利率期限结构理论研究综述_李保林

李保林1阿卜杜瓦力·艾佰1、2

（1.中央财经大学，北京100081；2.新疆财经大学，新疆乌鲁木齐830012）

收稿日期：2014-6-15

利率期限结构理论研究综述

摘要：本文主要对利率期限结构的理论研究做综述，以20世纪70年代初和90年代末为分界线，70年代以前称为传统的利率期限结构，主要以描述性研究为主；70年代以后称为现代利率期限结构，主要以随机模型研究为主；从20世纪90年代末，开始了两极分化发展。本文分为三个部分：第一部分对20世纪70年代之前传统利率期限结构的描述性理论作了概括；第二部分是现代利率期限结构的定量模型，包括均衡模型和无套利模型；第三部分则主要介绍20世纪90年代末以来的一些最新研究进展，包括市场模型和宏观金融模型等。

关键词：利率期限结构；均衡模型；无套利模型；市场模型；宏观金融模型中图分类号：F830文献标识码：A 文章编号：1674-2265（2014）07-0003-09

利率期限结构是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线，由于零息票债券的到期收益率等于该时期的利率，所以利率期限结构也可以表示为某个时点零息票债券收益率与到期期限的关系。它不仅是资产定价、风险管理等的基准，还是政府制定宏观经济政策的重要参考，其形状的变化反映了市场对未来利率走势和经济运行趋势的预期。由于国外有关利率期限结构理论的研究起步较早，根据传统的划分标准，以20世纪70年代为界，利率期限结构理论的发展主要经历了定性描述和定量分析两个阶段。定性描述阶段的理论包括纯预期理论、流动性偏好理论和市场分割理论等，研究范围主要集中在讨论市场上存在的利率期限结构的形状、形成原因以及他们所代表的含义。之后的定量分析主要是引入随机过程，建立一些利率期限结构模型，包括均衡模型和无套利模型。

一、传统的利率期限结构理论（一）预期理论

利率期限结构的预期假说首先由欧文·费雪

（Fisher ）于1896年提出，是较早建立的期限结构理论。该理论认为，长期债券是一组短期债券的理想替代物，即不论人们所投资的债券期限长短，投资所取得的单一时期的预期收益率都相同，期限结构中隐含的远期利率是未来即期利率的无偏估计。用公式表示为：

1+R (0,n )=(1+f (0,1))(1+f (1,2))(1+f (2,3))?(1+f (n -1,n ))

n R (0,n )表示现在开始剩余期限为n 期的即期利率，f (n -1,n )表示n-1时刻到n 时刻的远期利率。市场中风险中立者的套利行为将促使远期利率与预期未来即期利率趋于一致。因此，在纯预期理论看来，收益率曲线的形状，取决于投资者对未来即期利率的预期。但纯预期理论认为所有市场参与者都具有相同预期的假定，显然过于理想化。债券市场高度有效的假设意味着资金可以在长期市场和短期市场之间完全自由的流动。

（二）流动性偏好理论

流动性偏好理论认为，债券剩余期限越长，提前变现时的利率风险越大，即债券的流动性风险越

作者简介：李保林，男，安徽宿州人，中央财经大学金融学博士，研究方向为国际金融、金融工程；阿卜杜瓦力·艾百，男，新疆乌鲁木齐人，中央财经大学金融学博士，新疆财经大学讲师，研究方向为金融机构与影子银行。

大。该理论最初由希克斯（Hicks）提出。由于投资者的风险厌恶特性，大多倾向于持有短期债券，只能提供更高的收益来吸引投资者购买长期债券，只有在长期债券投资收益率能同时覆盖预期利率水平和风险溢价时，投资者才愿意持有长期债券。因此，远期利率是对未来即期利率的有偏估计，从长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了市场对未来的预期和流动性风险溢价，即：

1+R(0,n)=(1+f(0,1))(1+f(1,2))(1+f(2,3))?(1+f(n-1,n)) n

+流动性溢价

与纯预期理论相比，流动性偏好理论不仅考虑了预期还引入了流动性风险溢价，从而更贴近现实。但这一理论认为投资者总是偏好持有短期债券，因而风险溢价总是随期限递增的。然而事实并非总是如此，在投资期较长的情况下，持有短期债券会面临再投资风险，而合适期限的长期债券则不存在这个问题。除此以外，投资者特定的资产负债状况也会使得他们可能对某些期限的债券有一定的偏好，这些都是流动性理论未考虑的情形。

（三）市场分割理论

与以上两种理论不同，市场分割理论认为，在进行贷款或融资时，借贷者并不能自由地在各个市场之间转移证券，因为市场是低效的，存在着分割。该理论最早由卡伯特森（J.M.Culbertson）于1957年提出。他认为，机构的贷款或融资活动由于受偏好和行为方式等因素的制约，总是局限于一些特定的期限范围内。比如商业银行通常偏好中短期贷款，而保险公司则偏好长期贷款。借贷者分割的市场行为基本上决定了收益率曲线的形态。

