2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ?ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )

A. {?1,0，1}

B. {?2,?1,1}

C. {?2,0，1}

D. {?2,?1,0，1} 2. 设z ?是复数z 的共轭复数，若z ??i =1+i ，则z ?z ?

=( )

A. √2

B. 2

C. 1

D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A. y =xsinx

B. y =xlnx

C. y =x ?e x ?1

e x +1 D. y =xln(√x 2+1?x)

4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )

A. 28

3

B. 12

C. 38

3

D. 13

5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. 43

B. 2

C. 8

3 D. 103

6. 已知函数f(x)=2cos 2x ?cos (2x ?π3)，则下列结论正确的个数是( )

①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π

3]上单调递增； ③函数f(x)在[0,π

2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π

3对称．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π

3，M 、N 分别为BC 、AM 的中

点，则CN ????? ?AB

????? = ( )

A. ?2

B. ?3

4 C. ?54

D. 5

4

8. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，

票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )

A. 1

3

B. 1

2

C. 2

5

D. 3

4

9. 已知函数f(x)=log 1

2

(x 2?ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,1]

B. [?1

2,1]

C. (?1

2,1]

D. (?1

2,+∞)

10. 若x ，y 满足约束条件{4x ?3y ?6≤0

2x ?2y +1≥0x +2y ?1≥0

，则z =|x ?y +1|的最大值为( )

A. 2

B. 24

11

C. 28

11

D. 3

11. 如图所示，在三棱锥P ?ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在

平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P ?

ABC 外接球的表面积为( )

A. 9π

B. 10π

C. 12π

D. 14π

12. 已知函数f(x)=x+a

ax?1(x >0)，若a =√1?x 2>0，则f(x)的取值范围是( )

A. [?√2?1,?1)

B. (?2√2,?1)

C. [?2√2,?1)

D. (?√2,0)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长

被抽中的概率为______．

14. 已知函数f(x)=x 3?5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则

a +

b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则y

x +9x

2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：

x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C

于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．

(1)求角A ；

(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP

????? ?CP ????? =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．

18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11

日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产

A B

说明理由；

(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电

商平台有关；

则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？

，n=a+b+c+d．

附：K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π

，E为CD中点．将△ADE沿AE

3

折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P?ABCE．

(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；

(2)求点B到平面PEC的距离．

20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．

(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；

(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1

|QS|2+1

|QT|2

为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数f(x)=ax+1

x ，g(x)=e

x

x

?1．

(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；

(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθ

y=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极

点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π

4

)+√2=0，P为直线l 上的任意一点

(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．

(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．

23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x?1|?a．

(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足1

2m+n +2

m+3n

=s时，求3m+4n

的最小值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：∵A ={?1,0，1}，B ={0,?2}， ∴A ∪B ={?2,?1,0，1}． 故选：D ．

可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B

解析：解：∵z ?

?i =1+i ， ∴z ?

=

1+i i

=

(1+i)(?i)?i 2

=1?i ，

则z ?z ?

=|z|2=(√2)2=2． 故选：B ．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ?z ?

=|z|2求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(?x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y =x ?

e x ?1e x +1

，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)?

e ?x ?1e ?x +1

=x ?e x ?1

e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函

数；

对于D ，y =2+1?x)，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1?x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数； 故选：B ．

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．

本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D

解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2， ∴{a 1q +a 1q 2=4

a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =1

3， ∴S 3=

9(1?133)

1?13

=13．

故选：D ．

利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =1

3，由此能求出S 3的值．

本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

5.答案：C

解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P?ABCD，

体积V=1

3×2×2√2×√2=8

3

．

故选：C．

根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．

6.答案：B

解析：解：f(x)=2cos2x?cos(2x?π

3)=cos2x+1?1

2

cos2x?√3

2

sin2x=1

2

cos2x?√3

2

sin2x+1=

cos(2x+π

3

)+1，

∴T=2π

2

=π，①对；

由2kπ?π≤2x+π

3≤2kπ，得x∈[kπ?2π

3

,kπ?π

6

]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ?

2π3,kπ?π

6

]，②错；

∵x∈[0,π

2]时，2x+π

3

∈[π

3

,4π

3

]，cos(2x+π

3

)∈[?1,1

2

]，函数f(x)在[0,π

2

]上的最大值为3

2

，③错，

∵2x+π

3=kπ，x=kπ

2

?π

6

，k∈Z，④对，

故选：B．

先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π

3

)+1，

根据T=2π

2

=π，可判断①；

先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；

可求f(x)在在[0,π

2

]上的最大值，可以判断③；

可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．

本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．

解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π

3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN ????? ?AB ????? =12

(CA ????? +CM ?????? )?AB ????? =12(?AC ????? +1

2CB ????? )?AB ????? =12[?AC ????? +1

2(AB ????? ?AC ????? )]?AB ????? =12(12AB ????? ?3

2AC ????? )?AB ????? =1AB ????? 2?3AB ????? ?AC ????? =

14×22?34×2×3×12

=?5

4

．

故选：C ．

根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．

本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C

解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =20

50=2

5．

故选：C ．

由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．

本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B

解析：解：∵y =log 12

x 在(0,+∞)上为减函数， ∴y =x 2?ax +a 在(1

2,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{?

