学习探究诊断必修二

第二章平面解析几何初步

测试十平面直角坐标系中的基本公式

Ⅰ学习目标

理解和掌握数轴上的基本公式，平面上两点间的距离公式，中点坐标公式．

Ⅱ基础训练题

一、选择题

1．点A(－1，2)关于y轴的对称点坐标为( )

(A)(－1，－2) (B)(1，2) (C)(1，－2) (D)(2，－1)

2．点A(－1，2)关于原点的对称点坐标为( )

(A)(－1，－2) (B)(1，2) (C)(1，－2) (D)(2，－1)

3．已知数轴上A，B两点的坐标分别是x1，x2，且x1＝1，d(A，B)＝2，则x2等于( )

(A)－1或3 (B)－3或3 (C)－1 (D)3

4．已知点M(－1，4)，N(7，0)，x轴上一点P满足|PM|＝|PN|，那么P点的坐标为( )

(A)(－2，0) (B)(－2，1) (C)(2，0) (D)(2，1)

5．已知点P(x，5)关于点Q(1，y)的对称点是M(－1，－2)，则x＋y等于( )

9

(A)6 (B)12 (C)－6 (D)

2

二、填空题

6．点A(－1，5)，B(3，－3)的中点坐标为______．

7．已知A(a，3)，B(3，a)，|AB|＝2，则a＝______．

8．已知M(－1，－3)，N(1，1)，P(3，x)三点共线，则x＝______．

9．设点A(0，1)，B(3，5)，C(4，y)，O为坐标原点．

若OC∥AB，则y＝______；

若OC⊥AB，则y＝______．

10．设点P，Q分别是x轴和y轴上的点，且中点M(1，－2)，则|PQ|等于______．

三、解答题

11．已知△ABC的顶点坐标为A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．

(1)求证：△ABC是直角三角形；

(2)求AB边上的中线CM的长．

12．已知矩形ABCD相邻两个顶点A(－1，3)，B(－2，4)，若矩形对角线交点在x轴上，求另两个顶点C和D的坐标．

13．已知AD是△ABC底边的中线，用解析法证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

Ⅲ拓展训练题14．利用两点间距离公式求出满足下列条件的实数x的集合：

(1)|x－1|＋|x－2|＝3；

(2)|x－1|＋|x－2|＞3；

(3)|x－1|＋|x－2|≤3．

测试十一 直线的方程

Ⅰ 学习目标

1．理解直线斜率和倾斜角的概念，掌握两点连线的斜率公式． 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式及一般式．

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．已知直线AB 的斜率为

2

1

，若点A (m ，－2)，B (3，0)，则m 的值为( ) (A )1 (B )－1 (C )－7

(D )7

2．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

(A )k 1＜k 2＜k 3 (B )k 3＜k 1＜k 2 (C )k 3＜k 2＜k 1 (D )k 1＜k 3＜k 2

3．直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) (A )k sin α＞0 (B )k cos α＞0 (C )k sin α＝0 (D )k cos α符号不定 4．一条光线从点M (5，3)射出，遇x 轴后反射，反射光线过点N (2，6)，则反射光线所在直线方程是( ) (A )3x －y －12＝0 (B )3x ＋y ＋12＝0 (C )3x －y ＋12＝0 (D )3x ＋y －12＝0

5．直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么k 的取值范围是( ) (A )k ≥－1 (B )k ≤1 (C )|k |≤1 (D )|k |≥1 二、填空题

6．斜率为－2且在x 轴上截距为－1的直线方程是______．

7．y 轴上一点M 与点N (－3，1)所在直线的倾斜角为120°，则M 点坐标为______． 8．已知直线

3

a

x －2y －4a ＝0(a ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，则a ＝______．

9．已知直线l 过点A (－2，1)且与线段BC 相交，设B (－1，0)，C (1，0)，则直线l 的斜率k 的取值范围是______．

10．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，接着再沿y 轴正方向平移1个单位后又回到原

来的位置，则直线l 的斜率为______． 三、解答题 11．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积．若平行四边形两个相对顶点为B (1，4)，