根据债券到期期限的不同，市场被划分为长、中、短3个部分，各部分的收益情况由其资金供求关系决定，并随着资金供求的变化而变化。将各期限的资金供求均衡点连接，就得到完整的利率期限结构。如果短期均衡点利率低于长期均衡点利率，期限结构则呈上升趋势；反之，则呈下降趋势。

市场分割理论假设机构交易的根本目的是保证生存，但实际上大多投资者追求的却是财富最大化，因此他们愿意向任何一个具有高收益预期的市场转移，从而导致借款者和贷款者具有固定期限偏好的假定与现实不符，贷款市场并非完全分割。

（四）期限偏好理论

针对市场分割理论的缺陷，莫迪利亚尼和萨奇（Franco Modigliani和Richard Sutch，1966）提出了期限偏好理论。他们认为，不同类别的贷款者具有不同的期限偏好，但这些偏好并非是完全不变的。如果相应期限的风险溢价变化到足以抵消利率风险或再投资风险时，一些投资者的偏好就会发生改变。如果市场上对长期债务资金的需求较大，相对于短期利率来说，长期利率就会提高；如果市场上对短期债务资金的需求较大，则会出现相反的情况。竞争的结果就是使得相邻两个市场的收益率不会出现大的跳跃。因此，在期限偏好理论看来，利率期限结构反映了市场对未来利率的预期以及期限风险溢价。期限溢价反映了利率风险、再投资风险和期限偏好，风险溢价不再是简单递增，短期债券并非都是最优选择。

二、现代利率期限结构理论

传统利率期限结构基于定性的视角对可观察到的利率期限结构及其形成原因做出解释。自20世纪70年代末，随着世界各国利率波动的加剧，尤其是美联储的货币政策逐渐由80年代初的数量型调控转向价格型调控，加剧了对利率比较敏感的债券价格的剧烈波动。1973年，默顿（Merton）将股票收益率的设定形式移植到利率模型上来，从此开启了以随机过程为基础的现代利率期限结构的研究。

（一）均衡模型

均衡模型从假定一些经济变量开始，通过求解经济的一般均衡，得到瞬时利率所遵循的随机过程，从该过程中寻找债券和期权价格的含义，最后导出债券和期权价格的数值或解析表达式。其最大特点在于参数的非时变性，并且允许理论价格与实际价格存在差异。依据设定的不同，均衡模型又分为单因子模型和双因子模型，前者主要包括Merton模型、Vasicek模型和CIR模型等；后者主要包括Bren-nan和Schwartz模型、Longstaff and Schwartz模型等。

1.Merton模型。默顿（1973）提出了最早也是最简单的动态利率模型。他将对股票收益率的设定形式移植到利率模型中来，提出在风险中性测度下，瞬时利率的变化服从如下普通布朗运动：

dr(t)=μdt+σdW(t)

其中，μ和σ均为常数，dW(t)为中性测度下的标准布朗运动。这就是利率期限结构的Merton模型。给定初始时刻t，风险中性测度下任一时点T的瞬时利率r（T）可表示为：

r(T)=r(t)+μ(T-t)+σ

t

T dW(s)

利用风险中性定价基本原理可以推出Merton模型下的资产定价公式和隐含的即期利率的一般公式：

B(t,T)=E

t[e-∫t T r(s)d s]=e{}

E

t[-

∫t T r(s)d s]+12Var t[-∫t T r(s)d s]=e-α(t,T)-(T-t)r(t)

其中，α(t,T)=12μ(T-t)2-16δ2(T-t)3

R(t,T)=r(t)+12μ(T-t)-16σ2(T-t)2

Merton模型的意义在于它首次将随机过程的分析框架引入利率的研究，从而刻画了利率的动态变化，为利率期限结构问题的研究开拓了一种新思路。但同时也存在很多不足之处，表现在：（1）在Merton模型下利率可能为负，显然与现实不相符。（2）Merton模型无法刻画利率期限结构的基本静态特征。（3）在刻画利率动态特征方面，Merton模型也存在很大的缺陷，如利率不存在均值回复特征，无法刻画利率波动率的典型特征，无法描述长短期利率受到不同因素影响发生不同变化的现象等。后来的研究者将漂移率和波动率为常数的假设放宽，从各个方面改善了Merton模型的缺陷，从而产生了众多的利率扩展模型。

2.Vasicek模型。该模型由瓦西塞克（Vasicek）于1977年提出，是第一个满足均值回复的模型。他假定在风险中性测度下，瞬时利率的变化服从如下随机过程：

dr(t)=k(μ-r(t))dt+σd W(t)

