机械波专项训练

【例题精选】：

例1：一列简谐波在x轴上传播，波速为50米/秒。已知t=0时刻的波形图像如图5-2（1）所示，图中M处的质点此时正经过平衡位置沿y轴正方向运动。将秒时的波形图像画在图5-2（2）上（至少要画出一个波长）

分析：本题通过画波形图考查对波动规律的掌握情况。要解答好这类问题，必须全面掌握波动规律，简谐振动在介质中的传播叫简谐波，波在传播过程中可同时看到两个运动：就波上每个质点来看，各个质点在平衡位置附近做简谐振动；从质点对振动的传播来看，振动从波源向远处传播，这一运动在横波中表现为波峰或波谷沿传播方向运动。在波的传播过程中，随着时间的推移，波上各质点的位移都随时间发生变化，由这些质点构成的波形也随时间发生变化。质点对振动的传播运动，或说横波中波峰或波谷的运动、波形随时间的变化规律，可由下面两个基本关系反映出来。

（1）波的传播方向与质点振动方向的关系。

图5-3表示一列沿x轴传播的横波在t=0时

刻的波形，图中标出了波的传播方向及部分质点在

该时刻的运动方向。为了简化表述，取水平向右为

x轴正方向。上图表示波沿x轴向右传播，下图表

示波沿x轴向左传播。图示表明：当波沿x轴向

右传播时，任意一个波峰与右侧相邻波谷之间的质

点都沿y轴正方向运动，波峰与左侧相邻波谷之间

的质点都沿y轴反方向运动，当波沿x轴向左传

播时，任意一个波峰与左侧相邻波谷之间的质点都

沿y轴正方向运动，波峰与右侧相邻波谷之间的质

点都沿y轴反方向运动；无论波向哪个方向传播，

在该时刻位于波峰或波谷上的质点速度都为零。

根据上述关系，再综合质点的振运规律，就可以确定波形随时间变化的规律，如图5-4甲所示，图中给出了横波t=0时刻的波形，要求画出时的波形。由于已知波沿x轴正方向传播，所以波上各质点在t=0时刻的振动方向就可以确定，根据各质点此时刻的位置和运动方向，就可以确定经过时各质点所在位置，为了简单，只需考虑在t=0时刻y等于0，处的质点即可，如图5-4甲中质点A，B，……K，这些质点经过位移变化的大小等于振幅，时刻这些质点的位置如图5-4乙所示，根据这些质点的位置就可以画出时刻的波形如图5-4乙。

根据这种方法可以确定，从任意时刻t

开始计时，经过一个周期，波上所有质点都

完成一次全振动回到原来的位置，那么时刻

的波形与t时刻波形相同。还可进一步得出，

（n为正整数）时刻的波形也与t时刻波形

相同，总之，波上质点的周期性振动导致了

波形的周期性变化。

（2）波的传播时间、传播距离与波速、

周期、波长的关系

设一列波的速度是v，经过一段时间传播了一段距离（在横波中表现为波峰或波谷移动的距离），则

（1）

把代入可得

（2）

根据式（1）或式（2），只要能求出波在时间传播的距离，再已知波的传播方向和波在时刻的波形，就可以求出t时刻的波形。如图5-4，已知t0时刻的波形如图5-4甲，经过时间，由式（1）可得，将波峰沿传播方向移动，就可画出t时刻的波形如图5-4乙。

根据上述对波动规律的描述和画波形的方法，在本题中可用两种方法求解：

解法1：波峰移动法

根据式（1）求出波在时间传播的距离，由图中读出波长米，所以

根据质点M在时刻的运动方向，可知波沿x轴反方

向传播。波传播一个波长后的波形与时刻的波形相

同，再传，可将每个波峰、波谷沿x轴反方向移动

米，，即可画出秒时的波形如图5-5所示。

解法2：质点移动法

从图中读出波长米，根据求得周期，而，所以

波上的所有质点经过一个周期完成一次全振动，各

质点的位置与时刻的位置相同，再经过，处于平衡

位置的质点将再移动2厘米。已知时米处的质点M正经过平衡位置沿y轴正方向运动，那么经过0.5秒将位于x=15米、y=2厘米处，恰好位于秒时的波峰处，画出的波形与图5-5完全相同。

小结：上述两种解法的区别是，解法1用波峰（或波谷）的移动定位新时刻的波峰，解法2是用质点的移动定位新时刻的波峰。选用哪种方法要根据已知条件，本题中用解法1比较简捷。

