食品安全问题数学建模

摘要

随着人们对生活质量的追求和安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点。本文在此背景下通过建立数学模型来研究影响食品质量因素等问题。具体如下：

对于问题一，我们首先将主要食品分为蔬菜、肉类、面制品，饮品四大类，并将微生物、添加剂、重金属定为影响食品质量的因素三大因子。利用归纳统一法对该市数据进行统计分析，并运用数据拟合法，建立了影响各主要食品领域的因素与时间关系的模型，分析matlab软件绘制出的图形，得出2010、2011、2012三年该市的食品质量发展趋势。

对于问题二，在问题一主要食品分类的基础上，我们将影响食品质量的因素分为食品产地、食品销售地点、季节、保质期四大类，运用层次分析法对问题进行定量分析，建立影响食品质量的模型。通过比较每种因素对食品安全的权重，运用一致性检验的方法，确定各种因素与食品质量的关系。从结果来看，食品产地是影响食品质量的最大因素。

对于问题三，我们运用多层次划分法建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型，在已求得的权重基础上，进一步建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，保证检测针对性与较少投入的同时，尽可能检测出有问题的食品及生产企业。针对上述两个模型建立了目标函数分析模型，给出了详细的目标函数方法。

关键词：层次分析法多层次划分法抽样模型基于权重的检测模型

一问题重述

随着人们生活水平越来越好，人们越来越重视食品的食品的质量，“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。随着人们对生活质量的追求和

安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个

主题。城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。根据2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽检数据，确定如何抽检效果最好，在保证好效果的前提下，尽可能的节省时间和费用？根据实际情况，建立数学模型来讨论些列问题：（1）如何评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势；

（2）从这些数据中能否找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等；

（3）能否改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作怎样的调整？

二问题的分析

食品安全与人们身体健康密切相关，我们经过讨论分析后，认为本题属于数理统计与优化类问题，如何分析食品质量的变化趋势以及确定最优抽检模型是解题的关键。

问题一的分析

通过阅读深圳市三年的食品质量的数据，为了更好的分析食品领域微生物、重金属、添加剂的含量随时间的变化趋势，把食品领域分为了蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类，采用归纳统一法对每类食品在微生物，重金属，添加剂中的合格率进行了数据的统计。在研究方法上，采用数据拟合法建立影响各主要食品领域的因素与时间的模型，并利用matlab软件绘制出各类食品质量的变化曲线，通过观察、分析曲线得出2010、2011、2012三年深圳市各类食品微生物、重金属、添加剂含量的变化趋势。

问题二的分析

对于第二问我们采用了多层次问题分析法（AHP），在问题一主要食品分类的基础上，将影响食品安全的因素分为：食品产地、食品销售地、季节、保质期四大类。运用层次分析法统计分析各类影响指标的数值特征，再对其进行归一化处理，求得每一类特征对食品安全质量的权重，对比权重的大小从而反映食品质量安全状况。

问题三的分析

在第二问的基础上，将这一问的具体模型分为抽样模型和检测模型，对于抽样模型，建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，根据各类所占的权重按适当的比例抽取。其次按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，建立了基于权重的检测模型，将检测模型分成了四个环节（原材料的使用，生产加工，