其中，k、μ、σ均为常数，参数k反映了利率回复到μ的速度。Vasicek模型说明，在T时刻支付1美元的零息票债券在t时刻的价格为：

P(t,T)=A(t,T)e-B(t,T)r(t)

其中，B(t,T)=1-e-k(T-t)k

A(t,T)=exp{[B(t,T)-T+t](k2μ-σ2/2)

k2-σ2B(t,T)2 4k]

根据R(t,T)=-ln P(t,T)

T-t

，从而得到零息票债券的

收益率R（t，T）是短期利率r（t）的仿射函数，整个期限结构可表示为：

R(t,T)=-1T-t ln A(t,T)+1T-t B(t,T)r(t)

由于r（t）是正态分布的，所以R（t，T）也是正态分布的。因此，只要确定了k、μ和σ，整个期限结构就可用r（t）函数来表示。

与Merton模型相比，Vasicek模型考虑了利率的均值回复特征，在刻画利率期限结构的静态特征和利率波动率方面有了较大的改进，但同时也存在不足之处，主要是没有考虑未来即期利率可能为负，这与现实是不符的。此外，在刻画利率期限结构静态特征方面，只反映了R（t，∞）的有界，而忽略了它的时变性，没有考虑利率波动率与利率水平之间的关系，现实中利率波动率的某些特征不能很好反映。

3.Rendleman和Batter模型。在Rendleman和Bat-ter模型中，r的风险中性过程为：

dr(t)=μr(t)dt+σr(t)dW(t)

其中，μ和σ为常数。这意味着利率r服从几何布朗运动。该模型假定短期利率的变动与股票相似，可以用一个类似股票的二叉树图来计算出债券的价格，但结果并不理想。因为随着时间的推移，利率会呈现出向某个长期平均水平收敛的均值回复特性，而Rendleman和Batter模型并没有刻画出这个特性。

4.CIR模型。CIR模型是一个持续竞争经济的一般均衡模型，由考克斯、英格索尔和罗斯（Cox、In-gersoll和Ross）于1985年提出。它假定个人从消费单一商品中取得预期效用最大化，该商品是通过有限数量的技术状态生产出来的。在实现效用最大化的过程中，通过选择最优消费水平，财富中投资于每个生产过程的最优比例以及投资于各种债券或衍生品的最优比例来达到期望效用的最大化。

通过假设债券的价格服从某种随机过程，考克斯等人在一般均衡条件下，导出了一个利率总是为非负的单因子CIR模型：

dr=k[μ-r(t)]dt+δr(t)dW(t)

该模型与Vasicek模型一样具有均值回复特性，但其随机项的标准差随着短期利率的上升而上升，并且与利率的平方根成正比。因此，对于CIR模型来说，套利将使得所有期限债券的风险价格相同。

CIR模型和Vasicek模型都可以刻画正向、负向和上凸的收益率曲线。根据CIR模型导出的债券价格与Vasicek模型中的一般形式相同，即：

P(t,T)=A(t,T)e-B(t,T)r(t)

但B（t，T）和A（t，T）不同：

B(t,T)=2(eγ(T-t)-1)

(k+γ)(eγ(T-t)-1)+2γ

A(t,T)=[2γe(γ+k)(T-t)/2

(γ+k)(eγ(T-t)-1)+2γ]2ab/σ2

其中，γ=k2+2δ2

总之，CIR模型认为，利率期限结构在大多数情况下都存在正的期限溢价，因为它产生于经济中的内在实际变量和总体均衡，因此它包含了风险规避、风险补偿、财富限制及时间消费偏好等。此外，CIR期限结构围绕长期利率（常恒）波动。由于模型过于复杂，在对经济和风险参数进行估计以及进行实际预测时都存在一些困难，而且CIR模型只能考察利率期限结构的平行移动，这与现实不符。后续的研究者通过简化模型假设和数理计算，推导出了债券及其他金融工具的定价公式。

5.Brennan和Schwartz双因子模型。该模型是最早的两因子模型，由布伦南和施瓦兹（Brennan和Schwartz）于1982年提出。他们认为，以往的单因子模型都假定不同期限债券的瞬时回报均完全相关，这与实际严重不符。因此，他们根据债券价格所遵循的随机过程，建立了一个具有均值回复性质的随机模型，分别用短期利率和长期利率来表示，之后运用伊藤定理计算出其收益率所遵循的随机过程。

短期利率r和长期利率R的动态可描述为：

dr=[a1+b1(R-r)]dt+σ1rdw1

dR=(a2+b2r+c2R)dt+σ2Rdw2

根据伊藤定理，利用数值方法可解出债券的价格表达式。与单因子模型不同，该模型是由短期利率与长期利率两因子共同决定。利用该模型可以解释不同形状的收益率曲线。但模型并没有给出为何选取这两个因子的理由，因此后来有人提出了其他的两因子模型。

