《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合
在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述
1. 系统数学描述的两种基本类型
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量12[,,...,]
T
p u u u u =和
12[,,...,]
T
q y y y y =表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的
变量为系统的内部变量，以向量12[,,...,]T
n x x x x =表示。系统的数学描述是反映系统变量
间因果关系和变换关系的一种数学模型。
系统的数学描述通常由两种基本类型。一种是系统的外部描述，即输入-输出描述。这种描述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即输入-输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量。如第一章至第六章所研究的单输入-单输出线性定常连续系统，其外部数学描述就是一个n 阶微分方程及对应的传递函数。系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。一个是反映系统内部变量12[,,...,]T
n x x x x =和输入
变量12[,,...,]
T
p u u u u =间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称
为状态方程。另一个是表征系统内部变量12[,,...,]T
n x x x x =，及输入变量12[,,...,]
T
p u u u u =
12[,,...,]
T
p u u u u =和输出变量12[,,...,]
T
q y y y y =间转换关系的数学表达式，具有代数方程
的形式，称为输出方程。在以后的研究中可以看到，外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全的描述。内部描述则是对系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。
2. 系统描述中常用的基本概念
无论是系统的外部描述还是系统的内部描述，下列的一些概念是常用的，现给出其定义，以便读者在学习本章和阅读国内外有关文献时更清楚地理解系统的性质和分类。
输入和输出 由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自系统的信息称为输出。
松弛性 若系统的输出y [t 0,∞]由输入u [t 0,∞]唯一确定，则称系统在t 0时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t 0时刻是松弛的意味着系统在时刻不存贮能量。例如一个RLC 网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在t 0时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在t 0时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
对于一个松弛系统，其输入—输出描述为
y Hu = (9-1)
式中H 为某一算子，例如传递函数就是一种算子。
因果性 若系统在t 时他刻的输出仅取决于在t 时刻和t 之前的输入，而与t 时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关系(Causal)。本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因果系统。若系统在t 时刻的输出尚与t 时刻之后的输入有关，则称系统不具有因果性。不具有因果性的系统能够预测t 时刻之后的输入并施加于系统而影响其输出。
线性 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 1和u 2。以及任何实数α均有
1212()H u u Hu Hu +=+ (9-2) 11()()H u H u αα= (9-3)
则该系统称为线性的，否则称为非线性的。式(9-2)称为可加性，式(9-3)称为齐次性。若松弛系统具有这两种特性，则称该系统满足叠加原理。
时不变性（定常性） 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 和任何实数α，均有
HQ u Q Hu αα= (9—4)
则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。式中Q α
为位移算子，
Q u
α表示
对于所有t 均有
()()Q u t u t αα=- (9—5)
式(9—4)又可写为
HQ u Q y αα= (9—6)
线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
3. 系统状态空间描述常用的基本概念
下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本概念。
状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量称为状态变量。
一个用n 阶微分方程描述的系统，当n 个初始条件x(t 0)，x?(t 0)，…，x n?1(t 0)及t ≥t 0的输入u(t)给定时，可惟一确定方程的解，即系统将来的状态，故工x(t)，x?(t)，… ，x n?1(t)这n 个独立变量可选作状态变量。状态变量对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。n 阶系统状态变量所含独立变量的个数为n 。显然，当变量个数小于n 时，便不能完全确定n 阶系统的状态，而当变量个数大于n 时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的。
状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。
状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。但在具体工程问题中，应尽可能选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。例如，机械系统中常选取线(角)位移和线(角)速度作为变量，RLC 网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态变量。
状态变量常用符号
12(),(),...,()
n x t x t x t 表示。
状态向量 把描述系统状态的n 个状态变量12(),(),...,()
n x t x t x t 看作向量x(t)的分量，即
12()[(),(),...,()]
T
n x t x t x t x t =
则向量x(t)称为n 维状态向量。给定t ＝t 0时的初始状态向量X(to)及t ≥t 0的输入向量
u(t),t ≥t 0的状态由状态向量x(t 0)惟一确定。
状态空间 以n 个状态变量作为基底所组成的n 维空间称为状态空间。 状态轨迹 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。
状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为
.
()[(),(),]
x t f x t u t t = （9-7）
或
1()[(),(),]k k k k x t f x t u t t += （9-8）
输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为
()[(),(),]y t g x t u t t = （9-9）
或
()[(),(),]k k k k y t g x t u t t = （9-10）
输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，它是一个变换过程。
状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为
.
()[(),(),]()[(),(),]
==x t f x t u t t y t g x t u t t （9-11） 或
1()[(),(),]()[(),(),]
k k k k k k k k x t f x t u t t y t g x t u t t +== （9-12）
自治系统 若在系统的状态空间表达式中，函数f 和g 均不显含时间t 或k t 则称该系统为自治系统，其状态空间表达式的一般形式为
.
