高数下册答案

河北工程大学高等数学同步练习

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念

1. 求定义域 (1){(x,y )

1

xy e e

≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.

2.求极限

(1)00

1)2x y →→+=;

(2)0 ;

(3)22

2

2200

2sin

2lim 0()xy

x y x y x y e →→+=+; (4)20

sin cos lim

.2x y xy xy

x xy →→=.

3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值

(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222

2222

01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在;

(2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y

,极限为0，不存在 ;

(3)2222222211

00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .

4.因当220x y +≠时，

22

2

2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0

lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.

第二节 偏导数

1. 求下列函数的偏导数

(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2

2()

1()x y x y --+-.

2.

6

π.

3.11(11x

y =+-==. 4.

1

2

2222

2222222222

2222222222

2222

1

ln()

ln(),

2

12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y

z x y x x y x x y x y z y x y x y -

=+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+

5.

22

2202

01

0sin

,

lim (,)0(0,0),1sin

00lim 1

0sin 0

0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x

f y y y

→→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续.

（0，0），不存在，

.

第三节 全微分

1. 求下列函数的全微分 解：(1)

2

1z z dz dx dy x y x dx ??=+??-==+

.

(2)

1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y z

yzx dx zx xdy yx xdz -???=

++???=++.

2.解：

3322

22222200

3333

2222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 1

1

x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x y

x f f x y x y x x y x y y x y z x y →→?→?→+≤=+≤+→→+++==+??+--+??+====???+??+??+??+?-???==?+?.

所以连续.

两个偏导数都存在，为22222

2211(0,0)0,.x y x y x y

x y x y x y y x ρρ→→-????+??=?+?-?+??+?=→==

≠当沿时，故不可微