运输与存储，流通与销售），通过各个环节及其内部影响因素的权重来进行检测的次数分配，这样可以用较少的投入来检测出有问题的食品和企业。

三、模型假设

1.假设食品能且仅能分为四大类，其他没有被分的食物对食品安全性所造成的影响忽略不计。

2.假设影响食品安全性的因素能且仅能分为三大类，其他没有被分类的因素对食品安全性所造成的影响忽略不计。

3.假设模型求解过程中所用的数据都是合理的。

4.假设所有食品生产厂商的信誉度均相同。

5.假设检测不同环节、不同因素的成本和工时相同。

6.假设同一类食品每次抽检的项目数相同。

7.假设抽检的最大费用有限制。

四、符号说明

ij a ：准则层两个因数i C 和j C 对目标层的影响程度之比；

..I C ：判断矩阵一致性标准；

ij c :方案层两个因素i a 和j a 对准则层的影响程度之比；

n W W W W ......,,21：权重向量；

max λ：最大特征值；

..I R ：平均随机一致性指标；

m ： 判断因子m ，m =1表示因素对生产环节有影响，m =0表示无影响；

i w ：第i 各因素在食品安全中所占的权重； i R ：i R 表示第i 环节在食品安全中所占的权重； ij a ：表示第j 各因素在第i 各环节所占的权重；

L ：抽样系统中总的生产批次； i L ：第i 层生产批次数；

t ：每次每项抽检的平均时间；

ξ：每个抽检批次的检查项目；

p ：每次每项抽检的平均费用；

i N :第i 个环节抽查的次数；

ij N :表示第i 个环节第j 个因素因素抽查的次数。

五、模型的建立与求解

（一）问题一的模型建立与求解

为了得到深圳市近三年的主要食品领域的安全情况变化趋势，通过分析深圳市2010,2011,2012三年的食品安全数据，结合质量检查局抽查食品的种类种类和我国居民饮食结构特点，将我们日常生活食品分为蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类。其中，蔬菜里包含：菜肴、豆制品、白菜、菜酱、黄瓜、萝卜、冬瓜等。肉中包含：鸡、鸭、鱼、牛肉、猪肉、各类水产品、生肉熟肉等。饮品中含有各种饮料（可乐、雪碧、七喜之类等）、矿泉水、酒类、乳制品、自制饮料、豆浆等。面制品中包含面包、馒头、面条、月饼、糕点、饼干、速冻米面等。在食品中，微生物、重金属、添加剂是无处不在，它们的作用是保证食品的质量和特性，适量的添加可以增加食品的美味，但是过量的使用有可能增加了食品的保质期或食物的变质，所以就重点抽查了这三个因子对食品的质量影响情况，我们以每个月为单位运用归纳统一法求解微生物，重金属，添加剂分别在四大类食品（蔬菜，肉类，面制品，饮品）中的合格率，以数据拟合法为基本原理运用matlab 软件把X 轴做为年份，Y 轴为合格率的百分比，数据拟合主要是考虑到观测数据受随机观测误差的影响，进而寻求整体误差最小、能较好反映观测数据的近似函数

()x f y =，此时并不要求所得到的近似函数()x f y =满足：

()i i x f y = ， ,1,0=i …,n

在数据拟合的基本方法中，我们采用最小二乘拟合法对离散数据进行曲线拟合，即已知一组二维数据（i i y x ,），i =,2,1…，n ，寻求一个函数()x f y =，使()x f 在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合最好。基本思路是，令：

++=)()()(2211x r a x r a x f …)(x r a m m +

其中(){}m

k k x r 1=（m

k k a 1=是一组待

定系数。寻求{}m

k k a 1=使得i y 与()i x f 的距离i d （,2,1=i …，n ）的平方和最小，这

种准则称为最小二乘准则。其求系数{}m

k k a 1=的方法称为最小二乘拟合方法。以下

为利用matble 软件实现的图像：

（1）从图中可以看出，微生物在这三年的合格率高达95%以上，且平稳趋于上升趋；重金属曲线虽然有先上升后下降的趋势，但是抽查的合格率在90%以上；添加剂的合格呈现逐年下降的趋势。

从这些趋势中我们可以看出，人们为了得到更多更新鲜的蔬菜，往往在蔬菜的生长过程中过多的使用化肥，除草剂，使重金属的含量有超标的趋势别是硝酸按等含硝酸根的化肥会造成原料中的硝酸盐、亚硝酸盐的含量明显偏高，对人体具有潜在的致癌性；在运输存储和销售的过程中，人们使用添加剂的种类和次数增加了很多，这样可以增加保质期，保证蔬菜的新鲜程度。政府在化肥使用中的管制没有相应的细节规定，南北方之间的蔬菜类化肥使用是有差距的，又如大棚类的反季节蔬菜的种植时化肥喷药的多少，在反季节的蔬菜都可能导致了重金属的含量的偏高。

