第1讲基本式、直线的斜率与直线方程

第1讲 基本公式、直线的斜率与直线方程

【2013年高考会这样考】

1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式． 2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)． 3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题．

【复习指导】

1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．

2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．

基础梳理

1．数轴上的基本公式 (1)直线坐标系 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．

(2)向量的有关概念

①位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．

②从点A 到点B 的向量，记作AB →.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB →

的终点，

线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →

|.

③数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量． 2．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式

已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式

已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22

.

3．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角：①定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.

(2)直线的斜率：①定义：直线倾斜角α(当α≠90°时)的正切值叫直线的斜率．常用k 表示，k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：给定两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则过这两点的直线的斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

(其中x 1≠x 2)．

4．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式 y －y 1＝k (x －x 1) 不含垂直于x 轴的直线

斜截式 y ＝kx ＋b

不含垂直于x 轴的直线

两点式

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2)

不含垂直于坐标轴的直线 截距式 x a ＋y b ＝1 (ab ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直

线 一般式

Ax ＋By ＋C ＝0 (A ，B 不同时为零)

平面直角坐标系内的直线都适用

一条规律

直线的倾斜角与斜率的关系：

斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． 两种方法

求直线方程的方法：

(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；

(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

两个注意

(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．

双基自测

1．(人教B 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32

解析 k ＝0－23－0

＝－23.

答案 C

2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B

3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3

4

.则直线l 的方程为( )．

A ．3x ＋4y －14＝0

B ．3x －4y ＋14＝0

C ．4x ＋3y －14＝0

D ．4x －3y ＋14＝0

解析 由y －5＝－3

4

(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.

答案 A

4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0 D ．x －y ＋3＝0 解析 由两点式得：y －31－3＝x －0

2－0

，即x ＋y －3＝0.

答案 B 5．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.

由于A 、B 、C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.

答案 4

考向一 直线的倾斜角与斜率

【例1】?若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．

A.????π6，π3

B.????π6，π2

C.????π3，π2

D.???

?π3，π2 [审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．

解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为????

π6，π2.

答案 B

求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直

角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．

【训练1】 (2012·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．

A ．－1＜k ＜15

B ．k ＞1或k ＜1

2

C ．k ＞15或k ＜1

D ．k ＞1

2

或k ＜－1

解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2

k

，

令－3＜1－2

k

＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．

答案 D

考向二 求直线的方程

【例2】?求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－1

4

；

(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.

[审题视点] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．

解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，

∴l 的方程为y ＝2

3

x ，即2x －3y ＝0.

若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y

a

＝1，

∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2

a

＝1，

∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，

综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，

令y ＝0，得x ＝3－2

k

，令x ＝0，得y ＝2－3k ，

由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝2

3

，

∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝2

3

(x －3)，

即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.

(2)设所求直线的斜率为k ，依题意

k ＝－14×3＝－34

.

又直线经过点A (－1，－3)，

因此所求直线方程为y ＋3＝－3

4

(x ＋1)，

即3x ＋4y ＋15＝0.

(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组{ x ＝1，2x ＋y －6＝0， 求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．

设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组{ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，

得两直线交点为?

??

x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2

k ＋2. (k ≠－2，否则与已知直线平行)．

则B 点坐标为? ??

?

?k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.

由已知? ????k ＋7k ＋2－12＋? ??

?

?4k －2k ＋2＋12＝52，

解得k ＝－34，∴y ＋1＝－3

4

(x －1)，

即3x ＋4y ＋1＝0.

综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用

条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

【训练2】 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1

3

的直线方程．

(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意

k ＝－4×13＝－4

3

.

又直线经过点A (1,3)，

因此所求直线方程为y －3＝－4

3

(x －1)，

即4x ＋3y －13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y

a ＝1，

将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－1

2

，

此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.

当直线过原点时，斜率k ＝－2

5

，

直线方程为y ＝－2

5

x ，即2x ＋5y ＝0，

综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.

考向三 直线方程的应用

【例3】?已知直线

l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．

[审题视点] 设直线l 的方程为截距式，利用基本不等式可求．

解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y

b

＝1，

∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2

b

＝1.

∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab

，即ab ≥24.

∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2

b

，即a ＝6，b ＝4.

△ABO 的面积最小，最小值为12.

此时直线l 的方程为：x 6＋y

4

＝1.

即2x ＋3y －12＝0.

求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方

程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k 的符号．

【训练3】 在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．

解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0得B (0,2－3k )，

令y ＝0得A ???

?3－2

k ，0， ∴l 在两轴上的截距之和为

2－3k ＋3－2k

＝5＋????(－3k )＋????－2k ≥5＋26， (当且仅当k ＝－6

3

时，等号成立)，

∴k ＝－6

3

时，l 在两轴上截距之和最小，

此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.

难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题

从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错．

【示例1】? (2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4

e x ＋1

上，α为

曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )．

A.????0，π4

B.????π4，π2

C.????π2，3π4

D.????3π

4，π

【示例2】? (2011·济南一模)直线l 过点(－2,0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )．

A.()－22，22 B ．(－2，2)

C.???

?－24，2

4 D.????－18，18