高中物理竞赛讲义电磁感应

电磁感应

【拓展知识】

1．楞次定律的推广 （1）阻碍原磁通量的变化； （2）阻碍（导体的）相对运动； （3）阻碍原电流的变化。 2.感应电场与感应电动势

磁感应强度发生变化时，在磁场所在处及周围的空间范围内，将激发感应电场。感应电场不同于静电场：

（1）它不是电荷激发的，而是由变化的磁场所激发；

（2）它的电场线是闭合的，没有起止点。而静电场的电场线是从正电荷出发终止于负电荷；

（3）它对电荷的作用力不是保守力。

如果变化的磁场区域是一个半径为R 的圆形，则半径为r 的回路上各点的感应电场的场强大小为

????

??????≤???=.,2;,22R r t

B r R R r t

B

r E φ

方向沿该点的切线方向。感应电场作用于单位电荷上的电场力所做的功就是感应电动势。

【试题赏析】

1．如图所示，在一无限长密绕螺线管中，其磁感应强度随时间线性变化（

t

B

??=常数），求螺线管内横截面上直线段MN 的感应电动势。已知圆心O 到MN 的距离为h 、MN 的长为L 以及

t

B

??的大小。

解:求感生电动势有两种方法。 (1)

根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位

正电荷沿此段运动时所做的功。在MN 上任选一小段l ?，O 点到l ?距离为r ，l ?处

的感E ρ

如图4-4-8所示，与l ?的夹角为θ，感生电场沿l ?移动单位正电荷所做的功为

θ?=?cos l E A 感， 而

t B r E ??=

2感则

θ????=

?cos 2l t B

r A

而 h r =θcos

故 l

t B h A ???=?2

把MN 上所有l ?的电动势相加，

t B

hl l t B ??=???=ε∑

2121

(2)用法拉第定律求解。连接OM ，ON ，则封闭回路三角形OMN 的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。

lhB

BS 21

==Φ t B hl

t ??=??Φ=ε21

OM 和ON 上各点的感生电场感E ρ

均各自与OM 和ON 垂直，单位正电荷OM 和ON

上移动时，感生电场的功为零，故OM 和ON 上的感生电动势为零，封闭回路OMNO 的电动势就是MN 上的电动势。

电动势的方向可由楞次定律确定。 【总结反思】理解两种电动势的产生机理 【变式训练】

图4-4-8

两根长度相度、材料相同、电阻分别为R 和2R 的细导线，围成一直径为D 的圆环，P 、Q 为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内，存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大，变化率为恒定值b 。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN 为圆环上的两点，MN 间的弧长为半圆弧PMNQ 的一半。试求这两点间的电压N M U U -。

分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不同，但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。

解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为

b D t E 241

π=??Φ=

此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为

R R E I 2+=

M 、N 两点的电压

??? ?

?

+-=

-2241R R I E U U N M 由以上各式，可得

b D U U N M 248

1

π-

=- 可见，M 点电势比N 点低

2、如图所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨MN 、M'N'和OP 、O'P'间距都是l ，二者之间固定有两组竖直半圆形轨道PQM 和P'Q'M'，两轨道间距也均为l ，且PQM 和P'Q'M'的竖直高度均为4R ，两组半圆形轨道的半径均为R ．轨道的QQ'端、MM'端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定．将一质量为m 的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端OO'位置，金属杆在与水平成θ角斜向上的恒

力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好．当金属杆通过4R 的

图4-4-9

距离运动到导轨末端PP'位置时其速度大小v p =4gR ．金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计．

（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ，求金属杆所受恒力F 的大小；

（2）金属杆运动到PP'位置时撤去恒力F ，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道PQ 和P'Q'，又在对接狭缝Q 和Q'处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道QM 和Q'M'的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM'时，它对轨道作用力的大小；

（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为r ，导轨处于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中．金属杆由第二组半圆轨道的最高位置MM'处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行．求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离．