()[(),()]()[(),()]
x t f x t u t y t g x t u t == (9-13) 或
1()[(),()]()[(),()]
k k k k k k x t f x t u t y t g x t u t +== (9-14)
线性系统 若在系统的状态空间表达式中，f 和g 均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。
线性系统的状态空间表达式 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为
.
()()()()()()()()()()
x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+=+ （9-15） 对于线性离散时间系统，由于在实践中常取t k =kT (T 为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式可写为
(1)()()()()
()()()()()
x k G k x k H k u k y k C k x k D k u k +=+=+ （9-16）
通常，若状态x 、输入u 、输出y 的维数分别为n,p,q ,则称n n ?矩阵A(c)及G(k)为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，称n ×p 矩阵B(t)及H(k)为控制矩阵或输入矩阵，称q ×n 矩阵C(t)及C(k)为观测矩阵或输出矩阵，称q ×p 矩阵D(t)及D(k)为前馈矩阵或输入输出矩阵。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵A (t ),B (t ),C (t ),D(t)或G (t ),H (t ),C (t ),D(t)的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间表达式的一般形式为
.
()()()()()()
x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+=+ （9-17） 或
(1)()()
()()()
x k Gx k Hu k y k Cx k Du k +=+=+ （9-18）
当输出方程中0D ≡时，系统称为绝对固有系统，否则称为固有系统。为书写方便，
常把固有系统(9—17)或(9—18)简记为系统(A，B，C，D)或系统(G，H，C，D)，而记相应的绝对固有系统为系统(A，B，C)或系统(G，H，C)。
线性系统的结构图线性系统的状态空间表达式常用结构图表示。线性连续时间系统(9-17)的结构图如图9-2所示，线性离散时间系统(9-18)的结构图如图9-3所示。结构?)单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z?1为单位延时算子，s和z均为标量。每一图中I为(n n
方块的输入—输出关系规定为：输出向量＝(方块所示矩阵) ? (输入向量) 应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。
4. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种:一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程,继而选择有关的物理量作为状态变量,从而导出其状态空间表达式;二
是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用的数学模型,故我们将介绍已知n 阶系统微分方程或传递函数时导出状态空间表达式的一般方法,以便建立统一的研究理论,揭示系统内部固有的重要结构特性 。
(1) 根据系统机理建立状态空间表达式
下面我们通过例题来介绍根据系统机理建立线性定常连续系统状态空间表达式的方法。
例9—1 试列写如图9—4所示RLC 网络的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间表达式，并就所选状态变量间的关系进行讨论。
解 根据电路定律可列写如下方程：
1di Ri L
idt dt C ++?
1）设状态变量121
,x i x idt C
==
?，则状态空间模型为 .
112.21
111R x x x e
L L L x x C
=--+=
输出方程为
2y x =
其向量-矩阵形式为
.11.2211100?-??????-???????=+?????????????????
?R
x x L e C L x
x C
[]1201??
=????
x y x
简记为
.
x Ax be
y cx
=+=
式中
..1.2x x x ????=????，.
1
.2x x x ????=????，110R L L A C ??--??=????????
，10b L ????=????，[01]c =
2)设状态变量
12,x i x idt
==?，则有
.11
.2211,100R x x e LC L L x x ??????--????????=+?????????????
??? 1210x y x C ??
??=????????
3）设状态变量 1211
,,x idt Ri x idt C C
=
+=??则 121,di
x x Ri L x e dt
=+=-+
故
.
.
12121.21221()()11()di R x x R
x x x e dt RC L
x i x x C RC y x =+=++-+==+=
其向量-矩阵形式为
[].11.22121111001??--????????????=+????????
????-?????
???
??
=??
??
R R x x RC C RC e L x x RC RC x y x
由上可见,系统的状态空间表达式不具有惟一性。选取不同的状态变量,便会有不同的状态空间表达式,但它们都描述了同一系统。可以推断,描述同一系统的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换关系。现研究本例题中两组状态变量之间的关系 。
设12121
,,,====??x i x idt x i x idt C
，则有
11221
,x x x x C ==
其相应的向量-矩阵形式为
x Px =
其中
112201,,10x x x x P x x C ??????
??===??????????????