（2）根据上图我们可以看出肉类中的微生物呈现先下降后上升的趋势，肉类中的添加剂和重金属有下降的趋势但是抽检的合格率都保持在94%以上。

虽然最近几年肉类食品频频出现各种传染病，最严重的是禽流感，使人们谈禽色变，这是饲养人员在喂养过程中过量的使用添加剂，激素来催进动物的生长，灯光日夜照射，加快鸡的生长速度，一般一周左右便可长成成年鸡。鸡的生长环境恶劣，滋生各种微生物。部分动物可能受到感染，但是饲养人员为了利益仍然将其卖出，这就导致了部分肉类食品的质量下降。城市生活污水的随意排放到江河湖泊中，这导致了河水质量的下降，鱼类受到重金属，化学添加剂成分的影响，也降低了肉类食品的质量。肉类食品的安全关键在于其生长环节及生长的环境，流通销售环节使用添加剂保持新鲜程度，这种影响并不是影响肉类质量的重要因素。

3）从图中可以得到，微生物的含量呈现先下降后上升又略降的趋势，添加剂和重金属都是先下降后上升的趋势，而后两者的合格率基本保持在95%以上。

饮品类的合格率虽然较高，但是这类食品的生产环节是影响它质量的关键因素，其后才是他的保质期，饮品类的生产不可能不放添加剂，某些牛奶的生产就是依靠的微生物的培养，例如酸奶。牛奶中最近的“三氯氰胺”事件以及几年前的三鹿奶粉事件闹的沸沸扬扬，引起了人们对饮品质量的不满，这些使政府质量监督局加大了对饮品届的监督管理，才使得饮品最近几年的合格率比较高。

（4）面制品的中微生物和添加剂抽检质量合格率呈现先下降后上升的趋势，而重金属的合格率呈现上升且趋于平稳的趋势。且面制品抽检的合格率基本都能达到90%以上。面制品的合格率较高是因为中国是农业大国，面食自古以来就很受到重视，人们的面制品的制作工艺形式各种各样，但是随着机械化程度的增高，人们为了降低价格在采购原材料时会采用劣等的制品（例如南京冠生园月饼事件）。为了保证食品有个较长的保质期，会再生产过程中添加过量的添加剂，这就对食品的质量产生了重大的影响。另外，激素的超标滥用是科技的发展带来的影响食品安全的新型因素。长期食用这些食品对人体内激素平衡可能会造成潜在的威胁，进而影响人的身体健康。

（5）从这三年的趋势来看，可以对2013年的蔬菜、肉类、饮品、面制品的安全质量作出如下预估：

蔬菜中的微生物的合格率有很好的上升趋势，基本能保证质量安全要求，重

金属的走向略有下降，添加剂的使用含量明显有所增加，应当加大对蔬菜中添加剂的抽查力度，以保证蔬菜的质量安全状况。

肉类中的重金属、微生物、添加剂在2012年末的合格率都能保持较高水平，这说明政府的抽查及惩治措施是有效的，但是图中每年的六、七、八月份肉类的合格率却不是很高，这就需要结合肉类自身的特性，在每年的夏季加大对肉类抽查。

饮品的添加剂和重金属的合格率呈现上升趋势、微生物有下降趋势但是合格率还是很高的，四类食品中饮品的平均合格率是最高的，但是在夏季多喝饮品的季节中应多频次的对饮品抽查。

面制品可是说是中国的特色美食，其中三大因子在食品中的合格率呈现上升的趋势，中国人历来以面制品为主食，这就需要在一年四季中定期的多频次抽查，保证面制品到达合格要求。