（1）金属杆在恒定外力F 作用下，沿下层导轨以加速度a 做匀加速直线运动，根据运动学公式有v P 2=2as …………………………………………1分

将v P =4gR ，s =4R 代入，可解得a =2g …………………………………1分 根据牛顿第二定律，金属杆沿下层导轨运动时，在竖直方向和水平方向分别有

mg －N －F sin θ=0，F cos θ－μN =ma ………………………………2分 解得 F=θμθμsin cos )2(++mg

………………………………1分

（2）设金属杆从PP ′位置运动到轨道最高位置MM ′时的速度为v 1，

此过程根据机械能守恒定律有22111

422P mv mgR mv =+…………2分

解得 18v gR =1分 设金属杆在MM ′位置所受轨道压力为F M ，

根据牛顿第二定律有2

1M v F mg m R

+=……………………2分

解得 7M F mg =………………………………1分

由牛顿第三定律可知，金属杆对轨道压力的大小7M

F mg '=………1分 （3）

解法1：设金属杆在上层导轨由速度v 1减速至速度为零的过程中，磁场给金属杆的平均安培力为F ，则F BIl =。

设在t ?时间内，金属杆的速度变化量为v ?，由动量定理BIl t m v ?=?， 设金属杆在上层水平金属导轨上滑行的最大距离为x ，则Blx

E t t

φ?=

=

??，E Blx I r tr

=

=? 22Blx B l x

BIl t B l t mv tr r

?=?==?1，将18v gR =代入，解得22mr gR x = 解法2：

设在一段短暂的时间t ?内，金属杆的速度变化量为v ?，由动量定理 BIl t m v ?=?，即Bl q m v ?=?

对于整个滑动过程取和，设通过金属杆的总电量为Q ，则

M BlQ mv =，22M m gR

mv Q Bl =

=， 设金属杆在上层水平金属导轨上滑行的最大距离为s ，则

Bls

Q r r ?Φ==

解得 22mr gR

s =

总结反思

（1）直线加速过程，受到拉力、重力、支持力和滑动摩擦力，对直线加速过程运用动能定理列式求解； （2）导体棒沿着圆弧型光滑轨道上滑过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解出最高点速度，然后根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解出导体棒所受压力，最后根据牛顿第三定律求解棒对轨道的压力；

（3）对减速过程运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、动量定理列式后联立求解．

本题关键是明确导体棒运动过程中的能量变化情况，然后多次运用动能定理、机械能守恒定律、动量定理列式求解．

【变式训练】如图，光滑斜面的倾角α= 30°，在斜面上放置一矩形线框abcd ，ab 边的边长l 1 = l m ，bc 边的边长l 2= 0.6 m ，线框的质量m = 1 kg ，电阻R = 0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M = 2 kg ，斜面上ef 线（ef ∥gh ）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B = 0.5 T ，如果线框从静止开始运动，进入磁

场最初一段时间是匀速的，ef 线和gh 的距离s = 11.4 m ，（取g = 10.4m/s 2），求：

（1）线框进入磁场前重物M 的加速度； （2）线框进入磁场时匀速运动的速度v ；

（3）ab 边由静止开始到运动到gh 线处所用的时间t ； （4）ab 边运动到gh 线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh 线的整个过程中产生的焦耳热。

【解析】（1）线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力F T ，斜面的支持力和线框重力，重物M 受到重力和拉力F T 。对线框，由牛顿第二定律得F T – mg sin α= ma .

联立解得线框进入磁场前重物M 的加速度m

M mg Mg a +-=α

sin =5m/s 2

（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动 所以重物受力平衡Mg = F T ′，

线框abcd 受力平衡F T ′= mg sin α+ F A

ab 边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E = Bl 1v

形成的感应电流R

v Bl R E I 1==

受到的安培力1BIl F A = 联立上述各式得，Mg = mg sin α+R

v

l B 212 代入数据解得v =6 m/s

（3）线框abcd 进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh 线，仍做匀加速直线运动。

进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a = 5 m/s 2

该阶段运动时间为s s a v t 2.15

6

1===

进磁场过程中匀速运动时间s s v l t 1.06

6.022===

线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a = 5m/s 2

2

3322

1at vt l s +

=- 解得：t 3 =1.2 s

因此ab 边由静止开始运动到gh 线所用的时间为t = t 1+t 2+t 3=2.5s

（4）线框ab 边运动到gh 处的速度v ′=v + at 3 = 6 m/s+5×1.2 m/s=12 m/s 整个运动过程产生的焦耳热Q = F A l 2 =（Mg – mg sin θ）l 2 = 9 J