?a 2≤1

2

(12)

2?1

2a +a ≥0

，解得?1

2≤a ≤1．

故选：B ．

由复合函数的单调性法则可知y =x 2?ax +a 在(1

2,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{??a

2≤1

2

(12)2

?12a +a ≥0

，解不等式组即可得到答案．

本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C

解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x ?y +1，得y =x +1?t 表示，斜率为1纵截距为1?t 的一组平行直线，

{4x ?3y +6=0x +2y ?1=0

?C(1511,?211)；

平移直线y =x +1?t ，当直线y =x +1?t 经过点C(1511,?2

11)时，直线y =x +1?t 的截距最小， 此时t max =1511?(?211)+1=28

11，

当直线y =x +1?t 与AB 重合时，直线y =x +1?t 的截距最大，A(0,1

2)

此时t min =0?12+1=1

2，

∴z =|x ?y +1|的取值范围是：[12,28

11]. 故z =|x ?y +1|的最大值为28

11．

故选：C ．

作出不等式组对应的平面区域，令t =x ?y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D

解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，

所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB ?MNC ，

则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点， △PAB 中，由正弦定理可得，r =√5

2sin π4

=

√10

2

， 故R =(√102)=√142，

故S =4π×

144

=14π

故选：D ．

结合已知构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

12.答案：C

解析：解：由a =√1?x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π

2)， 则y =sinα+cosαsin αcos α?1

，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π

4

)∈(1,√2],sinαcosα=t 2?12

,

∴1

y =t 2?32t =t

2?3

2t 在t ∈(1,√2]上为增函数，

∴y =

2t

t?3

在t ∈(1,√2]上为减函数，

∴y ∈[?2√2,?1)．

故选：C ．

依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =

sinα+cosαsin αcos α?1

，再令t =sinα+cosα∈

(1,√2]，可得y =2t

t?3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围． 本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．

13.答案：5

53

解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为5

53， 故答案为：5

53．

根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论． 本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2

解析：解：由f(x)=x 3?5x +a ，得f′(x)=3x 2?5， ∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，

设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 02

?5=?2，

∴x 0=1或x 0=?1，∴y 0=a ?4或y 0=a +4， 即切点坐标为(1,a ?4)或(?1,a +4)， 代入直线中，得a +b =2或a +b =?2， ∵a ，b 为正实数，∴a +b =2． 故答案为：2． 先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=?2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．

15.答案：17

4

解析：解：设t=y

x

，由题意知t≥2，

则y

x

+9x

2x+y

=t+9

t+2

，令f(t)=t+9

t+2

，t≥2，

∵f′(x)=1?9

(t+2)2

>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，

∴f(t)≥f(2)=17

4

，

故答案为：17

4

．

先令t=y

x ，可转化成f(t)=t+9

t+2

，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．

本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)

解析：解：解：当x=c时，c2

a2?y2

b2

=1，可得y=±b2

a

故M(c,b2

a

)

如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2

即b2

a

2c

=b2

2ac

<1，即b2<2ac，

则c2?a2<2ac，

即c2?2ac?a2<0，

则e2?2e?1<0，

解得：1?√2

又e>1，∴1

故答案为：(1,1+√2)

求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc?a2+c2?b2=c2+bc；

∴a2+c2?b2

2ac =c+b

2a

；

∴b+c=2acosB；

由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，

∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB?sinB=sin(A?B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；

又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；

∴sinA=cosB；

∴sinB=1

2.∴B=π

6

，A=π

3

．

(2)由(1)可知C=π

2

.∴△ABC为直角三角形．

又因为AP ????? ?CP

????? =0?PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4， 设O 为AC 的中点，连接BO ，

则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，

此时BP =BO ?PO =√1+(2√3)2?1=√13?1． 设∠OCP =α，则∠COP =π?2α， ∴sinα=

PA AC

=12

PA ；cosα=

PC AC

=1

2

PC ；

∴S =1

2PA ?PC =2sinαcosα=sin2α；

在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π?2α)=sin2α=BC

BO =√3√13

=

2√39

13

． ∴当BP 取得最小值时(√13?1)时，△APC 的面积S 为：

2√39

13

．

解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；

(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．

本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．

18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图

，

由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，

(2)