从总体来看这三个图表，我们可以得出对微生物，重金属，食品添加剂这三类特征在食物中的抽检合格率一般高于85%，这说明深圳市的食品在生产流通销售方面的管理体制及政府监督惩治的措施比较到位，老百姓可以吃到基本满意的食品。另外，食品质量的安全一方面靠政府的管理，还要依靠生产企业严格按照生产管理条例来把好食品的质量关，销售者发现有问题的食品时应当及时的反馈给厂家，而不是减价销售给消费者，消费者如遇到劣质产品时，应当及时联系消费者权益保护会或者向质量监督局反映，以免劣质产品危害大家的健康。

（二)问题二模型的建立与求解

为了更好地反映出食品的质量与产地、销售地、季节和保质期的关系，我们用“层次分析法”的模型进行求解。

层次分析法（简称AHP）是一种定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法。对于结构复杂的多准则、多目标决策问题，是一种有效的决策分析工具。其基本思想是根据问题的性质和要达到的目标，将问题按层次分析成各个组成因素，再按支配关系分组成有序的递阶层次结构。对同一层次内的因素，通过两两比较的方式确定诸因素之间的相对重要性权重。既要考虑本层次，又要考虑到上一层次的权重因子逐层计算。这些层次可分为三类：

最高层为目标层(O):问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。

中间层为准则层(C):包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则。

最低层为方案层(P):方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。

根据层次分析法原理并结合本题要求，我们建立如下模型：目标层为食品质量；准则层定为四类主要食品，分别为：蔬菜、肉类、饮品、面制品；方案层定

为影响食品质量的四种因素，分别为食品产地、食品销售地、季节、保质期。如图2所示：

食品质量

蔬菜肉类饮品面制品

食品产地食品销售地季节

保质期

图2.

（2）根据对问题二的分析，我们建立了如下成对比较矩阵

假设要比较某一层的n 个因素n c c c 21,对上一个因素O 的影响，取两个因素

i c 和j c ，用c

c

j

i

ij

a =

表示o 的影响之比，按1-9的比例标度来度量ij a (j i ,=1,

2, ..., n)。于是，可得到两两成对比较矩阵n n ij a A ?=)(，如下所示：

????????????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

11211ij

ji

ij a a a 1

,0=>

当A 为一般的矩阵时w Aw λ

max

=

，其中

λ

max

是A 的最大特征值，w 是相应

的特征向量，经过归一化后（∑==n

i i w 1

1）后，可以近似作为排序权重向量，这种

方法成为特征根法。

（3）一致性检验及权重向量的确定

通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性.实际中要求其不一致程度应在容许的范围内.主要考查以下指标:

目标层:

准则层:

方案层:

1

max --=

n n

CI λ ； m ax λ为最大特征值，n 为判断矩阵阶次

一致性指标CI 的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，CI 的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。对于多阶判断矩阵，引入平均随机

一致性指标RI ，利用一致性比率公式

RI CI

CR =

;求得CR ，本文中4=n ，对应的

90.0=RI 。

当1.0

λ的特征向量),(21n w w w =ω即为相应的权重向量。

当1.0≥CR 时，认为矩阵A 的不一致程度不再容许的范围内，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足1.0

（4）根据上述层次分析法的原理，我们构造了准则层对目标层的判断矩阵1A （见附录），以及方案层对准则层的判断矩阵i A （i=2,3,4,5)(见附录）。 将各个判断矩阵输入MATLAB 软件中，可以求得：

(1)矩阵1A 的一致性比例为0.0979，食品种类对食品质量的权重向量1w 为

T w )0991.0,2637.0,5159.0,1213.0(1=

(2)矩阵2A 的一致性比例为0.0926，四种因素对蔬菜的权重向量2w 为

T w )3776.0,0803.0,1060.0,4361.0(2=

(3)矩阵3A 的一致性比例为0.0919，四种因素对肉制品的权重向量3w 为

T w )4276.0,1550.0,0523.0,3652.0(3=

(4)矩阵4A 的一致性比例为0.0993，四种因素对饮品的权重向量4w 为

T w )2530.0,0501.0,1203.0,5756.0(4=

(5)知阵5A 的一致性比例为0.0897，四种因素对面制品的权重向量5w 为

T w )3890.0,1077.0,0482.0,4551.0(5=

（6）四种因素对食品质量的权重表1所示：

四种因素食品产地食品销售地点季节保质期权重0.416580.067780.127080.38856

表1

注:权重向量

w中各个分量为依次为:蔬菜，肉制品，饮品，面制品。权重向

1

量

w至5w中各个分量依次为:食品产地，食品销售地，季节，保质期因素。求出2

的各个权重代表的是该因素对食品质量的影响大小，将对各个权重由大到小进行排序，如表2所示:

