高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、选择题
1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）
是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (
2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）
0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在
且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）
) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞
4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）
(A)x
x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2
x )x (f = (D)1x )x (f 2+=
5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值
6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）
(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]
5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）
(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，
8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3
x 3sin3x asinx f(x )π=+
=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)
3 π
(D) 0
10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）
]
5 4
, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (---
11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）
的极值
必定不是的极值点为必定为曲线的驻点
， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000
二、填空题 1、__________________e
y 82
x
的凸区间是曲线-=．
2、______________
2 x y x 的极小值点是函数=．
3、的凸区间为曲线
x 3 e y x
+= _____________________ ．
4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．
5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．
6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．
7、函数 x sin ln y =在 [
6
5
, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数?=。 11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为 ． 12、x x y -= 的单调减区间是 ． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,
2 π
] 上的最大值为 ． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是 ．
16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题
1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。
2、求极限 )
1x x
x ln 1(
lim 1
x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数0k >，试判别函数()ln x
f x x k e
=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 2
3x y 2
3+--= 的单调区间和极值．
。 6．)
1 - e 1
x 1
(lim x 0
x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线x
x
y ln =
的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x x e y -= 图形的凹凸区间及拐点．
11、的拐点求曲线 3
{ 3
2t
t y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．
13、[]上的最大值、最小值，在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x ) 2+= 15、讨论函数x
x ln )x (f =
的单调性和凹凸性． 16、 求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．
17. 求函数282
4
+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x x y 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．
19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．
四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)
1．证明：当x )2
,0(π
∈时，(sin )(cos )x x x > ．
2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，
当． 3、证明： 2
cot arctan π
=
+x arc x ．
4、设 )x ( ? 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ?，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0?=’
． 5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，
b
b
a b a ln a b a -<<- ． 6、 证明：当0>x 时，x
x
x +>+1arctan )1ln(．
7、 x )x 1ln(x
1 x
, 0 x <+<+>时证明：当． 8、证明：当x>0时，有 1+
x 1 x
2 1
+> ． 9、证明当x sin 6
x x 0x 3
≤-≥时，．
10、 证明：若 0 x >，则x
1 x
)x 1 (n l +>+ ． 11、)1ln(2
