控制系统的超前校正设计资料
控制系统的超前校正
设计
控制系统的超前校正设计
1 设计原理
本设计使用频域法确定超前校正参数。
首先根据给定的稳态性能指标，确定系统的开环增益K 。因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是调整放大器，使系统满足稳态性能指标。
再利用上一步求得的K ，绘制未校正前系统的伯德图。
在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角εγγσ?+-=0。其中γ为给定的相位裕度指标；0γ为未校正
系统的相位裕度；ε为附加角度。（加ε的原因：超前校正使系统的截止频率
c ω增大，未校正系统的相角一般是较大的负相角，为补偿这里增加的负相角，再加一个正相角ε，即
|
)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥ 其中，c 'ω为校正后的截止频率。当系统剪切率对应的ε取值为：当剪切率为-20dB
时，deg 10~5=ε，剪切率为-40dB 时，deg 15~10=ε，剪切率为-60dB 时，
deg 20~15=ε。）
取σ??=m ，并由m m a ??sin 1sin 1-+=求出a 。即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。
为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上，即
c m 'ωω=，取未校正系统幅值为)(lg 10dB a -时的频率作为校正后系统的截止频率c '
ω。 由T a m 1
=ω计算参数T ，并写出超前校正的传递函数Ts aTs
s G c ++=11)(。
校验指标，绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从ε取值再次调试计算。
2 控制系统的超前校正
2.1 初始状态的分析
由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。根据：
)3.01)(1.01()(s s s K s G ++=
要求系统的静态速度误差系数6≤v K ，
K s s K S sG k s v =++=
=→)3.01)(1.01()(lim 0
可得K=6，则待校正的系统开环函数为
)
3.01)(1.01(6)(s s s s G ++= 上式为最小相位系统，其MATLAB 伯德图如图1所示。
程序：
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);[kg,r]=margin(G)
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);margin(G)
频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能，稳定裕度常用相角裕度γ
和幅值裕度h 来度量。由图1可得：
截止频率
sec /74.3rad c =ω 穿越频率 sec /77.5rad x =ω
相角裕度 deg 2.21=Pm
幅值裕度 dB h 4.96=
显然deg 45≤γ，需要进行超前校正。
用MATLAB 画出其校正前的根轨迹，如图2所示。
其程序：
num=[6]; %描述系统分子多项式
图1 系统校正前的伯德图
den=[0.03,0.4,1,0]; %描述系统分母多项式
rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹
2.2 超前校正分析及计算
2.2.1 使用频域法确定超前环节函数
利用超前网络的相位超前特性，正确的将超前网络的交接频率1/aT和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并选择适当参数a和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。
计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角
σ?+
γ
γ
ε
=
-
取|)
(
)
(
|
|)
(
)
(
|
'
'
0c
c
c
c j
H
j
G
j
H
j
Gω
ω
ω
ω
ε∠
-
∠
≥，由未校正系统的伯德图可知当前未校正系统的剪切率为-40dB，可取deg
15
~
10
=
ε，其中：
deg
45
=
γdeg
2.
21
=
γdeg
10
=
ε
deg
8.
33
=
σ?
取deg
8.
33
=
=σ?
?
m
并由
m
m
a
?
?
sin
1
sin
1
-
+
=求出51
.3
=
a
作45
.5
51
.3
lg
10-
=
-dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec
/
28
.5rad
=
ω，如图3所示。
取sec
/
28
.5
'rad
m
c=
=ω
ω
由
T a
m
1
=
ω，得101
.0
=
T
因此超前传递函数为
s
s
s
G
c101
.0
1
354
.0
1
)
(
51
.3
+
+
=
为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.51倍，否则不能保证稳态误差要求。
图3 deg
10
=
ε时的ω取值
超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为
)
101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++= 因此，已系统校正后程序及伯德图如图4所示。
num=[2.134,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式
den=[0.00303,0.0704,0.501,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式
margin(num,den); %画出伯德图
title('校正后的系统伯德图'); %标题
[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数
kg =3.1130
r =38.0727
wg =10.4196
wc =5.3069 可见deg 45deg 07.38<=γ，因此不满足要求，说明σ?还不够大。试取deg 15=ε
图4 deg 10=ε时校正后的伯德图
ε
γ
γ
σ?+
-
=
其中
deg
45
=
γdeg
2.
21
=
γdeg
15
=
ε
deg
8.
38
=
σ?
取deg
8.
38
=
=σ?
?
m
并由
m
m
a
?
?
sin
1
sin
1
-
+
=求出35
.4
=
a
作39
.6
35
.4
lg
10-
=
-dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec
/
59
.5rad
=
ω，如图5所示，取：
sec
/
59
.5
'rad
m
c=
=ω
ω
由
T a
m
1
=
ω，得085
.0
=
T
因此超前传递函数为
s
s
s
G
c085
.0
1
373
.0
1
)
(
36
.4
+
+
=
为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高4.36倍，否则不能保证稳态误差要求。
超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为
图5 deg
15
=
ε时ω的取值