填表如下；

销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 8

12

20

K 2=

20(2×4?6×8)28×12×10×10

≈3.333<3.841，

没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．

(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87． 分别设为A ，B ，C ，D ，E ，

随机抽取三个店铺共有10种可能，

如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，

恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，

恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为6

10=3

5

．

解析：(1)根据题意画茎叶图，

(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，

(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．

本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．

19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，

在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，

∴BE⊥平面PAE，

又∵BE?平面PBE，

∴平面PAE⊥平面PBE；

(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，

由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．

∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．

在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π

3

．

由余弦定理得OC=√7．

∴PC=√3+7=√10．

在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．

∴S△PEC=1

2×√10×(√10

2

)=√15

2

，

又∵S△BCE=1

2

×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，

由V P?BCE=V B?PCE，得1

3×√3×√3=1

3

×√15

2

×d，

解得d=2√15

5

．

∴点B到平面PEC的距离为2√15

5

．

解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；

(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．

本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．

20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，

当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，

∴GB=1

2

GH=2，∴PG=√x2+4，

又∵PA=√(x?2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；

当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，

(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，

根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，

联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2?4t 1y ?4a =0，

∴y 1+y 2=?4t 1，y 1y 2=?4a ，

∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=1

16y 12y 22

=a 2，

∵QS 2=(x 1?a)2+y 12=(x 1?a)2+4x 1=x 12+(4?2a)x 1+a 2，

QT 2=(x 2?a)2+y 22=(x 2?a)2+4x 2=x 22

+(4?2a)x 2+a 2，

∴QS 2+QT 2=x 12+(4?2a)x 1+a 2+x 22

+(4?2a)x 2+a 2

=(x 1+x 2)2+(4?2a)(x 1+x 2)?2x 1x 2+2a 2

=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4?2a)?2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12

++4)，

QS 2?QT 2=16a 2(t 12

+1)2，

则1|QS|2+1

|QT|2=

QS 2+QT 2QS 2?QT 2

=2t 1

2+a

2a 2(t 1

2+1)，

当a =2时，上式=1

4与t 1无关为定值，

所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1

|QS|2+1

|QT|2为定值1

4．

解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =1

2GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；

(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x

，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1

|QS|2+1

|QT|2即可．

本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．

21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a ?1

x 2=

ax 2?1x 2

，

当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√a

a (舍负)，

当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√a

a ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

(2)由f(x)0，

设?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，则?′(x)=e x ?2ax ?1，令H(x)=e x ?2ax ?1，则H′(x)=e x ?2a ，

当a ≤1

2时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴H(x)=?′(x)>?′(0)=0，∴?(x)在(0,+∞)上为增函数，

∴?(x)>?(0)=0成立，即f(x)1

2时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ， x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数， x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，

设t(a)=2a ?1?2aln2a(a >1

2)，则t′(a)=?2ln2a <0， ∴t(a)在(1

2,+∞)上为减函数， ∴t(a)

∴?x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，?′(x)<0，?(x)为减函数， 当x ∈(x 0,+∞)时，?′(x)>0，?(x)为增函数， 又?(0)=0，

∴当x ∈(0,x 0)时，?(x)<0，

∴当a >1

2时，对x ∈(0,+∞)，f(x)

2]．

解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a ?

1x 2

=

ax 2?1x 2

，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，

即可得f(x)的单调性；

(2)构造函数?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，求出?′(x)，令H(x)=?′(x)=e x ?2ax ?1，再求H′(x)=e x ?2a ，当a ≤1

2时，易证得?(x)在(0,+∞)上为增函数，?(x)>?(0)=0成立，即f(x)1

2时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即?′(x)的单调性，于是?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，再令t(a)=2a ?1?2aln2a(a >1

2)，求导可知t(a)在(1

2,+∞)上为减函数，t(a)

2)=0，即?′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >1

2时，对x ∈(0,+∞)，f(x)

本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．

22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θ

y =1+sin

θ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x ?1)2+

(y ?1)2=1．

直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π

4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =

√2

=2√2，

所以最小距离d min =2√2?1．

(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2?1=√7，

所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×1

2×1×√7=√7．

解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x ?1|?4≥0， 当x

2； 当?2≤x ≤1时，x +2?x +1?4≥0，解得x ∈?； 当x >1时，x +2+x ?1?4≥0，解得x ≥3

2， ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤?5

2或x ≥3

2}； (2)∵函数f(x)的定义域为R ，

∴|x +2|+|x ?1|?a ≥0对任意的x ∈R 恒成立， ∴a ≤|x +2|+|x ?1|，

又|x +2|+|x ?1|≥|x +2?x +1|=3， ∴a ≤3，∴s =3， ∴

12m+n

+

2m+3n

=3，且m >0，n >0，

∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=1

3[(2m +n)+(m +3n)]?(1

2m+n +2

m+3n )=1

3[3+

2(2m+n)m+3n

+

m+3n

2m+n

]≥1

3(3+2√2)=1+2√2

3

， 当且仅当m =

1+2√2

15

,n =

3+√215

时取等号， ∴3m +4n 的最小值为1+

2√23

．

解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x ?1|?4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；

(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x ?1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出1

2m+n +2

m+3n =3，然后即可得出3m +4n =1

3

[3+2(2m+n)m+3n

+m+3n

2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出

3m +4n 的最小值．

本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a ?b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．