要，主要运用于三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化．在解答时，若能根据函数式的结构特点，适时灵活地选用公式，往往能获得简捷、迅速的解答．一、“１”的代换例１证明：66441sin cos 31sin cos 2 x x x x --=--．证明：∵22sin cos 1x x +=， ∴2231(sin cos )x x =+，2221(sin cos )x x =+， ∴662236644222441sin cos (sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x --+--=--+-- 424222223sin cos 3cos sin 3(sin cos )32sin cos 22 x x x x x x x x ++===··．评注：本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．同学们要注意掌握和灵活运用“1”的代换．二、化切为弦例2 化简：tan (cos sin )sin (tan cot )θ θθθθθ-++··．解：原式sin sin cos (cos sin )sin cos cos sin θθθθθθθθθ??=-++ ??? ·· 22sin sin sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ =-++=+ 例３求证：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x x x x --=-+．证明：右边sin 211tan 2cos 2sin 2cos 2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2x x x x x x x x x x - --===++ 2 (cos 2sin 2)(cos 2sin 2)(cos 2sin 2) x x x x x x -=+- 2222cos 2sin 22cos sin cos 2sin 2x x x x x x +-=- 2212sin cos2cos 2sin 2x x x x -==-左边．故原式成立．评注：三角中的化简及三角恒等式的证明问题常常采用“化切为弦”，即利用商数关系把切函数化为弦函数，以达到统一名称之目的．三、化弦为切例3 已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα -+；（2）222sin sin cos cos αααα-+．解：由已知tan 2α=．

三角函数中“1”的代换

义县高中高一数学组胡克让三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。常见的代换有： 22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44 αα αααα αααα αααααα π π =+=+-=-=-=?=?=?== 等等。下面例析几道题，供同学们参考。例1 已知sin cos αα-=tan cot αα+的值为 . 分析：本题解法有二，一种是将sin cos 2αα-=- 与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的值即可，而将sin cos αα-=sin cos αα的求解，进而问题得以解决。两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。解析：sin cos 2 αα-=-Q 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4 1sin cos 8 sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα ∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3 α=-，求下列各式的值：

高中数学-三角代换证明不等式和求最值

所以 (1 x) n n n 2n n 2n n 2 2 n (1＋x) 2 sin 2 cos 2 (sin cos ) 2 故原不等式 (1 x)n (1＋x)n 2n 成立。则 1-x=1-cos2 =1 (1 2si n 2 ) 2si n 2 2 1＋x 1 cos 2 2cos

三角函数变换的方法总结

三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。解析：已知显然有：由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。解析：设θ＋15°＝α，则原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ

三角函数常见习题类型及解法

1.高考考点分析各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 2.方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三角代换公式

三角代换公式常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换（1）对于1≤x ，可做代换?sin =x ，或?cos =x ；对于1≥x ，可做代换?sec =x ，或?csc =x ；对于R x ∈，可做代换?tan =x ，或?cot =x . （2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换??2 2 c o s ,s i n a y a x ==；形如 ()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换??22tan ,sec a y a x ==. （3）形如2 2 2 a y x =+，可作代换??cos ,sin a y a x ==；形如2 22a y x =-，可作代换??tan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3 3 3 a y x a y x ，可作代换??3 232cos ,sin a y a x ==. （5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换() 1cos ,sin 2 2 2 2 ≤==r r y r x ??；形如 ()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ??. （6）形如122≤+y x ，可作代换() 1cos ,sin ≤==r r y r x ??；形如12 2≥+y x ，可作代换() 1cos ,sin ≥==r r y r x ??. （7）形如x -1可作代换?2 s in =x ，或?2 c o s =x ；形如 22a x +，可作代换 ?tan a x =；形如22a x -，可作代换?sec a x =，或?csc a x =；形如22x a -，可作代换?sin a x =，或?cos a x =. （8）形如2 2 2211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换?tan =x ，或? cot =x ；形如xy y x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x . （9）形如x y z z y x =++，可作代换γβαt a n ,t a n ,t a n ===z y x （其中Z ∈=++n n ,πγβα）. （10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2 tan ,2 tan ,2 tan γ β α ===z y x （其中 ()Z ∈+=++n n ,12πγβα）.