四种因素食品产地保质期季节食品销售地点权重0.416580.388560.127080.06778

表2

经分析可知，对于权重大的因素，其对食品安全性的影响也就更大。

从上表中可以看出食品产地对食品质量的影响最大，达到了0.41658，其影响主要体现在对食品产地的大气、水环境、土壤的要求，①对大气的要求为产地周围不得有大气污染源，特别是上风口没有污染源；不得有有害气体排放，生产生活用的燃煤锅炉需要除尘除硫装置。②对水环境的要求为生产用水质量要有保证；产地应选择在地表水、地下水水质清洁无污染的地区；水域、水域上游没有对该产地构成威胁的污染源。③对土壤的要求为产地土壤元素位于背景值正常区域，周围没有金属或非金属矿山，并且没有农药残留污染。

保质期对食品质量的影响其次，达到了0.38856，食品的保质期是指预示在任何标签上规定的条件下保证食品质量的日期。随着新的加工和包装等材料、技术的出现，较之以前，食品质量得到了改善，保质期也相应地延长，对于食品保质期的研究也更加深入和广泛。目前国内外除了从理论角度，确定更接近实际的数学模型，更准确地预测产品的保质期，了解产品质量变化情况外，更多的是要依赖于新的简便、迅速的采集、分析技术对产品质量进行监测以及生产、流通等过程对质量进行实时控制。

关于季节因素对食品质量的影响，

令时即生长成熟符合节气的食物才能得天地之精气。而现代人违背自然规律培育出的反季节菜是有害处的。按照阴阳气化理论动植物都有一定的生长周期，在一定的生长周期内才能成

熟含的气味才够。违背自然生长规律的菜违背了“春生、夏长、秋收、冬藏”的寒热消长规律，从而致食品“寒热不调”“气味混乱”，成为所谓“形似菜”。没有节令的气质是徒有其形而无其质。如夏天的白菜、冬天的西红柿含太多激素，严重影响了食物质量。

从上表中不难发现，销售地点对食品质量的影响最小，主要包括食品的生产地点与销售地点在气候、位置等因素上的差异，从而食品的质量有一定的差异，例如一些热带地区的水果运往偏远且温度低的地区，为了保证口感，在水果不完全成熟时就需要运送，期间影响了食品的质量。

（三）问题三模型的建立与求解

为了更科学更有效的对食品质量进行检测，经过对对三年的深圳市食品抽查数据的分析，结构流程图如下：

样本数据分析

运用层次分析法

监测模型的构建

求权重的框图

模型误差分析

模拟抽检

确定抽检次数

基于此，我们分以下四步解决：

1.样本的抽取模型

食品的检测模型主要用于检测不同地理区域、不同生产条件、不同生产规模的食品商所生产销售的食品的质量问题，在检测前我们必须先根据经济情况等因素大致确定抽查的数目。

不同地理区域、不同生产条件、不同生产规模的生产商所生产销售的食物质

量是有很大差别的。因此，在检测前对检测对象进行合理的分配至关重要。这里我们提出多层次划分抽样模型。多层次划分抽样模型根据不同的因素对抽查对象进行划分：第一层为目标层，级所抽查的对象。如全国的食品生产商；第二层则在第一层的基础上考虑某一因素（比如地域差异）而对第一层次进行划分（比如生产规模）对第二层的几类抽查对象分别进行划分，如此进行下去，直到满足一定的条件结束划分。划分过程如下图所示：