以上说明只要令x Px =，P 为非奇异变换矩阵，便可将
12
,x x 变换为12,x x 。若取任意
的非奇异变换阵P ，便可变换出无穷多组状态变量，这就说明状态变量的选择不具有惟一性。对于图9-4所示 RLC 网络来说,由于电容端电压和电感电流容易测量,通常选择这些
物理量作为状态变量。
例9-2 由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图9-5所示,具有力F 和阻尼器汽缸速度V 两种外作用,给定输出量有质量块的位移、速度和加速度。试列写该双输入-三输出机械位移系统的状态空间表达式。图中m,k,f 分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数;x 为质量块的位移 。
解 根据牛顿力学可知,系统所受外力 F 与惯性力..
m x 、阻尼力.
()f x V -和弹簧恢复力kx, 构成平衡关系,可列写系统微分方程如下:
...
()mx f x V kx F +-+=
这是一个二阶系统,若已知质量块的初始位移和初始速度,系统在输入作用下的解便可惟一确定,故选择质量块的位移和速度作为状态变量。设.
12,x x x x ==。由题意知系统有三个输出量,设.
..
11223,,y x x y x x y x =====。于是由系统微分方程可导出系统状态方程
.
2
.
..
2211
[()]
x x x x f x V kx F m
===---+
其向量-矩阵形式为
.11
.221122301
0011000010
01x x F k f f x V x m
m m m y x F y x
V y k f f m
m m
m ??????
??????????=+??
????????--?????????????
???
??????????????=+????
?
?????????????????--????????
例9-3 对于图9-6所示机械系统,若不考虑重力对系统的作用,试列写该系统以拉力 F 为输入,以质量块m1和m2的位移y1和y2为输出的状态空间表达式。
解 根据牛顿定律,可写出系统微分方程
..
.
.
.
112212211111..
.
.
21221221()()()()
m y k y y f y y k y f y m y F k y y f y y =-++--=----
式中
12
,k k 为弹簧刚度,
12
,f f 为阻尼系数。
由于该系统有四个贮能元件,即弹簧 是12,k k
.
22112121012210.
()
.
(1)2(12T)u
()()()n n n n n n n n n n n n x x b s b s b s b s b Y s G s U s s s a s a s a z z z u y z
z z
ωξωξω--------=--+-+++++==
+++++++++==+++L L L L 和质量
12
,m m ,故应选择其中四个相互独立的变量作为系统的状态变量,现选择
.
.
12112234,,,x y x y x y x y ====
经过整理,可得到系统的状态空间表达式
.11.22122122.31113.2212424222211223
400100000100110000100x x x x k k k f f f F x m m m m x k k f f x m x m m m m x y x y x x ?
???????????????????????++????--=+?
?????????????????
????????--????????????
??
??????=??????????????
(2)由系统微分方程建立状态空间表达式
按系统输入量中是否含有导数项来分别研究。 1 ) 系统输入量中不含导数项。这种单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为
.
()
(1)
(2)
12100...a n n n n n y
a y
a y
y a y u β----+++++= （9-19）
式中,y,u 分别为系统的输出、输入量0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常系数。由于给定n 个初值.
1(0),(0),...(0)n y y y -及t ≥0的u(t)时,可惟一确定t>0时系统的行为,可选取n 个状态变量为.
(1)12,,...,x n n x y x y y -===,故式(9-19)可化为
.
12
.23.1.
0112101n n
n n n x x x x x x x a x a x a x u y x β--?=?
?=?
??
??=??
=----+?
=??
M K （9-20）
其向量-矩阵形式为
.
x Ax bu y cx
=+= （9-21） 式中
[]
121012100100000100,,00010100n n n x x x A b x x a a a a c β--??????
????????????
??????===??????????????????----??????=K L M M M M M
M L L L 按式(9-2o)绘制的结构图称为状态变量图,见图9-7。每个积分器的输出都是对应的状态变量,状态方程由各积分器的输入-输出关系确定,输出方程在输出端获得 。
2) 系统输入量中含有导数项。这种单输入-単输出线性定常连续系统微分方程的一 般形式为
.
()
(1)
(2)
1210.
()(1)110n n n n n n n n n y
a y
a y
a y a y
b u b u b u b u
------+++++=++++L L （9-22）
一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数n 。首先研究b n ≠0的情况。为了避免在状态方程中出现输入导数项,可按如下规则选择一组状态变量,设
10.11;2,3,,i i i x y h u
x x h u i n --=-??
?=-=??
L （9-23） 其展开式为
10.
.
.
12101.
..
..
.
232012.
(2)(2)(3)212012.
(1)(1)(2)11001n n n n n n n n n n n n n n x y h u x x h u y h u h u x x h u y h u h u h u
x x h u h u h u h u x x h u y h u h u h u
-------------=-=-=--=-=---=-----=-=----M
L L （9-24）
式中0121,,,n h h h h -L 是 n 个待定常数。由式(9-24)的第一个方程可得输出方程
10y x h u =+
其余可得(n-1)个状态方程
.
121.