D (5，0)，求直线l 的方程．

12．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)．求直线l的方程．

Ⅲ拓展训练题

13．设A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，求a 的值．

14．一条直线l过点P(2，3)，并且分别满足下列条件，求直线l的方程．

(1)倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的两倍；

(2)与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小；

(3)|P A|·|PB|为最小(A、B分别为直线与x轴、y轴的正半轴的交点)．

测试十二 两条直线的位置关系(Ⅰ 学习目标

掌握两条直线平行、垂直的条件，会利用两条直线平行、垂直的条件解决相关的问题．

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么a 等于( ) (A )－3

(B )－6

(C )－

23 (D )

32 2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0垂直，那么a 等于( ) (A )－3

(B )－6

(C )－

2

3 (D )

3

2 3．若两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直，则( ) (A )A 1A 2＋B 1B 2＝0 (B )A 1A 2－B 1B 2＝0 (C )

2

12

1B B A A ＝－1 (D )

2

12

1A A B B ＝1 4．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) (A )x ＋y －5＝0 (B )2x －y －1＝0 (C )2y －x －4＝0 (D )x ＋y －7＝0 5．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与y ＝－2

1

x ＋2的交点在第一象限，则k 的取值范围是( )． (A )－6＜k ＜2 (B )－21＜k ＜21

(C )－

6

1＜k ＜21

(D )k ＜2

1

二、填空题

6．以A (1，3)、B (－1，1)为端点的线段的垂直平分线方程是______．

7．若三条直线l 1：2x －y ＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 3：mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则实数m ，n 满足的关系式是______．

8．直线y ＝2x ＋3关于点(2，3)对称的直线方程为______．

9．直线2x －y ＋1＝0绕着它与y 轴的交点逆时针旋转45°角，此时直线的方程为______. 10．若三条直线x ＋y ＝2，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是______． 三、解答题

11．求经过两条直线l 1：2x ＋3y ＋1＝0和l 2：x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y

－7＝0的直线方程．

12．平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 所在的直线方程分别为x ＋y －1＝0，3x －y ＋4＝0，

其对角线的交点坐标为(3，3)，求另两边BC ，CD 所在的直线方程．

13．已知三角形三条边AB，BC，AC中点分别为D(2，1)、E(5，3)、F(3，－4)．求各边所在直线的方程．

14．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使l1，l2分别满足下列条件：(1)l1，l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合．

测试十三 两条直线的位置关系(二)

Ⅰ 学习目标

会应用点到直线的距离公式解决相关的问题．

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．点P (0，2)到直线y ＝3x 的距离是( ) (A )1

(B )

5

10 (C )2 (D )

5

5 2．平行线3x ＋4y ＋2＝0与3x ＋4y －12＝0之间的距离为( ) (A )2

(B )

3

10 (C )

5

14 (D )3

3．若直线(2＋m )x －y ＋5－n ＝0与x 轴平行且与x 轴相距5时，则m ＋n 等于( ) (A )－2或8 (B )－2 (C )8 (D )0

4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0与l 2：bx －y ＋a ＝0(ab ≠0，a ≠b )在坐标系中的位置可能是( )

5．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角， 它们的对边分别为a 、b 、c ．已知原点到直线x sin A ＋y sin B ＋sin C ＝0的距离大于1，则此三角形形状为( ) (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形 (D )不能确定 二、填空题 6．若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝____，c ＝_____，m ＝______． 7．已知定点A (0，1)．点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是____. 8．两平行直线分别过点(1，0)与(0，5)，且距离为5，它们的方程为______． 9．若点A (1，1)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝2(θ为实数)的距离为f (θ)，则f (θ)的最大值是___. 10．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则