6.Longstaff和Schwartz双因子模型。朗斯塔夫和施瓦兹（Longstaff和Schwartz，1992）在均衡模型的框架下扩展了CIR模型，导出了一种新的双因子模型。他们假定经济中有两个服从CIR过程的状态变量，而消费者的投资收益的漂移率和波动率则是这两个状态变量的函数。之后通过最优化消费者的效用函数并将无风险利率与期望边际效用变化率相联系，应用伊藤定理得到了瞬时无风险利率所服从的随机过程①：

dr(t)=[αγ+βη-βb

-αe

β-α

r(t)-e-b

β-α

V(t)]dt+

1

+2

dV(t)=[α2γ+β2η-

αβ（b-e）

β-α

r(t)-

βe-αb

β-α

V(t)]dt+

α

1+β2

从模型结果可以看出，L-S模型实际上是一个双

因子的CIR模型，其中一个因子是瞬时利率，另一个

因子是瞬时利率的波动率。通过对微分方程的求

解，朗斯塔夫和施瓦兹（1992）得出了零息债和零息

债期权价格的解析解。

尽管L-S模型形式复杂，但由于模型存在解析

解，它在实际应用中较为方便。与单因子CIR模型相

比，L-S模型在拟合利率期限结构的变化以及波动率

期限结构上有了更大的突破，但忽略了长期利率对

债券价格的影响。由于该模型本质上仍属于均衡模

型，因此缺少无套利的市场接口。

7.CKLS模型。CKLS模型是陈、卡罗伊、朗斯

塔夫和桑德斯（Chan、Karolyi、Longstaff和Sand-

ers）4位学者于1992年建立的一个实证检验的模

型。模型的具体形式如下：

dr=(α+βr)dt+δrλdW0≤λ≤1

其中λ为常数。当参数α、β、λ取不同的值

时，上式对应不同的模型。

模型

Merton

Vasicek

CIR

Dothan

R-B

B-S

具体形式

dr=μdt+δdW

dr=(α+βr)dt+δdW

dr=(α+βr)dt+δr12dW

dr=δrdW

dr=βrdt+δrdW

dr=(α+βr)dt+δrdW

α

β

λ

1/2

1

1

1

针对λ的不同取值，运用极大似然法对参数进行

估计，他们发现，那些允许波动率随无风险利率变

化的模型拟合度较好，因此，在选择模型时要考虑

波动率能否反映利率的动态特征。CKLS模型是一种

通用模型，通过它能够对各种模型进行实证检验。

以上模型都是均衡模型，它们的共同缺点是拟合

效果较差，即通过模型计算出的证券价格与实际价

格存在较大差异，在现实市场中不太令人满意。当

模型不能对基础证券做出准确定价时，衍生品的定

价更是无从说起。当然，这些模型的优点相对简

单，计算方便。

（二）无套利模型

无套利模型以债券等相关资产之间必须满足的无

套利条件为基础，选择时变的参数值，使得每个时

点上模型生成的利率期限结构与市场上观察到的利

率期限结构之间不存在套利机会。代表性的模型包

括Ho-Lee 模型、Hull-White 模型和HJM 模型等。

1.Ho-Lee 模型。胡和李（Ho 和Lee ，1986）利用离散的二叉树图首次提出了利率期限结构的无套利模型，该模型包含短期利率的标准差和该短期利率风险的市场价格这两个参数，如下所示：

dr =θ(t )dt +σdw

其中，σ是短期利率的瞬时标准差，为常数，

θ(t )=F t (0,t )+σ2

t

，F t （0，t

）表示时刻t 的远期利率，下标t 表示对t 的偏导数。

Ho-Lee 模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构的时变特征，它是对Merton 模型的无套利扩展，是可解析处理的马尔科夫模型，应用简便而且能精确地符合当前的利率期限结构。模型的缺点是不具有均值回复特征，而且即期和远期利率标准差相同并且为常数。

2.Hull 和White 模型。赫尔和怀特（Hull 和White ，1990）在Vasicek 模型基础上，将模型中的参数变为关于时间的确定性函数，即假设在风险中性测度下有：

dr (t )=[θ(t )-a (t )r (t )]dt +σ(t )dW (t )

其中，θ(t )，a (t )，δ(t )都是时间的确定性函数。然而上述模型在实际模型界定中有一些不尽如人意的地方。1994年，他们对该模型进行了改进，仅将Vasicek 模型中的参数θ变为关于时间的确定性函数，而其他参数仍为常数，得到模型：

dr (t )=[θ(t )-ar (t )]dt +σdW (t )