233.11n n n x x h u x x h u x x h u
--=+=+=+M
对x n 求导数并考虑式(9-22)有
.
.()(1)
(1)(2)
0112.
.
()
()(1)1001001.
1()n n n n n n n n n n n n x y h u
h u a u a y a y a y b u b u b u h u h u h u
--------=--=-----++++----L L L L 由式(9-24)将.
(1)
,,n y
y y -L 均以xi 及u 的各阶导数表示,经整理可得 .
()
01122110(1)(2)1110221120.
11122310011221100()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x b h u b h a b u b h a h a h u b h a h a h a h u b a h a h a h a h u
-------------------=-----+-+--+---++-----+-----L L L L
令上式中u 的各阶导数项的系数为零,可确定各h 值
01110
221120
11122310
n
n n n n n n n n n n h b h b a h h b a h a h h b a h a h a h ----------==-=--=----M
L
记
011221100
n n n n n h b a h a h a h a b ----=----L ，故
.
0112211n n n n n n x a x a x a x a x h u ---=-----+L
则式( 9-22 )的向量-矩阵形式的动态方程为
.
,x Ax bu y cx du =+=+ （9-25）
式中
[]12101210
01000010
,000110
0,n n n h h A b h a a a a h c d h --?????????????
???==????
????
????----????
==L L
M M M L M
L L L L 式(9-22)的状态变量图见图9-8。若输入量中仅含m 次导数且m 当0n b =时,我们可以令上述公式中的00h =得到所需要的结果,也可按如下规则选择另一组状态变量。设 }. 1;1,2,1 n i i i i x y x x a y b u i n +==+-=-L (9-26) 其展开式为 . . 11111. .. . . 12221122.(2)(3)(3)(4)3222112(4)222.(1)(2)211111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x a y b u y a y b u x x a y b u y a y b u a y b u x x a y b u y a y b u a y b u a y b u x x a y b u y a y b u --------------------------=+-=+-=+-=+-+-=+-=+-+-++-=+-=+-M L (2)(3) 2(3)211n n n n n a y b u a y b u -----+-++-L 故有(n- 1)个状态方程 . 111. 1222. 2111n n n n n n n n n n n x x a x b u x x a x b u x x a x b u -------=-+=-+=-+M 对x 1,求导数且考虑式(9-22) ,经整理有 . 100n x a x b u =-+ 则式(9-22) b n =0时的动态方程为 . 1,x Ax bu y cx =+= (9-27) 式中 []0011221100 01000 10,,0010 1 n n a b a b A a b b c a b ---???? ????-???? ????=-==???????? ????-???? L L L L M M M M M L 例9-4 设二阶系统微分方程为 .. . . 2 2y y y T u u ξωω++=+ 试求系统状态空间表达式。 解 设状态变量 . . . 1102101,x y h u x x h u y h u h u =-=-=--， 故有 . 11021,y x h u x x h u =+=+ 对 x 2求导数且考虑x 1,x 2及系统微分方程有 . .. .. . . . .. . 2 20101.. . 221200101(2)2(T 2h )(12)x y h u h u y y T u u h u h u x x h u h u h h u ωξωωξωξωωξω=--=--++--=---+--+-- 令.u ,.. u 项的系数为零可得 010,h h T == 故 . 22122(12T)u x x x ωξωξω=--+- 系统的状态空间表达式为 [].1112.22201,10212x x T x u y x T x x ωξωξω?? ???????? ??=+=??????????---???????? ?? (3)由系统传递函数建立状态空间表达式 式(9-22 )所对应的系统传递函数为 121210 121210 ()()()n n n n n n n n n n n b s b s b s b s b Y s G s U s s a s a s a s a --------+++++== +++++L L （9-28） 应用综合除法有 121210 121210 () ()() n n n n n n n n n n n s s s N s G s b b s a s a s a s a D s ββββ--------++++=+ + +++++L @L （9-29） 式中n b 是直接联系输入、输出量的前馈系数,当()G s 的分母次数大于分子次数时,0n b =, () () N s D s 是严格有理真分式,其系数由综合除法得到为 000111222111n n n n n n n n n n b a b b a b b a b b a b ββββ------=-=-=-=-M 下面介绍由 () () N s D s 导出几种标准形式动态方程的方法 。 1) ()()N s D s 串联分解的情况。将() () N s D s 分解为两部分相串联,如图9-9所示,z 为中间变量,z,y 应满足 . () (1) 110. (1)110n n n n n z a z a z a z u y z z z βββ----++++==+++L L 选取状态变量 . .. (1)123,,,,n n x z x z x z x z -====L 则状态方程为 . 12.23. . (1)01101121n n n n n x x x x x a z a z a z u a x a x a x u ---===----==---+M L L 输出方程为 01121n n y x x x βββ-=+++L 其向量-矩阵形式的动态方程为 . ,x Ax bu y cx =+= (9-30) 式中 [][]314201000002. 111221 .111.121.()()()() 10,A ,b ,01120 0111()()1 10n n n i i D s s s s x x c x T x x u x u x u y x Y s x s x x λλλωξωλλλλ==---??-???? ====??????-??????=+=+=+==?? ????? ??????∑K M M L M M 1112100x x x ????????????????? 图9-9 N (s ) D (s )的串联分解 []1 .111.121.1 13.4 4.0 0111()()1100n n i i n n x u y x Y s x s x x x x x λλλλλ==+==?? ???????????????=??????????????? ∑M L M M M L L L M L O M []111211324001,y 11111n n x x x x x u x x x ????????????????? ? ???????? ????? ??+=???????????????????????? ????????????????? L L L M M M []01101210100000100,,000101n n A b c a a a a βββ--???? ???????? ????===????????????----???? L L M M M M M L L L 请读者注意A,b 的形状特征,这种A 阵又称友矩阵,若状态方程中的 A,b 具有这种形式, 则称为可控标准型。当β1=β2 =…=βn-1= 0时,A,b 的形式不变,c= [β0… 0]。 当()()()n N s G s b D s == 时,A,b 不变, n y cx b u =+，() () N s D s 串联分解时的可控标准型状态变量图如图9-10所示。 当b n =0时,若按式(9-26)选取状态变量,则系统的 A,b,c 矩阵为 []0011221100 01000 10,,0010 1 n n a a A a b c a ββββ---???? ????