福建省莆田市荔城区莆田第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷

数学

试卷满分 150分 考试时间 120分钟

一、选择题(本大题共有12小题，每小题5分，共60分，其中第12题为多选题，少选得3分，选错不得分;其他11小题在给出的四个选项中，只有一项符合题意)

1、复数

242i

i

+-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )

A.-2i

B.2i

C.

8-103

i

D.103

i -

2、某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理这四门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）

A.8种

B.12种

C.16种

D.20种

3、某几何体的三视图如图所示，其俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）

A.10π

B.12π

C.16π

D.8π

4、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ?的值为（ ）

A.214

a B.2a

C.212

a D.23a 5、设43()23f x x x =-++，在[],a

b 上，以下结论正确的是 ( )

A. ()f x 的极值点一定是最值点

B.()f x 的最值点一定是极值点

C.()f x 在[],a b 上可能没有极值点

D.()f x 在[],a b 上可能没有最值点

6、已知曲线cos )x

f x x

=（

在点(,0)M π处的切线与直线60ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ）

A.-π

B.2-π

C.π2

D.π

7、函数2

()e

x x f x -=的图象是( )

A. B. C. D.

8、已知函数3()1f x x ax =--，则()f x 在（-1,1）上不单调的一个充分不必要条件是（ ）

A.[]03a ∈，

B.0,5a ∈（）

C.0,3a ∈（）

D.1,3a ∈（）

9、10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )

A.2263C A

B.2666C A

C.2266C A

D.2265C A

10、已知函数31

()2+1x x f x x x e e

=-+

-，其中e 是自然对数的底数，若2(3)(21)2f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是（ ）

A.2-1,3??????，

B.1-1,3??????，

C.(]2--1+3??∞?∞????，，

D.(]1--1+3??∞?∞????

，， 11、已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为（ ）

3+1

B.2+1

31

21

12、（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.32+4y x x = B.sin()y x x =+- C.2log y x =

D.22x x y -=-

二、填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)

13、复数z=5+20i 在复平面内对应的点的坐标是 .

14、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的余弦值是

15、定义在[1,1]-的函数32()310f x x x =--的最大值为 .

16、已知直线y kx =与双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>相交于不同的两点A 、

B ，F 为双曲线

C 的左焦点，且满足3AF BF =，|OA|=b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)

17、(本小题满分10分)已知函数x x x f ln 2+=)(

（1）经过点（0,-2）作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程；

（2）设函数)(2

1=)(2

x f x x g -，求)(x g 的极值。

18、(本小题满分12分) 一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?

（2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?

19、(本小题满分12分) 已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，

AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且BC BN 32

=.

（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.

20、(本小题满分

12分) 已知函数

()(1)ln ,0.a

f x a x x a x

=-++<

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1a <-时，证明：()2

1,,()x f x a a ?∈+∞>--

21、(本小题满分12分) 如图，已知椭圆C ：在x 轴上的一个焦点,与短轴两个端

点的连线互相垂直,且右焦点坐标为)03(，

.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）设直线l 与圆222=+y x 相切,和椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆222=+y x 交于C ，D 两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为21,S S ,求2

1

S S 的取值范围。

22

、

(

本

小

题

满

分

12

分

) 已知

函

数

()()2

211ln ,()2,.2

f x x m x m x

g x x mx m R =

-++=-∈.

(1)当[)2,x ∈+∞时，函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的下方，求m 的取值范围；

(2)若函数()f x 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.