很显然，当a =0时，该模型就是Ho-Lee 模型。模型中随时间变化的确定函数θ(t )由当前观测到的市场利率期限结构决定，满足

θ(t )=?f (0,t )?t +af (0,t )+σ22a

(1-e -2at )

f (0,t )是时刻观察的t 时刻的瞬时远期利率，即

f (0,t )=-?ln P (0,t )

?t

。如果t 为0，则f (0,0)退化为0时刻的瞬时即期利率r （0）。利用伊藤定理，可求出t 时刻的债券价格方程：

P (t ,T )=A (t ,T )e

-B (t ,T )r (t )

其中，B (t ,T )=1-e

-a (T -t )

a

ln A (t ,T )=ln P (0,T )P (0,t )-B (t ,T )?ln P (0,t )

?t -14a

3σ2(e -aT -e -at )2(e 2at -1)

Hull-White 单因子模型的优势在于：将Vasicek 模

型拓展为更为灵活的无套利模型，对瞬时利率长期均值的时变设定使其可以完全拟合当前时刻市场上

的利率期限结构。但由于Hull-White 单因子模型并未对Vasicek 模型的其他缺陷加以改善，因此仍存在Va-sicek 模型的其他不足，包括利率可能为负、利率波动仍与水平无关等。

针对单因子模型的不足之处赫尔和怀特（1994）在单因子模型基础上提出了双因子模型。该模型将风险中性测度下瞬时利率的随机过程设为

dr (t )=[θ(t )+μ-αr (t )]dt +σ1dW 1(t )

其中，μ的初始值为0，并且遵循如下过程：

dμ=-bμdt +σ2dW 2(t )

如上面单因子模型中的情况，根据初始期限结构

选择参数θ(t )，随机变量μ是r 的回复水平的一个组成部分，并且随机变量μ以速率b 拉向0水平。参数α、b 、σ1和σ2都是常数，dW 1和dW 2是维纳过

程，两者的瞬态相关系数为ρ。上述模型比单因子模型更能充分解释期限结构移动模式以及波动率模式。

3.Black-Derman-Toy 模型。为保证利率始终为正，BDT 模型假设利率服从对数正态分布。与Ho-Lee 离散模型节点自然重合不同，BDT 模型无法保证节点的自然重合，需要施加外部约束。Black ，Der-man and Toy （1990）最早只提出了BDT 模型的离散形式，之后赫尔和怀特（1990）给出了BDT 模型的连续形式：

d ln r =[θ(t )-σ'σ

ln(r )]dt +σ(t )dw

其中，σ'是下一个时间段短期利率r 的瞬时标

准差。BDT 模型实际上是假设瞬时利率服从参数时变的Vasicek 模型，因此是一个无套利的均值回复模型。该模型只有两个待估参数：θ(t )和σ(t )，这两个时变的参数都由t 时刻的市场数据校准得到。与Hull-White 单因子模型相比，BDT 模型既可以拟合当前市场上的利率期限结构，又可以完全拟合当前利率波动率的期限结构。由于BDT 模型使用利率的对数建模，还避免了模型生成负利率的可能。但BDT 模型中趋势变量完全由短期利率的波动率来决定，这种方式不是很精确，模型应该在不受波动率的影响下，单独考虑均值回复的性质。

4.Black-Karasinski 模型。在BDT 模型中，利率的均值回复速度完全是由波动率决定的，这一假定过于严格，而且可能并不合理。布莱克和拉辛斯基（Black 和Karasinski ，1991）在BDT 模型的基础上引入了第三个参数，单独刻画利率的均值回复速度，

其连续形式为：

d ln r=?(t)[lnμ(t)-ln r]dt+σ(t)dw

其中，?(t)为均值回复速度，μ(t)为目标利率，

σ(t)为区域波动率，即ln r的波动率，由于BK模型引入了时变的均值回复速度?(t)，可以视为BDT模型的一般化。因此，与BDT模型相比，BK模型更灵活。由于多引入了一个待估参数，BK模型的样本内拟合效果必然会优于BDT模型。但是，这同时也意味着拟合该模型所需的市场信息将增加，且样本外的定价和预测结果并不必然优于BDT模型。

由于BK模型是对数正态分布的模型，利率不可能为负，并且允许独立设定均值回复的行为。但是该模型与其他离散模型一样，利率的树状图面临节点不重合的可能，均值回复的行为将受到波动率结构的影响。

5.HJM模型。希思、贾罗和莫顿（Heath、Jar-row和Morton，1992）提出的HJM分析框架给出了无套利模型的一般形式，几乎所有的无套利模型都可以看成是HJM框架的特例。在此之前的模型都是从假定债券价格或即期利率服从某种随机过程入手，而希思、贾罗和莫顿则从设定瞬时远期利率在现实测度下的随机过程出发，将当前的利率期限结构作为输入变量，基于无套利条件推出风险中性测度下瞬时远期利率所应遵循的随机过程，进而求解债券与衍生品价格。