-???? ????=-==???????? ????-???? L L L L M M M M M L 请读者注意A,c 的形状特征,此处A 阵是友矩阵的转置。若动态方程中的A,c 具有这种 形式,则称为可观测标准型 。 由上可见,可控标准型与可观测标准型的各矩阵之间存在如下美系: 000,,T T T c c c A A b c c b === (9-31) 式中,下标c 表示可控标准型;o 表示可观测标准型;T 为转置符号。式(9-31)所示关系 称为对偶关系。关于系统的可控和可观测等概念,后面还要进行较详细的论述。 例9-5 列写例9-4所示系统的可控标准型、可观测标准型动态方程,并分别确定状态变量与输入、输出量的关系。 解 该系统的传递函数为 22 ()1 ()()2Y s Ts G s U s s s ξωω+= =++ 可控标准型动态方程的各矩阵为 []12 2010,A ,b ,121c c c c c c x x c T x ω ξω?????? ====??????--?????? 由 G(s)串联分解并引入中间变量 z 有 ... 2. 2z z z u y T z z ξωω++==+ 对y 求导数并考虑上述关系式则有 . .. . . 2(12)y T z z T z Tz Tu ξωω=+=--+ 令 . 12,c c x z x z ==可导出状态变量与输入、输出量的关系: 图9-10 N (s ) D (s )串联分解的可控标准型状态变量图 .2221. 2222(12)/(12) ()/(12) c c x T y T y T u T T x y Ty Tu T T ξωξωωωξωω?? =-+++-+????=+--+ 可观测标准型动态方程各矩阵为 []20100000210,A ,b ,0112x x c x T ωξω??-????====??????-?????? 根据式(9-26)可以写出状态变量与输入、输出量的关系 . 022c x y y Tu x y ξω=+-= 图9-11与图9-12分别示出了该系统可控标准型与可观测标准型状态变量图。 2) ()()N s D s 只含单实极点时的情况。当() () N s D s 只含单实极点时,除了可化为上述可控标准型或可观测标准型动态方程以外,还可化为对角形动态方程,其A 阵是一个对角阵 。 设D(s)可分解为 12)()()()(n D s s s s λλλ=---K 式中1,n λλK 为系统的单实极点,则传速函数可展成部分分式之和 1()()()()n i i i c Y s N s U s D s s λ===-∑ 而()(()i i i s N s c s D s λλ=??=-?? ?? ,为 ()() N s D s 在极点i λ,处的留数,且有 1 ()()n i i i c Y s U s s λ==-∑ 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程 第三章线性系统的时域分析方法 教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、 二阶系统的时域分析方法。 教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。 教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。 本章知识结构图： 系统结构图闭环传递函数 一阶标准式 二阶标准式 特征方程稳定性、稳定域 代数判据 误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益 公式 静态误差系数 第九讲 3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念 1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。 （1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。 （2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。 系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点 （1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准） （3）稳定性（稳） 二、动态性能及稳态性能 1、动态过程（过渡过程）：在 典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。（衰减、发散、等幅振荡） 2、稳态过程：在典型信号作 用下，当t → ∞ 系统输出量表现的方式。表征输出量最终复现输入量的程度。（稳态误差描述） 3、动态稳态性能指标 图3-1温度控制系统原理图 （1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。 （2）峰值时间tp ：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。 （3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。（稳） （3-1） %100)(()(%?∞∞-= h h t h p ） δ 线性系统时域分析 理论基础 求解零状态响应 1 2 ?→0 =-∞ 连续时间信号 f (t ) 和 f (t ) 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即： ∞ ∞ f (t ) = f 1 (t )* f 2 (t ) = ?-∞ f 1 (τ ) f 2 (t -τ )d τ = lim ∑ f 1 (k ?) f 2 (t - k ?) ? ? k 如果只求当t = n ?（n 为整数）时 f (t ) 的值 f (n ?) ，则上式可得： ∞ ∞ f (n ?) = ∑ f 1 (k ?) f 2 (n ? - k ?) ? ? = ?∑ f 1 (k ?) f 2[(n - k )?] （2-1） k =-∞ ∞ k =-∞ 式（2-1）中的 ∑ f 1 (k ?) f 2[(n - k )?] 实际上就是连续时间信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 经等时间间隔? k =-∞ 均匀抽样的离散序列 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) 的卷积和。当? 足够小时， f (n ?) 就是卷积积分的结果——连续时间信号 f (t ) 的较好数值近似。 因此，用 MA TL A B 实现连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 卷积的过程如下： 1、将连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 以时间间隔? 进行取样，得到离散序列 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) ； 2、构造与 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) 相应的时间向量k 1 和k 2（注意，k 1 和k 2 的元素不是整数，而是取样间隔? 的整数倍的时间间隔点）； 3、调用 MATLAB 命令 conv()函数计算积分 f (t ) 的近似向量 f (n ?) ； 4、构造 f (n ?) 对应的时间向量k 。 【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】 1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成 2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】 1、MATLAB/Simulink 数值分析软件 2、计算机一台 【实验原理】 1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig （A ） Cv=eig(A) 说明：V 特征向量，J 是Jordan 型，cv 是特征值列向量 2、求运动的方法 （1）利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统 采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。 （2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有： 假设初始时刻为零，LTI 系统的解析解为dt Bu e e x e t x t At At At ??+=0 )()0()(τ。若u （t ）是单 位阶跃输入，则上述解可写成dtBu e e x e t x t At At At ? ?+=0 )()0()(τ。