例析三角函数中“1”的代换

例析三角函数中“1”的代换石阡县第三高中张军三角函数是中学数学教材中一种重要的函数，它又是研究其他各类知识的重要工具。凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形为研究手段。三角式的变形，包括三角式的化简、求三角式的值、证明恒等式和三角不等式等内容。特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容。在三角函数中，“1”的代换有：βαcot tan 1?=，αα22cos sin 1+=， 45tan 1=，1cos sec =?αα，1sin csc =?αα等等。在具体的三角变换过程中，常根据题目不同特征选择不同的变换方式，若能把常数“1”恰当处理并灵活运用常会有意想不到的惊喜。下面举例说明。例1、已知 11 tan tan -=-αα ，求2cos sin sin 2++ααα的值。分析：本题若常规思想，可由已知先求出αtan ，再由同角三角函数关系求得αsin 和αcos ，进而求出关系式的值，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐、费力，若借助题目条件的特殊性整体考虑，将 “αααcos sin sin 2+”的分母“1”看做αα2 2cos sin +直接转化为tan α的关系式求解救容易多了。解：由已知得2 1tan =α。 2 cos sin sin 2++ααα 5132121212121tan tan tan 2cos sin cos sin sin 2 2 22222=++?? ? ??+? ?? ??=+++=+++=αααααααα 评析：对形如ααcos sin b a +，αααα22cos cos sin sin c b a ++的式子称为关于αsin 、αcos 的齐次式，对涉及他们的三角式通常利用整体考虑的方法求解，使其转化为只含有正切的式子。例2 证明： αααα2222sin tan sin tan =- 分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。解：方法一（由右到左）右边=()ααααα22222cos tan tan cos 1tan -=- =αααα α α222222 sin tan cos cos sin tan -=-=左边因此 αααα2222sin tan sin tan =-

三角代换求函数最值问题

巧用三角代换求无理函数的最值上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2， 0, 2 例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。解：∵函数的定义域为则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0, 2 y sin cos 2 sin 4 又∵ 0则3 44 24 ∴2 sin1即 1y2 24 故当0 或2时，y m i n1 当时，y max2 4 例 2、求函数y3x x1的最值。解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0, 2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin1 4 ∵ 0 2则 444 ∴ 2 sin 2 即31y 3 1 242 故当 4即0 时，y m a x 3 1 4 当 4即 2 时， y min31 4

二、当函数的定义域为 x a,a a 0 时，则可设 x a sin ， 2 , 2 例 3、求函数 y x 2 4 x 2 的最大值和最小值。解：∵函数的定义域为 x 2,2 ，∴可设 x 2 sin ， 2 , 2 则原函数可化为 y 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 4 2 ∵ 则 3 2 2 4 4 4 ∴ 2 sin 1 即 4 y 2 2 2 2 4 故当 4 2 即时， y max 2 2 2 4 当 4 即 2 时， y min 4 4 三、当函数的定义域为 x a, b ，可设 x a b a cos 2 ， 0, 或者设 x a b b a cos ， 0, 2 2 2 例 4、求函数 y x 2 21 3x 的最值。解：∵函数的定义域为 x 2,7 ， ∴可设 x 2 7 2 cos 2 2 5 cos 2 ， 0, 2 则原函数可化为 y 5 cos 15 sin 2 5 sin 6 ∵ 0 2 则 3 6 6 ∴ 3 sin 1 即 15 y 5 2 2 6 故当 6 即 0 时， y max 5 6 当即时， y min 15 6 3 2 例 5、求函数 y 8 2x x 2 3x 的最大值或最小值。解：∵函数的定义域为 x 2,4

(完整版)几个常见的三角替换及其在解题中的应用

几个常见的三角替换及其在解题中的应用广东顺德李兆基中学唐秋生（5283000）《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。 [替换模型一] 222R y x =+，则可作替换 [替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换 ?????==θ θ 2 2 sin cos c b c a )2,0(πθ∈ [替换模型三] 21x y -=，可作替换 θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或，]2 ,2[π πθ-∈ 一、利用三角代换研究有理函数的最值 [例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值解：由条件可作替换：则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4 1 1θθ-= 2)2(sin 4 1 1θ- = 显然1)2(sin 02≤≤θ ?]1,4 3[∈w θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈

[例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值解：由条件可作替换：则：y x y xy x M 24222++++= θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++= 2)cos (sin 2)cos (sin 22++++=θθθθ 再令]2,2[cos sin -∈+=θθt 则2 3 )21(22++=t M 如图，由于]2,2[-∈t 所以，当21 -=t 时，2 3min =M 当2=t 时，226m ax +=M [例3].求函数3 cos 1 sin ++= θθy 的值域解：设则u v 、满足方程122=+u v ，即动点),(u v P 在单位圆122=+u v 上所以 3 cos 1 sin ++= θθy ? )3()1(----= v u y 设点)1,3(--M ，),(u v P 则MP k v u y =----= ) 3() 1(，如图，由平面几何知识容易求得?=∠60AMB ?]3,0[∈k [例4].已知122=+y x （0≥y ），求y x +的最大值和最小值法1：(三角化)由条件可作替换则)4 sin(2cos sin π θθθ+ ?=+=+y x ， θcos 2=x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos =v θsin =u )2,0[πθ∈ θcos =x θsin =y ],0[πθ∈