AB 中点M 到原点距离的最小值是______． 三、解答题

11．过点P (1，2)的直线l 与两点A (2，3)，B (4，－5)的距离相等，求直线l 的方程．

12．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：

(1)与直线l 的距离为5的直线的方程； (2)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点的坐标．

13．已知△ABC的垂心H(5，2)，且A(－10，2)、B(6，4)，求点C的坐标．

Ⅲ拓展训练题

14．在△ABC中，点B(1，2)，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0，求|BC|．

测试十四 圆的方程

Ⅰ 学习目标

掌握圆的标准方程及一般方程，能根据已知条件求圆的方程．

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心的横坐标为1，则a 等于( ) (A )1 (B )2 (C )－1 (D )－2

2．与圆C ：x 2＋y 2－2x －35＝0的圆心相同，且面积为圆C 的一半的圆的方程是( ) (A )(x －1)2＋y 2＝3 (B )(x －1)2＋y 2＝6 (C )(x －1)2＋y 2＝9 (D )(x －1)2＋y 2＝18 3．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) (A )直线x ＝2轴对称 (B )直线y ＝－x 轴对称 (C )点(－2，2)中心对称

(D )点(－2，0)中心对称

4．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与y 轴相交，且两个交点分别在原点两侧，那么( ) (A )D ≠0，F ＞0 (B )E ＝0，F ＞0 (C )F ＜0 (D )D ＝0，E ≠0 5．方程x －1＝()2

11--y 所表示的曲线是( )

(A )一个圆 (B )两个圆 (C )半个圆 (D )四分之一个圆 二、填空题

6．过原点的直线将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的面积平分，则此直线的方程为______．

7．已知圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，试根据下列条件，分别写出a ，b ，r 应满足的条件．

(1)圆过原点且与y 轴相切：______； (2)原点在圆内：______； (3)圆与x 轴相交：______． 8．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝

3

3

x 的距离是______． 9．P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上任意一点，则x 2＋y 2的最大值是______；点P 到直线3x ＋4y －15＝0的最大距离是______． 10．设P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则

x

y

的最小值是______． 三、解答题

11．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，求a 的取值范围．

12．求过三个点A (0，0)，B (4，0)，C (2，2)的圆的方程．

13．已知圆C的圆心在直线x＋y－1＝0上，且A(－1，4)、B(1，2)是圆C上的两点，求圆C的方程．

Ⅲ拓展训练题

14．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0．

(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．

测试十五 直线与圆的位置关系Ⅰ 学习目标

1．会用解析法及几何的方法判定直线与圆的位置关系，并会求弦长和切线方程； 2．会用几何的方法判定圆和圆的位置关系．

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) (A )相离 (B )外切 (C )相交 (D )内切

2．直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )

(A )4x －3y －2＝0 (B )4x －3y －6＝0 (C )3x ＋4y ＋8＝0 (D )3x －4y －8＝0 3．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为( ) (A )

6

π

(B )

4

π (C )

3

π (D )

2

π 4．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恰有相异两点到直线4x －3y ＋25＝0的距离等于1，则r 的取值范围是( ) (A )[4，6] (B )(4，6] (C )(4，6) (D )[4，6) 5．从直线y ＝3上的点向圆x 2＋y 2＝1作切线，则切线长的最小值是( ) (A )22

(B )7

(C )3

(D )10

二、填空题

6．以点(－2，3)为圆心且与y 轴相切的圆的方程是______．

7．已知直线x ＝a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是______．

8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是______.