进一步简化为： Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+= 对离散线性定常系统有： ∑---+ =1 1 )()0()(k i k k i Hu G x G k x （3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统 采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法，典型的是Runge-Ktuta 算法，其通常使用如下的函数格式： [t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。 b.参数options 为积分的误差设置，取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间围；x0是初值是初值向量；[t,x]是解。 （4）利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step （）/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应： 当系统G 是连续的情况下： 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间围和周期； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间围和周期； 当系统G 是离散的情况下: 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间围和周期一致。 另外lsim()函数调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial （）,格式：[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应 使用simulink 求取线性或非线性系统的响应，调用格式如下： [t,x,y]=sim(‘XX.mdl ’,ti:Ts:tf,options,u) 【实验容】 已知线性系统：]) (201)() (2 10)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----? 已知线性系统 1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。 武汉工程大学 实验报告 专业 班号 组别 指导教师 姓名 学号 实验名称 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、实验内容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,,,和时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=时的时域性能指标ss s p r p e t t t ,,,,σ。 2）绘制出当ζ=, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2++++= s s s s K s G 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。 三、实验结果及分析 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 14647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线试分别绘制。 方法一：用step( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; t=0::10; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Response of G(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)') Unit-step Response of G(s)=s 2+3s+7/(s 4+4s 3+6s 2+4s+1) t/s (sec) c (t ) 方法二：用impulse( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 0 1 3 7 ]; den=[1 4 6 4 1 0]; t=0::10; impulse(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-impulse Response of G(s)/s=s^2+3s+7/(s^5+4s^4+6s^3+4s^2+s)') 广西大学实验报告纸 【实验时间】2014年06月15日 【实验地点】(课外) 【实验目的】 1、掌握线性系统状态空间的标准型、解及其模型转换。 【实验设备与软件】 1、MATLAB数值分析软件 【实验原理】 Matlab提供了非常丰富的线性定常连续系统的状态空间模型求解(即系统运动轨迹的计算)的功能,主要的函数有 ①、阶跃响应函数step()可用于计算在单位阶跃输入和零初始状态(条件)下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应，其主要调用格式为 step(sys,t) [y,t] = step(sys,t) [y,t,x] = step(sys,t) ②、脉冲激励下的仿真函数impulse()可用于计算在脉冲刺激输入下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应,其主要调用格式为 impulse(sys,t) [y,t] = impulse(sys,t) [y,t,x] = impulse(sys,t) ③、任意输入激励下的仿真函数lsim()可用于计算在给定的输入信号序列(输入信号函数的采样值)下传递函数模型的输出响应，其主要调用格式为 lsim(sys,u,t,x0) [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) 【实验内容、方法、过程与分析】 已知线性系统 1、利用Matlab求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。 状态响应曲线： A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2]; D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0;0;0]; % 输入初始状态 sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数 [y,x,t]=step(sys); % 绘以时间为横坐标的状态响应曲线图 plot(t,x); grid; 实验一线性控制系统时域分析 1、设控制系统如图1 所示，已知K＝100，试绘制当H分别取H＝0.1 ，0.2 0.5，1, 2，5，10 时，系统的阶跃响应曲线。讨论反馈强度对一阶 系统性能有何影响？ 图1 答: A、绘制系统曲线程序如下： s=tf('s'); p1=(1/(0.1*s+1)); p2=(1/(0.05*s+1)); p3=(1/(0.02*s+1)); p4=(1/(0.01*s+1)); p5=(1/(0.005*s+1)); p6=(1/(0.002*s+1)); p7=(1/(0.001*s+1)); step(p1);hold on; step(p2);hold on; step(p3);hold on; step(p5);hold on; step(p6);hold on; step(p7);hold on; B 、绘制改变H 系统阶跃响应图如下： 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (seconds) A m p l i t u d e 结论： H 的值依次为0.1、0.2、0.5、1、2、5、10做响应曲线。matlab 曲线默认从第一条到第七条颜色依次为蓝、黄、紫、绿、红、青、黑，图中可知随着H 值得增大系统上升时间减小，调整时间减小，有更高的快速性。 2、 二阶系统闭环传函的标准形式为 22 2()2n n n s s s ωψξωω=++，设已知 n ω＝4，试绘制当阻尼比ξ分别取0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1.5, 2, 5 等值时，系统的单位阶跃响应曲线。求出ξ取值 0.2 ，0.5 ，0.8时的超调量，并求出ξ取值 0.2 ，0.5 ，0.8，1.5，5时的调节时间。讨论阻尼比变化对系统性能的影响。 第九章线性系统的状态空间分析与综合 一、教学目的与要求： 通过本章内容的学习，使学生建立起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据方法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。 二、授课主要内容： 1．