具体的抽取数量可按层次分析法求得权重后，根据权重比例分配抽取数量。得抽查对象到后按下述模型进行检测。 2.基于权重的检测模型的建立与求解

此问要求在同时考虑经费、时间和效果的前期下建立合理的抽检模型，对于此问我们的总体思路是：重点抽查容易出问题的环节，兼顾其他环节。经分析，针对主要食品，我们依据第一问的计算结果建立了基于权重的抽检模型，具体模型如下。

为了方便计算权重，我们引入判断因子1,=m m 表示该因素对该环节有影响，

0=m 表示无影响。于是我们可以得出：

环节

影响因素

原材料使用

生产加工

运输与存储

流通于销售

添加剂

1

1

目标层食品生产销售商

一区 三一区 三二区

按生产部规模

按地域分

二区 三区 四区

五区

重金属 1 1 0 0 微生物

1

1

1

如果以i R 表示各个环节中所包含的所有的影响因素的权重之和，即

R i

=j

w

m ∑?4

1

4,...2,1,=i 3,2,1=j

因此可以得出各个环节中的因素总权重。为了便于抽检次数的分配，需要对这些权重之和做归一化处理，使得各个环节权重的总和为1，即

∑==

31

j j

i i R

R

R 4,...2,1=i

式中i R 表示第i 环节在食品安全中所占的权重。其值如下表所示： 生产环节

原材料使用 生产加工 运输与存储 流通于销售 权重 0.3046

0.3358

0.1926

0.1670

以此为依据，我们就可以得到在检测食品安全时，对各个环节i N 的检查力度了，即设某次质量检查中一共要做N 次检测，那么第i 个环节所抽查的次数

i i R N N ?=

具体分配情况如下（N 代表总检查次数）： 各个环节 原材料使用

生产加工 运输与存储 流通于销售 分配次数 0.3046N

0.3358N

0.1926N

0.1670N

由于产品的检测要具体到每一件产品上，所以我们还要继续将每一个环节中的检查次数按照属于该环节的各因素的权重进行分配。对此我们仍采用上述的权重分配法。

对于第i 各环节，我们可以求出其中的第j 个因素在这个环节的权重ij a ：

，

∑?=j

j

j

ij w

m w a 1

4,...2,1=i 3,2,1=j 同样，对这些数据做归一化处理：

,1

∑=

j

ij

ij

ij a

a a 4,...2,1=i 3,2,1=j

ij a 表示第j 个因素在第i 个环节所占的权重，因此第i 个环节中的第j 个因素所需的检测次数就为

ij i ij a R N N ??=

具体数据如下表所示（N 代表检测次数，表述数据取整数值）：

至此就可以得到每个环节中每次因素的检测次数了，这些数据可以作为一个公式表来使用，有效地节约了成本和物力。 3.模型误差的分析方法

在实际的抽检中，当确定某一环节的抽查次数时，一般以一次性筹建方案进行。一次筹建方案就是从批量为N 的某食品中，抽取一个容量为n 的食品，进检验后，有这个样品中的不合格数d 来决定这批食品是否合格。对此种抽样问题，关键是确定抽样容量n 和合格判定数c ，故一次抽检方案又称),,(c n N 方案。其抽检过称由下面的图5-2给出。我们以)0,1,(N 方案为例来分析检验误差，即从中任取一个样品检验，档次样品合格，则认为整批食品合格；反之则不合格。

环节

影响因素

原材料使用

生产加工 运输与存储 流通于销售

添加剂 0 0.1287N

0.1926N 0 重金属 0.1984N 0.0278N 0 0 微生物 0.1062N 0.1793N 0 0.1670N

图5-2 误差分析图

从下表可以看到，在食品抽样检测时存在两类误判，即当判断食品为不合格批次时，可能犯第一类错误，即I 型误差，一般用α表示；而当判断食品为合格批时可能会犯第二类错误，即II 型错误，一般用β表示。

