圆锥曲线的定义考点大全

圆锥曲线定义、标准方程及性质

一．椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a

取值范围：}{a x a x ≤≤-， }{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦

半

径

：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)(2

2x c

a e PF -=，2

12PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1等（注意：涉及焦半径时①

用点P 坐标表示，②第一定义，第二定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +=

=等等。顶点与准线距离、

焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面．．．．积公式．．．

将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角2

1PF F ∠结合起来，建立1

PF +2PF 、1

PF ?

2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：??

?θ

=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双

曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

取值范围：}{a x a x x ≤≥或； 实轴长=a 2，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)

(2

2x c

a e PF -=，a PF PF 221=-；

注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c

a c c a c 2

2+-或 两准线间的距离=c

a 2

2

（2）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a

b

y ±=

若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

（3）特别地当?=时b a 离心率2=

e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等

轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；

（4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1

PF 、

2

PF 、2

1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。

三、抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；

焦点： )0,2

(

p

，通径p AB 2=；

准线： 2

p x -

=； 焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （

2

）

抛

物

线

px

y 22=上的动点可设为P

),2(2

y p

y

或

或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中

考点一 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●典例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.

建立坐标系并写出该双曲线方程. 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。

解：如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.

设双曲线方程为2222b

y a x -=1(a ＞0,b ＞0),则a =21

AA ′=7

又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有

1

7

9

,1

7

11

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

=

-

=

-

b

y

b

y

由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=72

故双曲线方程为

98

49

2

2y

x

-=1.

［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为

2

2

的椭圆C相交于A、B两点，

直线y=

2

1

x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e=

2

2

=

a

c

,得

2

1

2

2

2

=

-

a

b

a

,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.

)

(2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

y

x

x

x

x

y

y

+

+

-

=

-

-

设AB中点为(x0,y0),则k AB=－

2y

x

,又(x0,y0)在直线y=

2

1

x上，y0=

2

1

x0,于是－

2y

x

=

－1,k AB=－1,设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

?

?

?

-

='

='

?

?

?

??

?

?

+

+'

-

=

'

=

-'

'

b

y

x

b

x

y

b

x

y

1

1

1

2

2

1

解得

则

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=

8

9

,

16

92

=

a.

∴所求椭圆C的方程为2

2

9

16

9

8

y

x

+=1,l的方程为y=－x+1.