华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答

华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答

以下每题15分

1．设00x =，1

n

n k

k x a

==

∑（1n ≥），n x b →（n →∞）．求级数

11

()n n

n n a x

x ∞

-=+∑之和．

解 由1n n n a x x -=-（1n ≥），得

2

211

1

1

()()n n

n n n n n a x

x x x ∞

∞

--==+=-∑∑22

11

lim ()n

k k n k x x -→∞

==-∑22lim n n x b →∞

==．

2．设(0)(1)f f =，''()2f x ≤（01x ≤≤）．证明'()1f x ≤（01x <<）．此估计式能否改进？

证明 将(1)f 、(0)f 在x 点（01x <<）用Taylor 公式展开并相减，则得

2211

(1)(0)'()''()(1)''()(0)22

f f f x f x f x ξη-=+

---（0,1ξη<<），由于(0)(1)f f =，因此得 222211

'()(1)''()''()(1)122

f x x f x f x x ξη≤-+≤-+≤．

此不等式可以改进为：'()1f x <（01x <<），因为01x <<时，上式22(1)1x x -+<．

3．设(,)f x y 有处处连续的二阶偏导数，'(0,0)'(0,0)(0,0)0x y f f f ===．证明

(,)f x y 1

221112220

(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt =-++?．

证明

1

221112220

(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt -++?

21

20(,)(1)d f tx ty t dt dt =-?1

100

(,)(,)(1)df tx ty df tx ty t dt dt dt =-+? 1

00

(,)(,)t df tx ty f tx ty dt ==-

+

''12((0,0)(0,0))(,)(0,0)(,)xf yf f x y f f x y =-++-=

4．设(,)f x y 在,0x y ≥上连续，在,0x y >内可微，存在唯一点00(,)x y ，使得00,0x y >， 0000'(,)'(,)0x y f x y f x y ==．设00(,)0f x y >，(,0)(0,)0f x f y ==（,0x y ≥）

， 22lim (,)0x y f x y +→∞

=，证明00(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值．

证明 （反证法），假设00(,)f x y 不是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。由于22

lim (,)0x y f x y +→∞

=，

存在0r >，当22,0,0x y r x y +≥≥≥时，00(,)(,)f x y f x y <。

考察闭区域22{(,):0,0,}D x y x y x y r =≥≥+≤，显然00(,)x y D ∈，由已知(,)f x y 在D 上连续，从而(,)f x y 在D 上取得最大值，设为11(,)f x y 。显然在D ?上，总有00(,)(,)f x y f x y <，因而必有：

1111'(,)'(,)0x y f x y f x y ==。当22,0,0x y r x y +≥≥≥时，0011(,)(,)(,)f x y f x y f x y <≤，因此 11(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。由假设，1100(,)(,)x y x y ≠。

这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有''()0f x >．证明：曲线()y f x =位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点． 证明 设00(,)x y 为曲线()y f x =上任一点，在该点处曲线的切线方程为

000()'()()y f x f x x x =+-

对曲线()y f x =上任意点，按Taylor 公式展开，得

200001

()()'()()''()()2

f x f x f x x x f x x ξ=+-+

- 由''()0f x >知，当0x x ≠时，000()'()()f x f x x x +-()f x <，而00(,)x y 为唯一公共点．得证．

6．求2249L xdy ydx

I x y -=

+?，L 是取反时针方向的单位圆周．

解 L 的参数方程：cos ,sin ,02x y θθθπ==≤≤

22222

220cos sin 494cos 9sin L xdy ydx I d x y πθθθθθ-+==++??2

2

22001tan 14449tan 49d dt t πθθθ+∞+==++?? 0134(arctan )623

t π

+∞

==

7．设()f

是连续正值函数， 2

222

222

2222

2

2

2

()()()()x y z t x y t f x y z dxdydz F t x y f x y dxdy

++≤+≤++=

++???

??

．

证明()F t （0t >）是严格单调减函数．

证明 2

22

2

2

2

2

2222222

()()()()x y z t

x y t f x y z dxdydz

F t x y f x y dxdy

++≤+≤++=

++???

??

2203

2

()2()t

t r f r dr r

f r dr

=??，当0t >时

223232220

322

()()()()'()2

(())

t

t

t

t f t r f r dr t f t r f r dr

F t r f r dr -=???

22220

322

()()()2

0(())

t

t

t f t r f r r t dr

r f r dr -=

因此，()F t （0t >）是严格单调减函数。

8．设级数01

n n a n ∞

=+∑收敛，证明10

001n

n n n n a a x dx n ∞∞===+∑∑?．

证明 由01n n a n ∞

=+∑收敛知，10()1n n n a S x x n ∞+==+∑在[]0,1上一致收敛，从而10()1

n n n a

S x x n ∞

+==+∑左连

续，即110lim 1n n x n a x n -∞

+→=+∑0

1n n a n ∞==+∑．对(0,1)x ?∈，有100000()1x x n n

n n n n n n n a a t dt a x dx x n ∞∞∞+=====+∑∑∑??， 于是100100lim ()x

n

n

n n x n n a x dx a t dt -∞

∞→===∑∑??1100lim 11

n n n

x n n a a x n n -

∞

∞+→====++∑∑． 9．设()f x 在[0,)∞上连续，其零点为01:0n n x x x x =<<<< ，()n x n →∞→∞．证明：积分

()f x dx ∞

?

收敛?级数1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑?

收敛．

证明

1

1

()()n N n

N

x x x n f x dx f x dx ++==∑?

?

，若0

()f x dx ∞

?收敛，则

1

1

1

10

()lim ()lim

()()n N N n

N x x x x n x n f x dx f x dx f x dx f x dx ++++∞

+∞

→∞→∞====∑?

?

?

?

，即1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑?

收敛。

若

()f x dx ∞

?

不收敛，同理可知1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑?

不收敛。

10．设a b <，()n f x 在[,]a b 上连续，

()0b

n a

f x dx ≥?

（1,2,n = ），当n →∞时，()n f x 在[,]

a b 上一致收敛于()f x ．证明：至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．

证明 由()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ，得知()f x 在[,]a b 上连续，且数列

()b

n a

f x dx ?

收敛于

()b

a

f x dx ?

，即lim ()()b b n a

a

n f x dx f x dx →∞=??，由于()0b n a

f x dx ≥?，得()0b

a

f x dx ≥?，至少存在一点

0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．

注 或用反证法：若对[,]x a b ?∈，有()0f x <，由()f x 的连续性得()0b

a

f x dx

，与上面相同

证法，推出矛盾．