HJM模型假设瞬时远期利率在现实测度下服从如下过程：

df(t,T)=α(t,T,?

t)dt+σ(t,T,?t)dW(t)

其中，f(t,T)表示在t时刻观测到的T时刻到期

合约的瞬时远期利率，ωˉ

t

表示直到t时刻为止发生的所有事件②，α（?）和σ（?）分别表示现实世界中瞬时远期利率的漂移率和波动率。他们运用无套利分析导出了瞬时远期利率的漂移率和波动率之间的关系，即：

α(t,T)=σ(t,T)∫t Tσ(t,u)d u

因此，只要估计出了远期利率的波动率，就可得到瞬时远期利率的漂移率，从而求出债券的价格。与其他直接假定短期利率服从布朗运动的短期利率模型不同，该模型是非马尔科夫过程，短期利率树图不一定重合，需要用蒙特卡洛模拟方法来处理，缺点是耗时过久。

HJM模型的结果可以扩展到多个独立因子的情况。假设

df(t,T)=α(t,T)dt+∑kσk(t,T)dW k(t)

和之前一样进行类似的分析，得到③：

α(t,T)=∑kσk(t,T)∫t Tσk(t,u)d u

该式是HJM分析框架的核心结论，由于刻画的是无法观测的瞬时远期利率，而且计算速度慢，因此，HJM模型的应用不是很多，但该模型为其他利率模型的构建提供了一个较好的框架。

总而言之，不管是均衡模型还是套利模型，其所描述的均是风险中性世界中的利率变动行为。而实证检验所利用的利率数据都是现实世界的，因此在对衍生产品定价时，必须通过Girsanov定理先将现实世界转换为风险中性世界，然后再利用风险中性世界中的相应结果进行定价。

三、利率期限结构模型的研究新进展

利率期限结构理论在近年出现了两极化发展趋势。一个方向是在HJM分析框架下向更微观的市场模型（LMM）拓展，另一个方向是向大型的宏观金融模型发展，用潜因子和宏观经济变量来解释利率期限结构。

（一）市场模型

长期以来，利率建模主要是基于即期利率模型和瞬时远期利率，而瞬时远期利率在市场中是不可直接观测的，使得模型相对不易理解。随着利率上限和利率互换期权产品在国际利率市场上交易的日益频繁，针对这两种产品的标的资产利率建模也成了利率模型发展的必然趋势。自1997年Brace、Gatarek 和Musiela首次建立BGM模型以来，市场模型已经由最初的远期Libor模型发展到带随机波动率的市场模型、带跳跃的市场模型等一系列复杂模型，由于对随机积分的要求过高，模型也越来越难以处理。LMM模型的优点在于模型建模对象是基于市场上能够观察到的远期利率（比如Libor利率），且模型本身具有动态结构，可反映不同期限利率的动态走势。目前主流的市场模型分为两类：LFM模型和LSM模型。LFM模型是基于利率上限的标的利率进行建模，而LSM模型是基于利率互换期权的标的利率建模。二者都假设利率在某种风险中性测度下的动态服从几何布朗运动。

1.LFM模型。假设对于任意的1≤i

率F

i(t)=F(t,T i,T i+1)在远期测度P i下满足方程：

dF i (t )

F i (t )

=γi (t )dW i +1

t 其中，W i +1t

是远期风险中性测度P i +1下的标准

布朗运动，γi (t )是一个关于时间t 的确定性函数。通

过测度变换和伊藤积分可知，LFM 模型又可以表示为在同一个远期测度P n 下，所有F i (t )都满足的方程形式：

dF i (t )

F i (t )=-γi (t )∑j =i +1n -1

τj γj (t )F j (t )1+τj F j (t )dt +γi (t )dW n

t 其中，W n t 是远期风险中性测度P n 下的标准布朗运动。

由LFM 模型的基本假设可知，远期利率

F (t ,T i ,T i +1)在远期测度下是一个无漂移项且标准差具

有如下形式的几何布朗运动。

||σi (t )2=1T i

-t ∫t T i

||γi (s )2ds

这与BS 框架的假设是一致的，因此，对利率上

限的定价就变得简单很多。其利率上限单元的价格可由类似于BS 公式的推导得到如下形式：

CPL (t ,T i ,T i +1,X )=P (t ,T i +1)(T i +1-T i )[F (t ,T i ,T i +1)Φ(d 1)-X Φ(d 2)]

其中，Φ(x )为标准正态分布的分布函数，且

d 12(t )d 21i T i -t

2.LSM 模型。LSM 模型假设对任意的

1≤i

dS i (t ,T i ,T j )S i (t ,T i ,T j )