A

C

B

答案

1、选择题

2、填空题

13、（5,20）； 14、

6

6

； 15、10-； 16、3 3、解答题

17、（10分）解：（1）设切线斜率为k ，切点为

00(,)P x y ， ································1分

2'()1f x x

=+，则0

02'()1k f x x ==+. ·······························2分 故切线方程为：0000

2

(2ln )(1)()y x x x x x -+=+

-，将点（0,-2）代入切线方程得01x =·······3分

所以，切线方程为320x y --= ·························4分

（2）易得()2

1()2ln ,0,2

g x x x x x =

--∈+∞，2(2)(1)'()1x x g x x x x

-+=--

= ·················5分 令12'()01,2g x x x ==-=得

·····················6分 当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：

所以，函数()g x 在2x =时取得极小值(2)2ln 2g =-，无极大

C

A 值。·····················8分

18、（12分）解：

(1)先对E部分种植，有4种不同的种植方法；··········1分

再对A部分种植，又3种不同的种植方法；·····················2分

对C部分种植进行分类：

①若与A相同，D有2种不同的种植方法，B有2种不同的种植方法，共有432248

???=（种），

····················4分

②若与A不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，B有1种不同的种植方法，

共有4321124

????=（种），·····················6分

综上所述，共有72种种植方法。·····················7分

(2)将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有2

6

C种分法；·····················9分

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有25

65

=1800

C A（种）放法，·····················11分

综上所述，答案：1800种不同的放法。 (12)

分

19、（12分）解：（I）如图所示：连接OM，

在

ABC

?中：2,

AB BC AC

=

==，则90,

ABC BO

∠=?=，OB AC

⊥. ·······2分

在MAC ?中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ·······4分 在MOB ?中：2,6,22BO OM MB =

==，满足：222BO OM MB +=

根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ·················6分 （Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．

因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==

则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M ················8分

由23BN BC =

所以，22233

N 设平

面

MAN

的法向量为(,,)m x y z =，则

252252((,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ??=?=+=?

?

??=?==?

令3y =(53,3,1)m =-- ················10分 因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =为平面AMC 的法向量， 所

以

(53,3,1)m =--与(2,0,0)OB =所成角的余弦为

5653

cos 79279

m OB <>=

=

,． 所

以

二

面

角

的

正

弦

值

为

253279

|sin ,|1(

)7979

m OB -<>=-== ················12分 20、（12分）解： (1)22

1(1)()

'()1a a x x a f x x x x --+=

+-= ·······················2分 因0,0x a ><

①当10a -<<时，01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； ·······················3分

②当1a =-时，22

(1)'()0x f x x

-=≥，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； ·······················4分

③当-1a <时，1a ->，函数()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.

·······················5分

（2）当-1a <时，由（1）得，函数()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在

(,)a -+∞内单调递增.函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为

()(1)ln() 1.f a a a a -=---- ·······················6分

欲证不等式2()f x a a >--成立，即证2

(1)ln()1a a a a a --<----，即证

2(1)ln()10a a a +--->.

·······················7分

因1a <-，所以只需证ln()1a a -<--， ·······················8分 令()ln 1(1)h x x x x =-+≥，则1(1)

'()10x h x x x

--=

-=≤ 所以，函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=， ·······················10分

又因1, 1.a a <-->即所以()ln()10,h a a a -=-++<即当1a <-时，ln()1a a -<--成立。 ·······11分

综上，当1a <-时，()2

1,,()x f x a a ?∈+∞>-- ·······················12分

21、（12分）解：

(1)设椭圆的标准方程为)0>>(1=+22

22b a b

y a x .

如图所示,△A 1FA 2为等腰直角三角形,OF 为斜边A 1A 2的中线(高),············1分 且|OF|=c,|A 1A 2|=2b,∴c=b=3,∴a 2=b 2+c 2=6.······················3分

故所求椭圆的标准方程为1=3

+622y x ·

······················4分 （2）①当直线l 斜率不存在时，其方程为2±=x ，由对称性，不妨设为2=x ，

此

时

)1,1(),1,1(),2,2(),2,2(--D C B A ，

故

21

2

21==S S ·······················5分 ②若直线l

斜率存在，设其方程为

m kx y +=，由已知

)1(221222

k m k m +=?=+······················6分

设

),(),,(2211y x B y x A ，

将

直

线

l

与椭圆联立得

0624)12(222=-+++m kmx x k ·······················7分

由韦达定理1

26

2,1242

221221+-=+-=+k m x x k km x x ·······················8分

结合2=

=OD OC 及222

221212

13,213x y x y -=-=可知：

22222121212121sin 2

1sin 21

y x y x OB OA COD OD OC AOB

OB OA S S +?+=?=∠??∠??= ····

···················9分

221212212221)(4

1

]2)[(23921)213)(21(321x x x x x x x x +-++=++=

将

韦

达

定

理

代

入

整

理

得

2

22

2222221)