上述两种解法在思路上的共同点是，找不足一个周期的“零头”。解法1找的零头，解法2找的零头，根据零头确定新波峰或波谷的位置，从而画出新波形。

比较两处解法可以看出

即波传播的时间是几个周期，在这段时间波传播的距离就是几个波长，波上的质点就完成几

次全振动，波的形状就完成几次周期性的变化。这个结论在研究波动问题时将有重要用途。

例2：图5-6是一列简谐波在t=0时刻的波动

图像，波的传播速度是5米/秒，则从t=0到t = 1.5

秒的时间，质点M通过的路程是米，位移

是米。

答案：路程是 3.75 米，位移是－0.05

米。

分析：本题把波与

质点的振动联系在一起，考查对波动规律与质点振

动规律综合应用的能力。质点做简谐振动

时，每经过一个周期的时间，质点都回到初始位置，通过的路程是振幅的4倍。因此要求出一段时间质点通过的路程，必须知道振幅、振动的时间和周期。从图中可读出振幅米；经过的时间秒；已知波速v=5米/秒，从图中读出波长，所以周期。根据与T的值可求出。从图像中可看出，t=0时，质点M恰好位于平衡位置，那么经过18个周期，质点M仍位于平衡位置，通过的路程为18×4A，再经过个周期通过的路程为，所以总路程为。

由于质点做简谐振动时，每经过一个周期的时间都要回到初始位置。位移不变，因此要确定质点在某时刻的位移，关键是找时间除去整周期数以外的“零头”。前面已得出，零头是T。已知t=0时质点位于平衡位置，波沿x轴正方向传播，所以M沿y轴正方向运动，再经过18个周期，质点M仍位于平衡位置且沿y轴正方向运动，再经过T，质点将位于负最大位移处，即位移为－0.05米。

小结：关于质点路程的计算，要注意质点的始末位置和时间的零头。本题中，若经过的时间秒，则，质点M的末位置即不在平衡位置，也不在最大位移处，那么在时间通过的路程；若t=0时质点位于米处,则经过秒,质点通过的路程。总之，当质点的始或末位置不在平衡位置或最大位移处，上述计算路程的方法不适用。

例3：图5-7中实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2秒后它的波形图线。这列可能的传播速度是。

答案：波沿x轴正方向传播，

波沿x轴反方向传播，

分析：求波速有两条思路：若已知传播时间t和这段时间传播的距离s，则；若已知波的周期T和波长，则，本题只给出了T和，欲用前式需先求s，用后式需先求T。注意，本题没有给出波的传播方向，因此求波速时需考虑两种可能方向：波沿x轴正方向传播；波沿x轴反方向传播。

（1）波沿x轴正方向传播。

解法1：根据求波速，根据图像可以确定波在时间t传播的距离

所以波速

从图中读出波长米，已知秒，所以

解法2：根据求波速。根据图像可以确定波的传播时间t与周期的关系为

所以

波速

n = 0，1，2……

（2）波沿x轴反方向传播。

解法1：根据图像可确定波在时间t传播的距离

所以波速

n = 0，1，2，……

解法2：根据图像可以确定波的传播时间t与周期的关系为

所以

波速

n = 0，1，2，……

小结：

（1）本题与例2在已知和所求上恰好相反，属于同一类问题，遵守共同的规律，在分析问题的思路方法上有共同之处：“找零头”。

（2）在波动问题中涉及的物理量有波长、波速、周期、传播时间、传播距离，审题时应注意，无论哪个量只要没给定（直接或间接），都要讨论，考虑各种可能性，这是对全面考虑问题能力的考查。

【专项训练】：

1、在xy平面有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为1米/秒，振幅为4厘米，频率为2.5赫。在t=0时刻，P点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P为0.2米的Q 点（见图5-8）

A．在0.1秒的位移是4厘米。

B．在0.1秒时的速度最大。

C．在0.1秒时的速度向下。

D．在0到0.1秒时间的路程是4厘米。

2、如图5-9所示，一根紧的水平弹性长绳上的a，b两点相距14.0米，b点在a点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a

点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下

运动。经过1.00秒后，a点的位移为零，且向下运动，

而b点的位移恰达到负极大，则这简谐横波的波速可

能等于

A．4.67米/秒B．6米/秒

C．10米/秒D．14米/秒

3、一列横波沿x轴传播，在秒时的波形曲线如图5-10所示。已知波速为6000米/秒，则波的传播方向是。

4、绳上有一列简谐横波向右传播，当绳上某点A向上运动到最大位移时，在其右方相距0.30米的质点刚好向下运动到最大位移，已知波长大于0.15米，则该波的波长等于米。

5、绳中有一列正弦横波沿x轴传播。图5-11中，a，b是绳上两点，它们在x轴方向上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰经过平衡位置向上运动，试在图上a，b之间画出两个波形分别表示：①沿x轴正方向传播的波；②沿x轴负方向传播的波。在所画波形上要注明符号①和②。

6、如图5-12所示，a，b为x轴上的两个质点，相距3.5米。一列简谐横波正沿x 轴正方向传播，速度为5米/秒，周期0.4秒，当波传到a点时，恰使a点垂直于x轴向上运动，试画出波传到b点时ab之间波形的示意图。

【答案】：

1、B，D；

2、A，C

提示：设l t l

n n

===

140100

4012

..,,,

米，秒，先求出可能波长…

?λ，再

求出可能周期，则可能的波速

…，K=0,1,2,…,把的值代入，并对n，k取不同值代入即可得出波速的可能值。

3、沿x轴反方向；

4、0.6米，0.2米；

5、见图5-13；

6、见图5-14；