线面角与面面角复习讲义

线面角与面面角复习讲义

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．

解： (1)连AC，

∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．

又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．

同理AC1⊥A1B

∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ?

中，122

AC ME a ==，

BE ==

，∴tan 2ME MBE BE ∠==．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，

使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．

（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；

（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．

证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．

∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，

即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ?面ABP ，

由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．

（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．

∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．

△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．

又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，

由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形． 设1BC =

，则CE =，12DE =

，1

cos DE CED CE ∠===．

例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．

(1)求证：1BE EB =；

(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，

∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．

取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．

∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，

得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．

∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是 ，BE ＝FG ．

∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．

解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．

∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，

∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．

∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，

由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：

1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ?α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为

（A ）

A ．有最小值θ，有最大值2π

B ．无最小值，有最大值2π。

C ．有最小值θ，无最大值

D ．有最小值θ，有最大值π-θ。 2．下列命题中正确的是 （D ）

A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A ）

A ．30

B ．20

C ．15

D ．12

4．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是

（C ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．

解 过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足，

∴AH 2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，

∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD

∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心，

连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，

223333DH DF a a ==?=，在Rt △ADH 中，

8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．

求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．

证明 如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC ＝90°．∴BC ⊥AB ． ∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF ⊥CD （三垂线定理）． ∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ．

（2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD 面BCD ．∴面AEF ⊥面BCD ．

（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面

又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD∩CD＝D ∴AF ⊥平面DBC ，