9．过定点(1，2)可作两直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则k 的取值范围是____. 10．直线x ＋3y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是______． 三、解答题

11．圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1，2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝

4

π

3时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．

12．求经过点P (6，－4)且被圆x 2＋y 2＝20截得的弦长为62的直线的方程．

13．求过点P (4，－1)且与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0外切于点M (1，2)的圆的方程．

Ⅱ 拓展训练题

14．已知圆满足：

①截y 轴所得弦长为2；

②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；

③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为5

5． 求该圆的方程．

测试十六空间直角坐标系

Ⅰ学习目标

1．理解空间直角坐标系的概念，能写出满足某些条件的点的坐标．

2．会用空间两点间距离公式进行相关的计算．

Ⅱ基础训练题

一、选择题

1．点A(2，0，3)在空间直角坐标系的位置是( )

(A)y轴上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上

2．在空间直角坐标系中，点P(－2，－1，3)到原点的距离为( )

(A)14(B)5(C)14 (D)5

3．点A(－1，2，1)在xOy平面上的射影点的坐标是( )

(A)(－1，2，0) (B)(－1，－2，0)

(C)(－1，0，0) (D)(1，－2，0)

4．在空间直角坐标系中，两个点A(2，3，1)、A′(2，－3，1)关于( )对称

(A)平面xOy (B)平面yOz(C)平面xOz(D)y轴

5．设a是任意实数，则点P(a，1，2)的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是( )

(A)垂直于平面xOy的一条直线(B)垂直于平面yOz的一条直线

(C)垂直于平面xOz的一条直线(D)以上均不正确

二、填空题

6．点M(4，－3，5)到x轴的距离为______．

7．若点P(x，2，1)与Q(1，1，2)、R(2，1，1)的距离相等，则x的值为______．

8．已知点A(－2，3，4)，在y轴上求一点B，使|AB|＝6，则点B的坐标为______．9．已知两点A(2，0，0)，B(0，3，0)，那么线段AB的中点的坐标是______．

10．在空间直角坐标系中，点A(1，2，a)到点B(0，a，1)的距离的最小值为______．三、解答题

11．在空间直角坐标系中，设点M的坐标为(1，－2，3)，写出点M关于各坐标面对称的点、关于各坐标轴对称的点的坐标．

12．在空间直角坐标系中，设点M的坐标为(1,－2，3)，写出点M到原点、各坐标轴及各坐标面的距离．

13．如图，正方体OABC－A1B1C1D1的棱长为a，|AM|＝2|MB|，|B1N|＝|NC1|，分别写出点M与点N的坐标．

14．在空间直角坐标系中，设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，求点P的坐标．

测试十七

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1．方程y ＝k (x －2)表示( ) (A )经过点(－2，0)的所有直线 (B )经过点(2，0)的所有直线

(C )经过点(2，0)且不垂直于x 轴的所有直线 (D )经过点(2，0)且去掉x 轴的所有直线

2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP |的最小值为( ) (A )10

(B )22

(C )6

(D )2

3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A ))3

π,6π[

(B ))2

π,6π(

(C ))2

π,3π(

(D )]2

π,6π[

4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) (A )1或－1 (B )2或－2 (C )1 (D )－1

5．如果直线l 将圆：x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( ) (A )[0，2]

(B )[0，1]

(C )]2

1,0[

(D ))2

1,0[

二、填空题

6．经过点P (－2，3)且在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程为______．

7．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为______. 8．已知圆x 2＋(y －1)2＝1及圆外一点P (－2，0)，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______． 9．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线．A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为______．

10．已知两个圆x 2＋y 2＝1①与x 2＋(y －3)2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称

轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为______． 三、解答题

11．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0与直线l 2关于直线y ＝－x 对称，求直线l 2的方程．

12．圆心在直线x －2y －3＝0上，且圆与两坐标轴都相切，求此圆的方程．

13．求通过直线2x ＋y －4＝0及圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，并且有最小面积的圆的方

程．

14．在△ABC中，顶点A(2，4)、B(－4，2)，一条内角平分线所在直线方程为2x－y＝0，求AC边所在的直线方程．

Ⅱ拓展训练题

15．已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A、B两点(A在B的右侧)，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点．

(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上．

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．

16*．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程．

参考答案

第二章 平面解析几何初步 测试十 平面直角坐标系中的基本公式

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 提示：

1．点(a ，b )关于x 轴、y 轴、坐标原点O 、直线y ＝x 的对称点坐标为(a ，－b )，(－a ，b )，(－a ，－b )，(b ，a )． 二、填空题