实际情况 数据

鉴定 评价 合格批 c d ≥

合格批 正确 合格批 c d > 不合格批 错误 不合格批 c d ≥ 合格批 错误 不合格批 c d >

不合格批

正确

为计算误差，我们引入抽检方案的接受概率P ，它指出现事件“c d ≤”的概率，易知接受概率是P 的减函数，称为OC 函数，记作：

),()(p c d P p L ≤=

如果规定当批次的不合格率p 不超过0p 时，这批食品是合格的，那么当某批次食品的0p p ≤时，应判为合格，判为不合格的概率即I 型误差为)(1p L -=α； 当0p p ≥时，应判为不合格，判为合格的概率为)(p L =β。

抽检方案)0,1,(N 的OC 函数为：

P p p L d n d

c

d d

n P C -=-=-=∑1)1()(0

从N 个产品中任取n 个样品

检查n 个样品中不合格数d

d<=c 产品合格

产品不合格

d>c

其对应取值如下表所示：

P(%) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(p)

1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

因而在05.0≤p 是合格的整批食品误判为不合格的概率为

05.0)(1=-=p L α；而在05.0>p 时，不合格的整批食品误判为合格的概率为95.0)(≤=p L β，β的最大值为0.95，可见此方案虽然对食品生产企业有利，但对消费者却既不负责，因为存在很大的可能性将不合格的食品当成合格的食品投放市场。 3.模型的模拟检验

为了进行模型的模拟检验，我们设置以下分情形进行检测模拟。

情形模拟：某市现在要进行一次食品质量安全检测，要求制定一份合理的抽检方案。已知食品的生产过程可以分为原材料使用，生产加工、运输与存储、流通与销售四个环节，具体表现为微生物、重金属、添加剂，其中一个环节中可能包含上述3中因数中的一个或几个，其影响程度也有区别，要求每个环节至少抽查3次以上，而由于检测成本费用和检测时间投入的限制，要合理的分配抽查，已达到最佳的抽查效果。

模拟抽检： (1)确定抽检方案

现已N 表示需抽检的总次数（待定），由以求得得各因素对各生产环节的权重确定对个生产环节所分配的抽检次数：

生产环节 原材料使用 生产加工 运输与存储 流通于销售 分配次数 0.3046N

0.3358N

0.1926N

0.1670N

然后将各环节的次数具体分配到每一个因数上去，参见下表：

因素 环节 原材料使用

生产加工

运输与存储

流通于销售

添加剂

0 0.1287N 0.1926N 0 重金属 0.1984N 0.0278N 0 0 微生物 0.1062N

0.1793N

0.1670N

由表中的数据得知检查最少的为生产加工阶段的重金属环节，于是

N

.0

0278

3

得到最少检测次数为108次。于是有以下分配：

原材料使用生产加工运输与存储流通与销售添加剂0 14 20 0

重金属22 3 0 0

微生物12 20 0 17

从上表可以看出，各影响因子在不同生产加工环节中各个权重所得出的抽检次数。其中，在生产加工和运输与存储环节为了保持食品的质量和美味，添加剂的使用显得尤为重要，但是过量的使用可能使某些物质的含量超标，这也就成为了质量监察局抽查的重点环节。重金属则是在原材料的使用中需要加大抽检力度，这是因为重金属过量使用对人体的危害很大，而且原材料的选用是影响食品质量的关键环节。微生物的重点抽方向在生产加工和流通与销售上，同时由于生存环境与季节因素对它们的影响很大，还应注意在夏季定期多频次的抽查食品中微生物的含量是否超标。这个表格是模型模拟出来的各影响因子在各个环节中的抽查次数，在实际应用中，或许受到意外的因素（例如：流行病的爆发，战争等）影响达不到效果最好，费用最低的期望值，但是这个表格的合理性是可以借鉴的，实际抽查时可以以此为依托来进行灵活的调整，保证人们吃到放心安全的食品