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

三角函数巧用1

三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。常见的代换有： 22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44 αα αααα αααα αααααα π π =+=+-=-=-=?=?=?== 等等。下面例析几道题，供同学们参考。例1 已知sin cos 2 αα-=-tan cot αα+的值为 . 分析：本题解法有二，一种是将sin cos 2αα-=- 与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的值即可，而将sin cos 2αα-=- 平方就能完成sin cos αα的求解，进而问题得以解决。两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。解析：sin cos αα-= 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4 1sin cos 8 sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα ∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3 α=-，求下列各式的值：（1）2232sin sin cos 5cos 2 αααα-+

三角函数恒等变换

三角函数恒等变换一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x 轴对称角 π-α 2π -α 2 π +α 图示与α角终边的关系关于y 轴对称关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式组数一二三四五六角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，

符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使

问题获解。常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=； αβαβα+-=-)(2；2 2 α α=等等。例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ???? =--+∈ ? ????? R 的最小值等于（）．（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ 362 x x ????-++= ? ?????，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ?????? =+-+=+ ? ? ??????? ，故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-， 2()αβααβ-=+-，2 2 αβ αβ β+-= - ，3πππ ()442 βααβ????+--=++ ? ?????，ππ44αβαβ? ???++-=+ ? ?? ???．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知 βαβαα,,14 11 )cos(,71cos -=+= 均是锐角，求βcos 。解：。。）2 1734143571)1411(cos 1435sin(,734sin . sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =?+?-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ 小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。例3、已知cos(91)2- =-βα,sin(2α-β)=3 2 ,且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2 ( )2 (2 βα β αβ α--- =+的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数公式整合：两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα

三角函数中“1”的代换

三角函数中“1”的代换义县高中高一数学组胡克让三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。常见的代换有： 22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44 αα αααα αααα αααααα ππ=+=+-=-=-=?=?=?== 等等。下面例析几道题，供同学们参考。例1 已知sin cos 2 αα-=-，则tan cot αα+的值为 . 分析：本题解法有二，一种是将sin cos αα-=与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα =对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的值即可，而将sin cos 2αα-=- 平方就能完成sin cos αα的求解，进而问题得以解决。两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。解析：sin cos αα-=

三角函数公式之间关系

两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sinαcosβ± cosαsinβ 诱导公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

三角函数的降幂公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα 半角的正弦、余弦和正切公式万能公式三角函数的积化和差公式

三角函数的和差化积公式化asinx±bcosx为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）正弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC

三角函数公式：

三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3 -=；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α 的二倍；α3是23α的二倍； 3α是6 α 的二倍；απ22±是απ±4的二倍。 ②2304560304515o o o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12 cos π ； ③ββαα-+=)(；④ )4 ( 2 4 απ π απ --= +； ⑤)4 ( )4 ( )()(2απ απ βαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan tan sec cos sin 12 2 2 2 ===-=+=αααααα （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如： _______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα ； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα； =αtan 2 ；=-α2tan 1 ； =++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：ββαα -+=)(；)()(2βαβαα-++=； αβαβα+-=-)(2；2 2 α α=等等。例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ???? =--+∈ ? ????? R 的最小值等于（）．（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）5- 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ 362 x x ????-++= ? ?????，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ?????? =+-+=+ ? ? ??????? ，故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-， 2()αβααβ-=+-，2 2 αβ αβ β+-= - ，3πππ ()442 βααβ????+--=++ ? ?????，ππ44αβαβ? ???++-=+ ? ????? ．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知 βαβαα,,14 11 )cos(,71cos -=+= 均是锐角，求βcos 。解：。。）2 1734143571)1411(cos 1435sin(,734sin . sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =?+?-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ 小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。例3、已知cos(91 )2-=-βα,sin( 2α-β)=32,且,20,2πβπαπ<<<<求.2 cos βα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2 ( )2 (2 βα β αβ α--- =+的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。

三角函数公式(数学专业完整版)

级数定义正弦函数（蓝色）十分接近于它的 5 次泰勒级数（粉红色）。只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。使用泰勒级数，可以继续证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其他级数可见于：[1] 这里的是n次上／下数，

是n次伯努利数，（下面的）是n次欧拉数。在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。 [编辑]与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通

过上述恒等式，如果考虑在复平面中e i x所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。进一步的，这样就可以定义对复自变量z的三角函数：这里的i2 = ?1。还有对于纯实数x，我们还知道，这种指数过程与周期行为有密切的联系。恒等式主条目：三角恒等式三角函数之间存在很多恒等式，其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂：在通常情况下括号可以省略。另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。