【点评】考查的知识点主要有牛顿定律、物体平衡条件、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力、运动学公式、能量守恒定律等。重点考查根据题述的物理情景综合运用知识能力、分析推理能力、运用数学知识解决物理问题的能力。

电磁感应中的能量问题

电磁感应的过程是的能的转化和守恒的过程，导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产生感应电流，机械能或其他形式的能便转化为电能；感应电流做功，又可使电能转化为机械能或电阻的内能等。电磁感应的过程总是伴随着能量的转化，因此在分析问题时，应牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互的转化，然后借助于动能定理或能量守恒定律等规律求解。需要说明的是克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。

解决这类问题的基本方法是：

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定电动势的大小和方向； (2)画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率的表达式；

(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程。

【例4】如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为 R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略.初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触.

(1)求初始时刻导体棒受到的安培力。

(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧

的弹性势能为E p ，则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少？

(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？

解析：导体棒以初速度υ0做切割磁感线运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的作用安培力做功使系统机械能减少，最终将全部机械能转化为电阻R 上产生的焦耳热．由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即此时弹簧处于初始的原长状态．

(1)初始时刻棒中感应电动势Ｅ＝BLv 0 ①

棒中感应电流E

I=

R

② 作用于棒上的安培力F=BIL ③ 联立①②③，得R

v L B F 0

22

，安培力方向：水平向左

(2)由功和能的关系，得安培力做功21P 01W =E -mv 2

电阻R 上产生的焦耳热12

2

10P Q =

mv -E (3)由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置12

20Q=

mv 方法总结：用能量转化观点研究电磁感应问题，常是导体（或线圈）稳定运动（匀速直线运动或匀迹速直线运动），对应的受力特点是合外力为零或保持不变，能量转化过程通常是机械能转化为电阻的内能和摩擦生热（在有摩擦力的条件下）。

如图所示，de 和fg 是两根足够长且固定在竖直方向上的光滑金属导轨，

导轨间距 离为L 、电阻忽略不计。在导轨的上端接电动势为E 、内阻为r 的电源。一质量为

m 、电阻为R 的导体棒以ab 水平放置于导轨下端e 、g 处，并与导轨始终接触良好。导体棒

与金属导轨、电源、开关构成闭合回路，整个装置所处平面与水平匀强磁场垂直，磁场的 磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外。已知接通开关S 后，导体棒ab 由静止开始向上加速 运动。求：（1）导体棒ab 刚开始向上运动时的加速度以及导体棒ab 所能达到的最大速度； （2）导体棒ab 达到最大速度后电源的输出功率；

（3）分析导体棒ab 达到最大速度后的一段时间△t 内，整个同路中能量是怎样转化的?

并证明能量守恒。 24．（20分）解：（1） 导体棒ab 刚开始运动时的速度为零，由欧姆定律

r

R E

I +=

…………1分 导体棒ab 所受安培力

BIL F A =

…………1分

由牛顿第二定律ma mg F A =- …………1分

导体棒ab 开始运动时的加速度g r R m ELB

a -+=

)

(

…………1分

设导体棒ab 向上运动的最大速度为m ax v ，

当导体棒所受重力与安培力相等时，达到最大速度，回路电流为'I

mg LB I =' …………2分 BL

mg

I =

' 由欧姆定律r

R ELv E I +-=

max

' (2)

分 得

2

2max )

(L B r R mg EBL v +-=

…………2分

（2）（4分）电源的输出功率r I EI P 2

''-=…………2分 r BL

mg BL Emg P 2

)(-=

…………2分

（3）（6分）电源的电能转化为导体棒的机械能和电路中产生的焦耳热之和 …………1分

t ?时间内：电源的内能t BL

mgE

t E I E ?=

?=?'电

…………1分 导体棒ab 增加的机械能t L

B r R mg EBL mg t mgv E ?+-=?=?2

2max )

(机

…………1分

电路中产生的焦耳热t r R L

B g m t r R I Q ?+=?+=)()('222

22

△t 时间内，导体棒ab 增加的机械能与电路中产生的焦耳热之和为E '?

E E Q '?=?+机

整理得t BL

mgE

E ?=

?' …………1分

由此得到‘E E ?=?电，回路另能量定恒