=σi ,j (t )dW i ,j

t

其中，远期互换测度P i ,j 对应于P (t ,T i ,T j )=∑k =i

j -1

(T k +1-T k )P (t ,T k +1)，W i ,j

t 是该风险中性测度

下的标准布朗运动，σi ,j (t )是一个关于时间t 的确定性函数。

与LFM 模型类似，LSM 模型假设远期互换利率

S (t ,T i ,T i +1)在远期测度P i ,j 下是一个无漂移项且标准差

具有如下形式的几何布朗运动：

||σ

ˉi ,j (t )2

=1T i -t

∫t T i

||σi ,j (s )2ds 则以其为标的的利率互换期权的价格也可由类似

于BS 公式的推导得出：

SPT (t ,T i ,T j ,X )=P (t ,T i ,T j )[S (t ,T i ,T j )Φ(d 1)-X Φ(d 2)]

其中，Φ(x )为标准正态分布的分布函数，且：

d 1

2d 21i ,j )T i -t

需要特别指出的是，LFM 模型和LSM 模型是内

在矛盾的，LFM 模型认为远期利率服从对数正态分布，而LSM 认为远期互换利率服从对数正态分布。由于两个假设是不可能同时满足的，因此，在同一远期风险中性测度下，两个模型不可能同时得到上述各自模型形式。有学者在各自风险中性测度下给出了对方所满足的具有几何布朗运动形式的随机微分方程，但模型失去了鞅性，不再适用于BS 理论框架，这极大地影响了模型的应用。实际上，两个模型虽然互不兼容，但其各自风险中性测度之间具有关联，并能够找到各自参数之间的近似表达式，这样，通过参数之间的相互作用，拉进了模型之间的一致性，从某种程度上减弱了不兼容性所引起的对模型的诟病。

（二）宏观金融模型

在研究利率期限结构时，无套利定价模型没有考虑宏观经济因素对利率期限结构的影响，根据凯恩斯理论，利率是投资者进行投资决策和政府制定政策的重要依据，在宏观经济中占有重要地位。作为宏观政策制定者，希望知道驱动利率变动的真实力量以及利率与宏观经济变量之间的关系，因为利率是中央银行监控金融系统和调节货币政策的工具，中央银行通过在公开市场上买卖不同到期债券来影响利率的期限结构，从而实现对经济的调控。另一方面，短期利率又是其他期限利率的基准，长期利率可看作经风险调整的预期短期利率的期望值。因此，一些学者在无套利模型的基础上，将宏观经济模型与利率期限结构模型相结合，从宏观经济学和金融学的双重视角，构建了宏观金融模型，考察了宏观经济变量对利率期限结构的影响，深化了对利率期限结构理论的认识。同时，在宏观经济模型中引入利率期限结构信息来提高模型参数估计的效率以及模型对关键参数的识别能力。

新凯恩斯理论和泰勒规则的提出，是宏观金融模型触发和发展的关键。新凯恩斯理论是近三十年学者们研究经济周期和经济波动的主流理论框架，它将不完全竞争和名义刚性融入一般均衡之中，用较少的宏观经济变量构造随机动态一般均衡（DSGE ）模型，以此为基础分析货币、经济周期和通货膨胀

之间的关系。新凯恩斯模型通过优化消费者或者厂

商效用函数推导出经济变量的均衡条件，具有很强的微观理论基础。泰勒（1993）提出的泰勒规则描述了中央银行如何使用利率手段来保持较低并且稳定的通货膨胀率及避免产出和就业的剧烈波动，分为后顾型和前瞻型的泰勒规则。后顾型泰勒规则将利率表示为通货膨胀和产出缺口的仿射函数，前瞻型泰勒规则引入了预期通货膨胀的概念，将利率表示为预期通货膨胀与目标通货膨胀之差和产出缺口的仿射函数，以此刻画央行对利率的调节机制。根据泰勒规则，安和皮亚泽西（Ang和Piazzesi，2003）在无套利约束下首次将通货膨胀率等宏观经济变量引入到仿射利率期限结构模型中，用向量自回归（V AR）的方法描述了短期利率与宏观经济变量之间的联系，探讨宏观经济对利率期限结构的影响，从而开启了宏观金融模型研究的新时代。

