初二数学经典难题(带答案及解析)

初二数学经典难题

一、解答题（共10小题，满分100分）

1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：∠PAB=∠PCB．

5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

—

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．

7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ周长的最小值．

8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．

（2）直接写出时x的取值范围；

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

…

10．（10分）（2007?福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

初二数学经典难题

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分100分）

1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

专题：证明题。

分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．

；

解答：证明：

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∵∠PAD=∠PDA=15°，

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形内做△DGC与△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，

∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），>

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，

在△DGC和△PGC中

，

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，

同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PBC是正三角形．

、

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．

2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

考点：三角形中位线定理。

证明题。

专题：

分析：

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．

∵N是CD的中点，且NG∥AD，

∴NG=AD，G是AC的中点，

又∴M是AB的中点，

∴MG∥BC，且MG=BC．

∵AD=BC，

∴NG=GM，

△GNM为等腰三角形，

∴∠GNM=∠GMN，

∵GM∥BF，

∴∠GMF=∠F，

∵GN∥AD，

∴∠GNM=∠DEN，

∴∠DEN=∠F．

此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．

、

点评：

3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，分析：

则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．

解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，

∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，

∴PQ为梯形EFSR的中位线，

∴PQ=（ER+FS），

∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，

∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），

同理Rt△BFS≌Rt△CBT，

】

∴ER=AT，FS=BT，

∴ER+FS=AT+BT=AB，

∴PQ=AB．

点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．

4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：∠PAB=∠PCB．

《

考点：四点共圆；平行四边形的性质。

专题：证明题。

分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，

得出AEBP共圆，即可得出答案．

解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP共圆（一边所对两角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB．

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．

【

5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。

专题：综合题。

分析：把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长．

[

解答：解：如图所示，把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，∴△APB≌△CEB，

∴BE=PB=2a，

∴PE==2a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，

∴△PEC是直角三角形，

∴∠PEC=90°，

∴∠BEC=45°+90°=135°，

过点C作CF⊥BE于点F，

则△CEF是等腰直角三角形，

∴CF=EF=CE=a，

在Rt△BFC中，BC===a，

即正方形的边长为a．

点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

分式方程的应用。

考点：

分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．

解答：解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：

解之得：

经检验得：是原方程解．

∴小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．

本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．

]

点评：

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ 周长的最小值．

考点：反比例函数综合题。

压轴题。

。

专题：

分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；

（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，

将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，

同样可得，反比例函数解析式为；

（2）当点Q在直线OM上运动时，

设点Q的坐标为Q（m ，m），

于是S△OBQ =|OB×BQ|=×m×m=m2，

而S△OAP =|（﹣1）×（﹣2）|=1，

所以有，m2=1，解得m=±2，

所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，

而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，

】

所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），

由勾股定理可得OQ2=n2+=（n﹣）2+4，

所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，

所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，

所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）

点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．

8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

考点：二次函数综合题。

专题：》

动点型。

分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD 和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，

∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．

（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

解答：（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．

）

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．

∴∠DPE=90度．

∴PE⊥PD．

、

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，

四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，

∵AP=x，∴PM=x，

∴BF=PM=，PF=1﹣．

∴S△PBE=BE×PF=BF?PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．

即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．

②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+

∵a=﹣＜0，

∴当x=时，y最大值=．

（

点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．

9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．

（2）直接写出时x的取值范围；

反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k的几何意义。

】

考点：

专题：综合题。

分析：（1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值．

（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围．

（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．

解答：解：（1）由题意知k2=1×6=6

、

∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）

∵x＞0，

∴反比例函数的图象只在第一象限，

又∵B（a，3）在y=的图象上，

∴a=2，

∴B（2，3）

∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点

∴

故k1的值为﹣3，k2的值为6；

（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，

即直线的函数值大于反比例函数值，

由图象可知，此时1＜x＜2，

则x的取值范围为1＜x＜2；

（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE．

设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴，

∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），

∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2

{

∴S梯形OBCD=，即12=

∴m=4，又mn=6

∴n=，即PE=CE

∴PC=PE．

点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．

10．（10分）（2007?福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

考点：反比例函数综合题。

专题：综合题；压轴题。

分析：（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；

（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过

作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；

（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A横坐标为4，

把x=4代入y=x中

得y=2，

∴A（4，2），

∵点A是直线y=x与双曲线（k＞0）的交点，

∴k=4×2=8；

（2）解法一：如图，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．

∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；

解法二：如图，

过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

∵点C、A都在双曲线上，

∴S△COE=S△AOF=4，

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．

∴S△COA=S梯形CEFA．

∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，

∴S△COA=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形，

∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，

设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如图，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）?（4﹣m）=6．

∴m1=2，m2=﹣8（舍去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如图，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）?（m﹣4）=6，

解得m1=8，m2=﹣2（舍去），

∴P（8，1）．

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．

点评：本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．