6．(1，1)； 7．2或4； 8．5； 9．3,3

16

-； 10．52． 提示：

9．若＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)，

则∥?x 1y 2－x 2y 1＝0(应注意向量平行与直线平行的关系)； 则⊥?x 1x 2＋y 1y 2＝0(即?＝0)； 三、解答题

11．(1)证明：由已知计算得5||,52)31()11(||22==--++=

BC AB

5||=AC ，所以，|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 是直角三角形．

另解：由已知＝(－2，4)，AC ＝(2，1)， 所以，AB ·AC ＝－2×2＋4×1＝0， 所以，⊥，△ABC 是直角三角形． (2)解：由已知，AB 的中点M 的坐标为)2

3

1,211(+--，即M (0，1)， 所以，.1013||22=+=

CM

12．设矩形对角线交点为M (x ，0)，因为|MA |＝|MB |，

则2

2

2

2

4)2(3)1(++=++x x ，解得x ＝－5，所以M (－5，0)． 设C (x 1，y 1)，因为M 为AC 中点，所以

02

3

,52111=+-=-y x ， 解得x 1＝－9，y 1＝－3，所以，C (－9，－3)，同理，D (－8，－4)．

注：本题也可以利用向量平行、垂直的有关知识来解． 13．提示：通过建立适当的坐标系，利用坐标法来证明．

14．(1){x |x ＝0，x ＝3}；(2){x |x ＜0或x ＞3}；(3){x |0≤x ≤3}．

测试十一 直线的方程

一、选择题

1 B

2 B

3 B

4 D

5 D 提示：

3．由题意知，l 的倾斜角α为钝角，cos α＜0，k ＜0，故k cos α＞0．

4．反射光线过点N (2，6)，同时，还经过点M (5，3)关于x 轴的对称点M ′(5，－3)，所以，反射光线的斜率为

35

2)

3(6-=---，直线方程为3x ＋y －12＝0．

要注意，“光线”问题常用对称点的思路去思考问题．

5．直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴交点为A (－2k ，0)．B (0，k )， 所以，2|||2|2