1 2
x x x x +<->时，证明：当
12、证明：多项式
13)(3+-=x x x f 在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．
13、证明当
x 13 x 2 1x -
>>时，. 14、x cos x sin x 2
x 0 >π
<<时证明：当
答案： 一、选择
1、A
2、D
3、A
4、D
5、D
6、B
7、A
8、C
9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[2,2]-
2、1ln 2x =-
3、()(),33,2-∞-?--
4、2
5、39,22??- ???
6、2,1
7、2π
8、1 9、1ln 2-
10、1ln 2
-
11、5-+12、1x 4
<
13、-14
14、36
+π
15、）上单调递减，在（3
2
1-
16、2
9,23-
17、
)2ln 2
1
-∞-，（ 三、计算题
1、解：令231293(3)(1)0,y x x x x '=-+=--=可得驻点：121,3x x == ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞ ，单调递减区间为(1,3) ……5分 极大值为1|0,x y ==极小值3|4x y ==- ……7分
2、解：原式 ＝1
111ln ln ln 1
lim
lim lim 1(1)ln ln 12ln 1x x x x x x x x x x x x x x x
→→→----===--+-+-
……6分
3、解：令26242(32)(1)0,y x x x x '=+-=-+=可得驻点：122
1,3
x x =-= ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为2(,1)(,)3
-∞-+∞ ，单调递减区间为2
(1,)3- ……4分
又令1220y x ''=+=得31
6
x =-. ……5分
所以凸区间为1(,)6-∞-,凹区间为1(,)6-+∞.拐点为119
(,3)627
-. ……7分
4、解： 11
()f x x e
'=- ……1分
当(0,)x e ∈时,()0f x '>,所以()f x 在[0,]e 上单调增加; ……2分 又()0f e k =>,x 充分接近于0时, ()0f e <, ……3分 故()f x 在(0,)e 内有且仅有一个零点. ……4分 同理, ()f x 在(,)e +∞内也有且仅有一个零点. ……6分
5、解：解23363(2)(1)0,y x x x x '=--=-+=可得驻点：121,2x x =-= ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(,1)(2,)-∞-+∞ ，单调递减区间为(1,2)- ……5分 极大值为127
|,2
x y =-=极小值2|0x y == ……7分
6、解： 原式＝01
lim x x x e x xe x →--- ……2分
＝01
lim 1
x x x x e xe e →-+- ……4分
＝01
lim 22
x x x x e xe e →=+ ……6分
7、解 ： 当x 单调增加时，函数()54g x x =-单调减少，
所以函数()y x = ……2分
在区间[1,1]-函数()y x =
所以当1x =-时，函数取得最大值max 3y y ==； ……4分 所以当1x =时，函数取得最小值min 1y y ==。 ……6分
8、解 ： '2
1ln ,x y x
-=
令'
0y =，于是x e =。 当0x e <<时，'0y >，函数单调增加；
当e x <时，'0y <，函数单调减少。 ……2分 所以函数的单调增区间为：(0,)e ；
函数的单调减区间为：(,)e +∞。 ……4分
而 ''
3
2ln 3,x y x
-=令''
0y =，于是3
2x e =。 ……5分 函数的凸区间为：32(0,)e ；函数的凹区间为：32
(,)e +∞。 ……6分
9、解： 因为
'26242(1)(32)y x x x x =+-=+-，
所以令'0,y = 得到122
1,3x x =-=。 ……2分
函数的单调增区间为： 2
(,1),(,)
3-∞-+∞； 函数的单调减区间为： 2
(1,)3
-。 ……4分
又由于
''122y x =+，
于是函数的凸区间为：1
(,);6-∞-
函数的凹区间为：1
(,)6
-+∞。 ……6分
10、解：因为：
'''
,
(
2)x x x
y e x e y x e ---=-=-， (2)
分
令
'''0,0y y ==，得到： 121, 2y y ==。 所以函数的单调增区间为：(,1)-∞，
函数的单调减区间为：(1,)+∞。 ……4分 函数的凸区间为：(,2)-∞，
函数的凹区间为：(2,)+∞。函数的拐点为：2(2,2)e -。 ……6分
11、解：322224)1(3 ,233t t dx y d t t dx dy -=+= ……3分 令04)
1(3 3
222=-=t
t dx y d 得 1,121=-=t t 从而得曲线的可能拐点为 )4 ,1( )2 ,1(和-，又二阶导数在该两点左右异号。所以 )4 ,1( )2 ,1(和- 为曲线的
拐点 ……6分
12、解： 令.3,1 x ,0)3)(1(39123'212===--=+-=x x x x x y 得 令 .2 ,0126''3==-=x x y 得 ……3 分 列表如下
……7分
13、解： 令 3 ]4,1[10)3)(1(618126'212=?-==-+=--=x x x x x x y （舍去），，得驻点 ……3分 比较函数在端点和驻点处的函数值，得[]上的最大值、最小值，在函数 41 271862 23+--=x x x y 为
32,27m ax m in =-=y y ……6分
14、解： 令0)1()
1(2)('',012)('2
222=+-==+=
x x x f x x x f ， 得1,0,1321==-=x x x ， …….3分
15、解： 3
23
12,0ln 3)('',,0
ln 1)('e x x
x x f e x x x x f ==+-===-=得得 …….6分
16、解： 2
222)
1()
1(2'',12'x x y x x y +-=+=，拐点为 )2ln ,1(),2ln ,1(- ……4分 凹区间为),,1()1,(+∞--∞和 凸区间为（-1，1） ……6分
所以，函数在[-1，3]上的驻点为2,0==x x 。 ……3分 当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 ……5分 而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 ……7分 所以函数的最大值为11，最小值为-14 ……8分
18、解：由于 )1)(1(3332
-+=-='x x x y ……2分
所以，函数在[-2，0]上的驻点为1-=x 。 ……3分 当x=-1时，y=3 ，而x=--2时，y=--1, x=0时，y=1 ……5分 所以函数的最大值为3，最小值为-1 ……6分
19、解：根据已知条件得2
2
21|(32)|1240 dy |323dx 10x x x dy x ax b a b dx a b a b c ===?=++=++=??
?
=++=-??
+++=?
??
…… 4分
解上面方程组得??
?