六、模型评价

在第一问中，我们概括的将食品分为了四大类来进行模型的构建，这四种分法基本含盖了绝大多数的食品种类，重点对食品中的微生物，重金属，添加剂三大特征进行了抽查检验，可以较好的反映出食品届整体的质量变化趋势，以月为单位抽查三大特征因子在四类食品中的合格率，是运用的归纳统一法综合每月数据得出的，如果把每月中的每次抽查的数据单独列出来，将大大增加工作量，在实际中不太符合，而且抽查的次数过多，也无形中增加了工作的经费，如果将每月为单位但运用上曲线拟合的方法得出的数据也是同样贴近事实的，这样减少了财政支出和工作时间，效率又高，不视为一种操作性强的方法。

在第二问中，我们采用了多层次分析方法，层次分析法中对构造出的判断矩阵有一致性检验，因而只要通过一致性检验，就己经将由主观性造成的误差控制在合理范围内了，所得的结果也就具有较强的说服力。

在第三问的模型的优点是可以在资金数量己知且有限的情况下，全面考虑到四个检测项目，并可以制定出合理的抽检方案。此外，该模型不会像一般的抽检方法那样，造成在抽检过程中将被使用的资金数目的不确定，从而影响了抽检的全面性。同时，该模型也有一定的局限性，即由于附表给出的数据量有限，从而影响了各个因素权重计算的精确性。

七、参考文献

1）数学建模案例精选，朱道元等编著科学出版社

2）大学生数学建模，罗万成主编西南交通大学出版社

3）数学建模基础，薛毅编著科学出版社

4）Matlab7.0 控制系统应用与实例刘叔军盖晓华等编著机械工业出版社

5）影响食品安全的因素及应对措施.孙玉清，王晓梅.中国食物与营养，2007年第12期

6）对我国食品安全保障体系监管建设的建议.汪建明，贾磊.食品安全检测，2009年7

7）二次抽检方案比一次抽检方案的优越性的定量分析.许玲，付晓芳.河北工程技术高

等专科学校学报，2004年3月第1期

8）[关于影响食品安全因素的探讨.陈锦屏，张志国.食品科学，2005年26卷第8期

9）食品卫生安全保障体系数学模型的研究.唐苏文，马守贵，张浩.数学的实践与认识，

2008年7月第38卷第14期

附录

附件1：

蔬菜的检测合格率

a=[7 8 12 13 16 21 24 27 28 32 35 36];

b=[0.9945 0.972 0.956 0.9564 1 1 0.9692 0.9625 0.9797 1 1 0.9929];

p=polyfit(a,b,4);

x=0:0.1:36;

y1=polyval(p,x);

d=[0.93 0.90 0.85 0.89 1 1 0.973 0.867 0.978 0.89 0.978 ];

c=[2 7 9 11 14 15 17 19 24 25 29];

p=polyfit(c,d,3);

y2=polyval(p,x);

f=[1 0.983 0.956 0.968 0.969 1 0.796 0.99 0.977 0.846];

e=[2 7 12 12.2 12.4 21 24 30 32 36];

p=polyfit(e,f,3);

y3=polyval(p,x);

x=0:0.1:36;

plot(x,y1,'-',x,y2,'--',x,y3,':');

legend('微生物','重金属','添加剂');

axis([0 36 0.6 1])

title('蔬菜的检测合格率');

xlabel('年份');

ylabel('合格率');

附件2：肉类的检测合格率

a=[7 12 15 21 24 27 28 30 35 36];

b=[0.9364 0.969 0.7217 0.8818 0.8098 0.9266 0.9245 0.9811 0.9577 0.9715]; p=polyfit(a,b,2);

x=0:0.1:36;

y1=polyval(p,x);

d=[0.995 0.88 0.98 1 0.875 0.9 1];

c=[14 15 17 24 28 35 36];

p=polyfit(c,d,2);

y2=polyval(p,x);

f=[1 1 0.951 0.969 0.942 0.842 1 0.95 0.939 0.927 0.8805 0.98 0.9 0.9815]; e=[2 4 7 12 13 15 17 21 24 27 28 32 35 36];

p=polyfit(e,f,3);

y3=polyval(p,x);

x=0:0.1:36;