12()3(1836612921+-+++-+=k m k m m k S S ··················10分 结合)1(22

2

+=k m 知2

22421)

12(74428921++++=k k k S S ，设1122

≥+=k t ，]1,0(1∈=t u

则]22

3,2[1688-21168821887921222221∈++=++-=-++=u u t t t t t S S 综上

21S S 的取值范围为]22

3

,2[ ·······················12分

22、（12分）解： （

1

）

设

函

数

22211()()2(1)ln (ln )22

F x g x f x x mx x m x m x x x m x x =-=--++-=+-+（），

所以1

(1)()

'()1(1)x x m F x x m x x

+-=+-+=

.

①当2m ≤时，[)2,,'()0x F x ?∈+∞≥，函数()F x 在[)2,+∞上单调递增；

由题意

2min 1

()(2)22(2ln 2)0.

2

F x F m ==?+-+>所以

4

.2ln 2

m <

+ ·······················2分

②当2m >时，当(2,)x m ∈时，'()0F x <，函数()F x 在[)2,m 上单调递减； 当(,)x m ∈+∞时，'()0F x >，函数()F x 在(,)m +∞上单调递增；

由题意2min 1()()(ln )0.2F x F m m m m m m ==

?+-+>即1

1ln 0.2

m m --> 又因为1

2,1ln 02

m m m >-

->不成立。 综上，m 的取值范围为4

.2ln 2

m <

+ ·······················4分

（2）2(1)()(1)

'()(1).m x m x m x m x f x x m x x x

-++--=-++==

①当01m <<时，若(0,),'()0,()x m f x f x ∈>单调递增； 若(,1),'()0,()x m f x f x ∈<单调递减； 若(1,),'()0,()x f x f x ∈+∞>单调递增.

所以()f x 的极大值为2

21()(1)ln ln 0,22

m f m m m m m m m m m =-++=--+<

所以函数()f x 的图象与x 轴至多有一个交点. ·······················7分

②当1m =时，2

(1)'()0,x f x x

-=≥()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 的图象与x 轴至多

有一个交点.

③当1m >时，若(0,1),'()0,()x f x f x ∈>单调递增； 若(1,),'()0,()x m f x f x ∈<单调递减； 若(,),'()0,()x m f x f x ∈+∞>单调递增. 所以()f x 的极大值为11

(1)(1)0,22

f m m =

-+=--<()f x 的极小值为()(1)0,f m f << 所以函数()f x 的图象与x 轴至多有一个交点. ·······················9分 ④当0m ≤时，若(0,1),'()0,()x f x f x ∈<单调递减； 若(1,),'()0,()x f x f x ∈+∞>单调递增.

所以min 11()(1)(1),22

f x f m m ==

-+=-- （i ）当min 11

()0,22

f x m m =--

≥≤即时，函数()f x 的图象与x 轴至多有一个交点. ··············10分 （ii ）当min 11

()0,022

f x m m =--

<<<即-时， 213

()(1)ln()[1ln()].22

f m m m m m m m m m -=+++-=++-

令3

1,()1ln ,(0,),22m t g t t t t -==-++∈3123'()022t g t t t

-=-

+=> 13111

()()1ln ln 20,22224

g t g <=-?++=-<

所以当1(,0)2m ∈-

时，31ln()0,2m m ++-<所以3

()[1ln()]0,2

f m m m m -=++-> 所以存在11(,1),()0,x m f x ∈-= ·······················11分

()()2

2

42242222111ln 2(1)(2)0,222e f e e m e m e e e me m e e m =-++=--+=-+-> 所以存在22(1,+),()0,x f x ∈∞= （iii ）当0m =时，2

1()(0)2

f x x x x =

->只有一个零点， 综上所述，实数m 的取值范围为1

02

m -<< ·······················12分