??==-=203c b a ……7分
四、综合题
（1）证：令 1
()s i n c o s s i n 22
F x x x x x x =-=
-，(0,)2
x π
∈
显然()F x 在区间(0,)2
π
上连续的，可导的。并且(0)0.F = ……2分
由于
'()1c o s 2F x x =- ，
对于任意的(0,)2
x π
∈，'()0F x >。
所以函数()F x 在区间(0,)2π
上单调增函数。 ……4分
于是对于任意的(0,)2x π
∈，有
()(0)0F x F >=，
即为：
s i n c o s x x x > ……6分
（2）证： 令 )0(0)1ln()(',0)0(,1)1ln(1)(222>>++==+-+++=x x x x f f x x x x x f 则
（3）证： 令 0)(',cot arctan )(=+=x f x arc x x f 则 ……4分 所以 f (x) 恒为常数， 又2
4
4
)1(π
π
π
=
+
=f ，从而2
cot arctan )(π
=
+=x arc x x f ……6分
（4）证： 因为)x ( ? 在 [0,1] 上可导，所以f(x)＝(x －1))x ( ?在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。…… 4分 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x 0∈(0，1)，使)0(0
1)
0()1()('0?=--=f f x f ……8分
（5）证：设x x f ln )(=，则x
x f 1
)(=
' ……1分 对b a ln ln -用拉格朗日中值定理得 ))((ln ln b a f b a -'=-ξ，其中),(a b ∈ξ ……4分
而b
b a b a b a f a b a -<-=-'<-ξξ))((，所以b b
a b a ln a b a -<<- ……6分
（6）证：令x x x x f arctan )1ln()1()(-++= …… 1分 则2
11
1)1ln()(x
x x f +-
++=' 。 …… 3分 因为当0>x 时，0)1ln(11
1)1ln()(2
>+>+-
++='x x
x x f ， …… 4分 所以)(x f 在),0(+∞上是严格单调连续递增函数，并且0)0(=f ， …… 5分 故当0>x 时，0)(>x f ，即x
x
x +>+1arctan )1ln(。 …… 6分
（7）证：令x
x f x x f +=
'+=11
)(),1ln()( …… 1分 对1ln )1ln()(-+=x x f 利用柯西中值定理存在
即ξ+=+1)1ln(x
x …… 4分
又由于)0x ，（∈
ξ，x x x x <+<+ξ11，所以x x <+<+)1ln(x
1 x …… 6分
（8）证：令21
()(1)(1)2
f x x x =+-+
()0,(0)2
x
f x x '=>> ……2分
故0x >时,()(0)0f x f >=即21
(1)(1),(0)2
x x x +>+> ……5分
从而1
1 2
x +> ……6分
（9）证：令3
()sin 6
x f x x x =--
因为22222()1cos 2sin 2()0,(0)22222x x x x x f x x x '=--=-<-=< ……4分 故0x ≥时,()(0)0f x f ≤=,即3
sin 6
x x x -≤ ……6分
（10）证： 令
()ln(1),(0)1x
F x x x x
=+-
≥+ ……2分 则()F x 在0x ≥的范围中是可导的 ，且 (0)0F =。
'22
11()1(1)(1)x
F x x x x =
-=
+++， 对于任意的0x >，有'()0F x >。
所以函数()F x 在0x ≥的范围中是单调上升的。 ……4分
于是，对于任意的0x >，有
()(0)0F x F >=，
即：
ln(1)1x
x x
+>
+。 ……6分
（11）证：令 2
()l n (
1),2
x F x x x =+-+ (1)x ≥
且有：1
(1)ln 202
F =-
>。 而且对于任意的1x >，2
'
1()10,11x F x x x x
=
-+=>++ ……4分 所以对于任意的1x >，
2
()ln(1)(1)02
x F x x x F =+-+>>，
于是原不等式成立。 ……6分
（12）证：假设函数()f x 在区间[0,1]上至少存 在两个不同的零点121
2,()x x x x <。 ……2分
函数()f x 在区间[0,1]上连续，可导。 于是有
12()()0f x f x ==。 ……4分
根据罗尔中值定理，则存在一点12(,)[0,1]x x η∈?，
使得
'2()3(1)0f ηη=-=，
显然这是不可能的。所以假设不成立。 ……6分
（13）证： 令0111)('1 x , 13 2f(x ) 22
32>-=-=>+
-=x x x
x x f x x 时则当 ……4分 所以 当x>1 时，f(x)>f(1)=0 , 即有
x 1
3 x 2 1x -
>>时， ……6分
（14）证： 令)2
0(02cos 1)(',0)0(,cos sin )(π
<
<>-==-=x x x f f x x x x f 则 ……3分
所以0)0()(, 2
0 =><
， 即x x x x cos sin 2 >< <时当π …….6分 关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴ 第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x） 的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】 三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解 闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解 导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。 5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--； 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取 比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000, 第二章 导数与微分 单元测试题 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（ ） 导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在) 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()() 00,x f x f y x x x -=?-=?则()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量 增量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极 限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0 x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限 题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数 三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a 2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的 第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin = 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标. 第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b 第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-； 微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整 【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 ) (1 )(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax关于导数的29个典型习题
高数第三章一元函数的导数和微分
导数与微分测试题及答案(一)
导数与微分练习题答案
高等数学第2章 导数与微分
第二章 导数与微分(测试题)
导数与微分习题(基础题)
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高等数学考研大总结之四导数与微分
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第三章 导数与微分 习题及答案
导数及其应用典型例题
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版
微积分典型例题和重点知识点
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