陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校2014届高三上学期9月月考数学(理)试题

高三模拟四考试 数学试题（理科）

（满分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设a ,b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.已知集合{}

2,0x A y y x -==<，集合{

}

1

2

B x y x ==，则A B ?=

A ．[)1,+∞

B ．()1,+∞

C ．()0,+∞

D ．[)0,+∞

3. 双曲线22

2

21y a

b

x -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为

A.53

B.43

C.54

D.

4. 函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处

的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=

A. 1

2

B.-1

C.1

D.2

5. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2l o g 3和3log 2,则输出M 的值是

A.0

B.1

C. 2

D. －1

6. 设

{}121233

1,,,3,a ∈-，则使函数a

y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为

A.1，3

B.1，3，13-

C.1，3，23

D.1，23，3，13-

7. 某几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为

A.12

B.

C.

D.

8.已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ?=+=,则该数列的

前n 项和n s 的最大值为 A ．60

B ．55

C ．50 D.45

9. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()

sin 0,f x x x π=∈及直线()()

0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为

1

4

，则a 的值是

A.712π

B.23π

C.34π

D.56

π

10. 已知)(x f 是定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒

成立，则

A. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ?>?>

B. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ?>?<

C. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ?

D. )0()2013(),

0()2(20132f e f f e f ?

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 11.已知向量(1,2),(2,)a b λ=-= ，且a 与b

的夹角为锐角，则实数λ的取

值范围是 .

12. 设实数,x y 满足约束条件00134x y x y

a a

?

?≥?≥???+≤?，若1

1y z x +=+的最小值为14，则

a 的

值为 .

13.若将()()x a x b --逐项展开得2x a x b x a b --+，则2x 出现的概率为14，

x 出现的概率为12

，如果将()()()()()x a x b x c x d x e -----逐项展开，那么3x 出

现的概率为 .

14. 已知函数()()22

l o g 1,02,0

x x f x x x x ?+>=?--≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .

15．已知l g l g 0a b +=，

则满足不等式2211

a b a b λ+++≤的实数λ的范围

是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题

，

共75分）

16．（本小题12分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为

23

π

． （Ⅰ）求ω的值．

（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移

2

π

个单位长度得到的，求()y g x =的单调递增区间．

17.（本小题12分）数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足

222

=-n n n a S a ．

（Ⅰ）求证：数列}{2

n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

42

4-=n n S b ， 求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值．

18.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面P C D ⊥底面ABC D ，

PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD

是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2CD =.

（Ⅰ）求证：//BE 平面APD ；

（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，P Q P C λ=

，试确定λ的值，使得平面PBD 与平面QBD 的夹角为45 .

19.（本小题12分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率

为2

的

椭圆过点

（

，

2

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，

OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．

20. （本小题13分）第30届奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当时某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm ）：若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出

X 的分布列，并求X 的数学期望.

21.（本小题14分）已知函数)(ln )(R a x

a

x x f ∈+=. （Ⅰ）求)(x f 的极值；

（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2

e 上有公共点，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正的数列

}{n

a 满足：*

1

11,ln 2,n n n a

a a a n N +==++∈，求证：

21

n n a ≤-

高三模拟数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：（每小题5分，满分50分）

11．()(),44,1-∞-?-； 12．1； 13．5

16； 14．(0,1); 15． [)1,+∞.

三、解答题：

16. 解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++

sin 2cos 22)24

x x x π

ωωω=++=++，

依题意得2223

ππω=，故ω的最小正周期为3

2. …………6分

（Ⅱ）依题意得

: 5()3()2)2244g x x x πππ?

?=-++=-+???

?，

由5232()242k x k k Z πππ

ππ--

+∈≤≤， 解得227()34312

k x k k Z ππ

ππ++

∈≤≤， 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312

k k k Z ππ

ππ++

∈. …………12分 17．解：（Ⅰ）∵122

=-n n n a S a ，∴当n≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，

整理得，1212=--n n S S （n≥2），又12

1=S ， ∴数列}{2n S 为首项和公差都是1的等差数列．

∴n S n =2

，又0>n S ，∴n S n =.