现实中的经济和金融数据大多是离散的，在进行实证分析时需要把连续时间模型离散化为时间序列。依照无套利原则，将仿射利率期限结构中因子和定价核的随机方程进行离散化，得到如下模型：M

t+1=-r(X t)-0.5λ'(X t)λ'(X t)-λ'(X t)εt+1

X

t+1=[I-e-K P]θP+e-K P X t+Dεt+1

其中：r(X

t)=ρ0+ρ'1X t；λ(X t)=γ0+γ1X t。

第一个等式是定价核的离散形式，ε

t+1

是白噪声，服从独立同分布；第二个等式是离散的因子模型，具有向量自回归（V AR）的形式，用于描述因子

的动态变化，扩散系数为常数矩阵D，利率函数r(X

t)和风险市场价格函数λ(X

t)中的系数ρ0，ρ1，γ0，γ1均为常数。

现有文献中的宏观金融模型均以该模型为研究框架，区别主要体现在因子的选取上（金，2009）。所有到期收益率均表示为因子的仿射函数，因子可看作利率期限结构的基。按因子的来源将模型分为内基模型和外基模型④。内基模型的因子不可观测，只能通过债券到期收益率数据用统计方法得到，比如通过卡尔曼滤波或主成分分析法。外基模型的因子则全部由可观测的宏观经济变量构成，如通货膨胀、产出缺口和利率等。对于既包含可观测变量又包含隐因子的模型，可按照因子模型的设定划分：如果因子模型是没有施加经济理论约束的一般V AR 模型，则该模型为内基模型；如果因子模型是根据经济理论得出的结构向量自回归（SV AR）模型，则

可看作是外基模型。

因子不可观测的内基模型由于采用的是V AR模型来刻画因子的变化，缺乏经济理论支撑，因此在实证过程中应对模型施加约束，以减少模型估计的参数。其中以安和皮亚泽西（2003）、劳巴克（Lau-bach，2007）、德瓦曲和亚尼亚（Dewachter和Iania，2009）等学者的内基模型为代表。与内基模型不同，外基模型强调模型本身的内生稳定性。外基模型中的因子为宏观经济变量，模型具有明确的经济含义，因子动态模型采用基于新凯恩斯理论的动态一般均衡（DSGE）模型，采用SV AR模型进行估计和检验。其中以拉文纳和塞帕拉（Ravenna和Seppla，2005），奥尔塔尔、特里斯塔尼和韦斯廷（Hordahl、Tristani和Vestin，2006）、鲁德布施和吴（Rudebusch 和Wu，2008）、贝克特、曹和莫雷诺（Bekaert、Cho 和Moreno，2010）等外基模型为代表。

虽然宏观金融模型研究起步较晚，但发展迅速，在取得一些研究成果的同时，还有很多需要深入和完善的地方。比如为了保证收益率具有放射形式的解析解，现有的宏观金融模型大都建立在仿射期限结构模型基础上，模型设定缺乏经济学和金融学理论基础。此外，尽管从偏好函数出发，推导动态一般均衡利率期限结构模型的研究已经取得了一些进展，但根据潜在偏好和技术参数来设定无套利宏观金融模型仍然面临着很大的挑战。比如安德烈亚森（Andreasen，2008）在仿射期限结构模型的基础上，通过非线性DSGE模型构建了宏观金融模型，将投资者偏好、劳动生产率和投资冲击分解为平稳和非平稳两个部分。他认为冲击中的平稳部分只能解释短期利率和宏观经济变量的动态行为，而冲击中的非平稳部分可解释中长期利率的动态行为。李、辛格尔顿和戴（Le、Singleton和Dai，2010）提出的离散时间仿射期限结构模型，解决了风险市场价格是因子的非线性函数问题，从而可以更为灵活地设定宏观金融模型中的因子模型和风险价格函数形式，为实际宏观金融模型的研究奠定了基础。

注：

①具体推导过程参见：Longstaff and Schwartz （1992）。

②为书写方便，在后续推导中，我们将省略ωˉ。

③具体推导过程参见：陈蓉、郑振龙，固定收益证券[M].北京大学出版社，2011。

④金（Kim，2009）将宏观金融模型划分为内基模

型和外基模型，也有学者将其划分为结构化宏观金融模型和简约型宏观金融模型，内基模型与结构化宏观金融模型相似，外基模型与简约型宏观金融模型相似。参考文献：

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（责任编辑

王馨；校对XR ，WX ）

Abstract ：This paper is mainly about a literature review of the term structure theory of interest rates.Taking the early 1970s and the late 1990s as the dividing line ，previous studies of 1970s was called traditional term structure ，mainly based on descriptive study.After the 1970s ，it was known as the modern term structure ，mainly based on sto-chastic model research.Since the late 1990s ，the polarized development began.This paper is divided into three parts.The first part is a summary of the descriptive theory before the 1970s.The second part is the quantitative model of mod-ern term structure of interest rates ，including the equilibrium models and the no-arbitrage model.The third part intro-duces some latest research progress since the late 1990s ，including market model and macro-financial model.

Key Words ：term structure of interest rates ，equilibrium model ，no-arbitrage model ，market model ，macro-fi-nancial model

Li Baolin 1Abduwali·Aibai 2

（1.Central University of Finance and Economics ，Beijing 100081；

2.Xinjiang University of Finance and Economics ，Xinjiang Urumqi 830012）

Literature Review of Term Structure Theory of Interest Rates