线性系统的状态空间描述 2．线性系统的可控性与可观测性 3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法与其他数学描述（微分方程、 传递函数矩阵）之间的关系。 2.掌握采用状态空间表述的系统运动分析方法，状态转移矩阵的概念和求解。 3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间 的对偶性。 4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构 造能控、能观测标准形的线性变换方法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解方法。 5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计方法，理解分离 定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。 重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。 四、主要外语词汇 线性系统 linear system 状态空间 state space 状态方程 state equation 状态向量 state vector 传递函数矩阵 translation function matrix 状态转换矩阵 state-transition matrix 可观测标准形 observational standard model 可控标准形 manipulative standard model 李亚普诺夫方程Lyaponov equation 状态观测器 state observation machine 对偶原理 principle of duality 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输入变量、输出变量各指什么？ 2．通过机理分析法建立系统状态空间模型的主要步骤有哪些？ 3．何为多变量系统？如何用传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？ 在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。 5．用非奇异矩阵P对状态方程式进行线性状态变换后，与原状态方程式之间存在什么关系？ 6．试简述系统能控性与能观性两个概念的含义及意义。 7．试述能控性和能观性定义。 8．试述系统能控性和能观性常用判据。 9．何谓对偶系统和对偶原理？ 10．什么是状态方程的线性变换？ 11．试述系统状态方程规范型变换的条件、特点及变换的基本方法。 12．试述状态能控性与能观性和系统传递函数（阵）的关系。 七、参考教材（资料） 1．《自动控制原理与系统》上、下册清华大学吴麒等国防工业出版社 实验二 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 （一）基础知识 时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。 用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。 1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应 1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有： step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线 随即绘出 step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如 t=0:0.1:10） [y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量 在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。 考虑下列系统： 25 425 )()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应 t e t k 25.10125.0)(-= 试求系统闭环传递函数)(s Φ。 解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 T c t c t r t r t ?? +=+()()()()τ 近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ?? ? ?????? ??-+=τln 693.0 t T r =22. T T T t s ?? ??? ? -+=)ln( 3τ 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 1 )()(++=Ts s s R s C τ 1 11 11)(+--= ? ++= ∴ Ts T s s Ts s s C ττ C t h t T T e t T ()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T e t t d ()./==---051τ 12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ????? ???? ??-+=∴ T T T t d τln 2ln 2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间) 当 T t e T T t h /219.0)(--- ==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T t e T T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21 09 01 22ln ... 3) 求 t s T t s s e T T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T T T T T T T T T t s τ ττ-+=+-=--=∴ 3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。 （1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。 第九章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为 b a a a a a E t d di L i R u ++=，t d d K E m b b θ=，a m m i C M =，t d d f t d d J M m m m m m θθ+=2 2； )] ()([)()(2 m b m a a m m a m a m a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ。 ⑴ 设状态变量m x θ=1，m x θ&=2，m x θ&&=3，输出量m y θ=，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量a i x =1，m x θ=2，m x θ&=3，输出量m y θ=，试建立其动态方程； ⑶ 设x T x =，确定两组状态变量间的变换矩阵T 。 解：⑴ 由传递函数得 a m a m m a m b m a m a u C x R J f L x C K f R x J L ++-+-=323)()(&，动态方程为 []x y u x x x x x x 001100010001032121321=??????????+????????????????????--=??????????αα&&&，其中)/()()/()()/(21m a a m m a m a m b m a m a a m J L R J f L J L C K f R J L u C u +=+==αα； ⑵ 由微分方程得 3 133 2311x f x C x J x x u x K x R x L m m m a b a a -==---=&&&，即 []x y u x x x a a a a x x x a 0200010100032133311311321=???? ? ?????+?????????????????? ??=??????????&&&，其中 m m m m a b a a J f a J C a L K a L R a ////33311311-==-=-=； ⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到???? ? ???????????????=??????????3213331 321010001 0x x x a a x x x 。 9-2 设系统的微分方程为 u x x x =++23&&& 其中u 为输入量，x 为输出量。 ⑴ 设状态变量x x =1，x x &=2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。 解：⑴ u x x x x ??????+????????????--=??????1032102121&&，[]?? ????=2101x x y ； ⑵ ??????=??????2121x x T x x ，??????--=2111T ；?? ????--=-11121 T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，? ?????--=2111T ；u x x x x ?? ????-+????????????-=??????1110012121&&，[]??????=2111x x y 。 9-3 设系统的微分方程为 u y y y y 66116=+++&&&&&& 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩 阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。 （2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈:。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题 系统结构如题图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系 第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 【 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 @ 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。 （2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 & （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s ！ 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 第一章线性系统的状态空间描述 1.内容 系统的状态空间描述 化输入—输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换 组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵 2.基本概念 系统的状态和状态变量 状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组 状态变量：构成系统状态的变量 状态向量 设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂，X n(t)写成向量形式称为状态向量，记为 _X i (t) x(t)= _X n(t) 状态空间 状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间 状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条 轨迹。 3. 状态空间表达式 设系统r 个输入变量：U i (t ),u 2(t )^ ,u r (t ) m 个输出：yQM), ,y m (t) n 个状态变量：X i (t),X 2(t), ,X n (t) 例：图示RLC 电路，建立状态空间描述 i L C 电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为 如图中所注, L di L (t) dt Ri L (t) U c (t) =u(t) C 沁 “L (t) dt X i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t) 二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t) Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C 0 匚X 2(— O u(t) U c 输出方程 一般定义 状态方程：状态变量与输入变量之间的关系 dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 】 dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t)；t 】 用向量表示，得到一阶的向量微分方程 x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1 其中 X i (t) U ](t) fQ) “、 X 2(t) - U 2(t) . f 2(?)?Qn X(t) - c R ,u(t)戶；c R , f (?) ^^ ： c R N(t) 一 JU r (t) 一 -f n (叽 输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即 %(t)二 g i X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t ] y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 〔 y(t)二 ％(t)二 1 01 X i (t) 殳(t). 第3章 线性系统的时域分析 3.1 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 3.2 思考与习题祥解 题3.1 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？ （5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？ 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。 图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。 （2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξσe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝0.2～0.4；对于随动控制系统ξ＝0.6～0.8。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈ 。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题3.2系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题3.3 系统结构如题3.3图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系？ 实验报告 实验名称 线性系统时域响应分析 一、 实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、 实验内容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=0.25时的时域性能指标 ss s p r p e t t t ,,,,σ。 2）绘制出当ζ=0.25, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2 ++++= s s s s K s G 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。 三、 实验结果及分析 1.观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 方法一： num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Respinse of G(s)=(s^2+3s+7)/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)') 方法二： num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1 0]; impulse(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-impulse Respinse of G(s)/s=(s^2+3s+7)/(s^5+4s^4+6s^3+4s^2+s)')线性系统的时域分析法(第七讲)
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第3章--线性系统的时域分析--练习与解答
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