1

||||21k k k OB OA S AOB =?-=?=

?，由题意k 2≥1， 得|k |≥1为所求．

二、填空题

6．2x ＋y ＋2＝0； 7．(0，－2)； 8．a ＝－2； 9．3

11-

≤≤-k ； 10．?-31

提示：

10．提示：设A (x 0，y 0)为直线l 上一点，根据题意，A 点沿x 轴负方向平移3个单位，接着

再沿y 轴正方向平移1个单位后仍应在直线l 上，即点(x 0－3，y 0＋1)在直线l 上．

所以直线l 的斜率为

?-=---+3

1

310000x x y y

三、解答题

11．提示：平分平行四边形面积的直线必过平行四边形的对角线交点，即过BD 的中点(3，

2)．

所以，所求直线方程为2x －3y ＝0．

12．略解：设P (x 1，1)，因为PQ 的中点为(1，－1)，根据中点坐标公式，

可得Q (2－x 1，－3)，因为点Q 在直线x －y －7＝0上， 所以，(2－x 1)－(－3)－7＝0，

解得x 1＝－2，所以，P (－2，1)，Q (4，－3)，?-=----=3

2

42)3(1/k

所以，l ：2x ＋3y ＋1＝0．

13．略解：由已知得AB ∥x 轴，作CD ⊥AB 于D ，

∵C (2，0)，A (0，3)，B (3，3)．∴S △ADC ＞S △BDC ． ∵x ＝a 将△ABC 面积平分，

∴x ＝a 在直线CD 左侧，即0＜a ＜2．

由题意得)3(21

23321p ABC y a S -?=??=

?，其中y p 表示AC 与x ＝a 的交点的纵坐标． ∵直线AC 的方程为132=+y

x ．即3x ＋2y －6＝0．

当x ＝a 时，2

36,236a

y a y p -=

∴-=，代入上式，得.3±=a

∵a ∈(0，2)．3=∴a 为所求．

14．(1)设直线l 的倾斜角为α，则所求直线倾斜角为2α，由已知，4

1

tan =

α，所以，tan2α＝

158

tan 1tan 22

=-αα，所以，所求直线l 方程为)2(15

83-=-x y ，即8x －15y ＋29＝0．

(2)依题意，设直线l 方程为y －3＝k (x －2)，k ＜0，则)0,3

2(k

A -

，B (0，3－2k )，S △AOB 1266)292(62

1=+≥-+

-+==

k

k y x B A ，此时，k

k 292-=

-，即.23±=k ，

因为k ＜0，

所以23

-

=k ，所求直线l 方程为)2(2

33--=-x y ，即3x ＋2y －12＝0． (3)依题意，设直线l 方程为y －3＝k (x －2)，k ＜0，则)23,0(),0,3

2(k B k

A --，

12)1(6||164499||||22

2≥-+-?=+?=+?+=

?k

k k k k k PB PA ， 此时，k

k -=

-1

，即k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所求直线l 方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．

测试十二 两条直线的位置关系(一)

一、选择题

1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 提示：

5．提示：可以求出两条直线的交点坐标)1216,1242(+++-k k k k ，解不等式组??????

?>++>+-01

21601

242k k k k

， 可得?<<-

2

1

61k 另外，注意到直线y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，即此直线过定点(－2，1)，又，直线22

1

+-

=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标为(4，0)，(0，2)．利用数形结合的思路可得结论． 二、填空题

6．x ＋y －2＝0； 7．m ＋2n ＋5＝0； 8．2x －y －5＝0； 9．3x ＋y －1＝0； 10．a ∈R ，a ≠±1且a ≠2． 提示：

9．设直线2x －y ＋1＝0的倾斜角为α，由已知，所求直线的倾斜角为α＋45°，

因为tan α＝2，所以，345tan tan 145tan tan )45tan(-=-+=+ο

ο

ο

ααα，又直线2x －y ＋1＝0与y 轴

的交点为(0，1)，所以，所求直线方程为3x ＋y －1＝0．

10．直线x ＋ay ＝3与另两条直线不平行也不重合，并且三条直线不过同一点． 三、解答题

11．4x －3y ＋9＝0．

12．CD ：x ＋y －11＝0，BC ：3x －y －16＝0． 13．方法一：用中点．

DE 中点)2,2

7(G ，又G 为BF 的中点，∴B (4，8)． 同理，EF 中点).2,6(),2

1,4(-∴-C H

DF 中点).6,0(),2

3,25(-∴-A M

.01227,62

7

:=---=

∴y x x y AB BC ：y ＋2＝－5(x －6)，5x ＋y －28＝0．

.01832,63

2

:=---=

y x x y AC 方法二：用斜率． EF 斜率为

)2(2

7

1:27-=-∴?x y AB ，得7x －2y －12＝0． FD 斜率为－5．∴BC ：y －3＝－5(x －5)，得5x ＋y －28＝0． DE 斜率为

)3(3

2

4:32-=+∴?x y AC ，得2x －3y －18＝0， 14．解：(1)由???=--=+-,

012,

082m m n m 解得m ＝1，n ＝7．

(2)易知m ≠0，所以，当

1

82-=/=n m m 时， 即m ＝4，n ≠－2，或m ＝－4，n ≠2时l 1∥l 2．

(3)结合(2)的结果，当m ＝4，n ＝－2，或m ＝－4，n ＝2时，l 1与l 2重合．

测试十三 两条直线的位置关系(二)

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 提示： 5．由已知，

1sin sin |sin |22>+B

A C ，所以，sin 2C ＞sin 2A ＋sin 2

B ．