∴n≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式，

∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n . …………6分

（Ⅱ）∵121

121)12)(12(2142

4

+--=+-=

-=

n n n n S b n n ， ∴)

12)(12(1531311+-++?+?=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1

221211+=+-n n n ，

2

112n n T n

∴==

+时，的最小值为2

3. …………12分 18．解：（I ）取PD 的中点F ，连结,E F A F ，

因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且1

12

E F C D =

=， 在梯形ABCD 中，//,1A B C D A B =，∴//,,EF AB EF AB =

四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AF

BE ?平面PAD ，AF ?平面PAD ，∴//BE 平面PAD .…………6分

（II ）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，

则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P ，

平面PBD 的法向量为(1,1,0),BC =-

(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈

，(0,2,1)Q λλ∴-，设

平面Q B D 的法向量为(,,)n a b c =

， (1,1,0),DB = (0,2,1)DQ λλ=-

，

由02(1)0n DB a b n DQ b c λλ??=+=??=+-=?

，∴2(1,1,

)1n λλ=-- ，

∴

0cos 45n BC n BC ?===?

，注意

到

(0,1)1λλ∈∴=. …………12分

19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为

222

2

1x y a

b

+

= （a ＞b ＞0）

，

则22211,2c a a b =+=????

??? 故

2,

1a b ==??

?，

所以，椭圆方程为

2214

x y +=．…………4分

（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m （m≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），

由22

,440,

y kx m x y =++-=???消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0， 则△＝64 k 2b 2－16（1＋4k 2b 2）（b 2－1）＝16（4k 2－m 2＋1）＞0，

且122814km x x k -+=+，2122

4(1)

14m x x k

-=+．…………6分 故 y 1 y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2．

因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，

所以，1212y y x x ?＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k

-+＋m 2

＝0，又m≠0， 所以 k 2＝14，即 k ＝1

2

±．…………10分

由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1．

设d 为点O 到直线l 的距离，

则 S △O P Q ＝12d | PQ |＝1

2

| x 1－x 2 | | m |

＝，

所以 S △O P Q 的取值范围为 （0，1）．…………12分 20．解：（I ）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为51204

=，所以应从“高个子”中抽1824?=人，从“非高个子”中抽11234?=人.

用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表

示“没有一名‘高个子’被选中”，则232537

()1()111010

C P A P A C ===-=-=,

因此至少有1人是“高个子”的概率是7

10

；…………6分

（II ）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的所有可能为0,1,2,3.

()34381

014C P X C ===, ()124438317C C P X C ===,

()214438327C C P X C ===， ()343

81

314

C P X C ===， 因此，

X 的分布列如下：

所以

X

的数学期望01231477142

EX =?

+?+?+?=.…………13分 21．解：（Ⅰ）2

)

(ln 1)(),,0()(x

a x x f x f +-=

'+∞的定义域为， 令a e x x f -=='10)(得， 当)(,0)(,),0(1x f x f e x a

>'∈-时是增函数；

当)(,0)(,),(1x f x f e

x a

<'+∞∈-时是减函数；

∴1

11)()(,)(---===a a a e e f x f e x x f 极大值处取得极大值在，无极小值. …………4分

（Ⅱ）①当21e e a <-时，即时1

->a ， 由（Ⅰ）知),0()(1a

e

x f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，

()11max ()a a f x f e e --∴== ，

又当,(.0)(],0(2e e x x f e x a a --∈<∈当时当,0)(,2

x f e x a a --==时

],(.0)(],0(,02e e x x f e x a a --∈<∈=当时当时，).0()(1-∈a e x f ，

∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2

e 上有公共点，?11≥-a e .

解得1,1,1≥->≥a a a 所以又.

②当121-≤≥-a e e a 即时，],0()(2

e x

f 在上是增函数，

∴2

2

22)(],0()(e a

e f e x f +=

上的最大值为在， 所以原问题等价于

.2,1222

-≥≥+e a e

a

解得又1-≤a ，∴无解， 综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞. …………10分 （Ⅲ）令a =1，由（Ⅰ）知，

l n 1

1(0),l n 1x x x x x

+≤>∴≤-， 11a = ，假设*

1()k a k N ≥∈， 则1ln 21k k k a a a +=++>，故*1()n a n N ≥∈

从而1l n 221n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1)n n n a a a +∴

+≤+≤≤+ ， 即1221n

n

n n a a +≤∴≤-. …………14分