人教版初中数学反比例函数知识点

人教版初中数学反比例函数知识点

一、选择题

1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k

y x

=

的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )

A ．20x -<<或04x <<

B ．2x <-或04x <<

C ．2x <-或4x >

D ．20x -<<或4x >

【答案】B 【解析】 【分析】

根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】

观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<， 故选B ． 【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.

2．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝k

x

的图象在第一象限相交于点C ．若AB ＝BC ，△AOB 的面积为3，则k 的值为（ ）

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

【答案】C 【解析】 【分析】

设OB ＝a ，根据相似三角形性质即可表示出点C ，把点C 代入反比例函数即可求得k ．

【详解】

作CD⊥x轴于D，

设OB＝a，(a＞0)

∵△AOB的面积为3，

∴1

2

OA?OB＝3，

∴OA＝6

a

，

∵CD∥OB，

∴OD＝OA＝6

a

，CD＝2OB＝2a，

∴C(6

a

，2a)，

∵反比例函数y＝k

x

经过点C，

∴k＝6

a

×2a＝12，

故选C．

【点睛】

本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．

3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数

4

y

x

的图象上，且﹣

2＜a＜0，则（）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．

【详解】

∵反比例函数y=4

x

中的k=4＞0，

∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限， ∵-2＜a ＜0， ∴0＞y 1＞y 2，

∵C （3，y 3）在第一象限， ∴y 3＞0， ∴213y y y <<， 故选D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．

4．对于反比例函数2

y x

=

，下列说法不正确的是（ ） A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小

【答案】C 【解析】 【详解】

由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A 正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B 正确；C 中，因为2大于0，所以该函数在x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以C 错误；D 中，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，正确， 故选C.

考点：反比例函数 【点睛】

本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化

5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y b

x

=（b ≠0）与二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．

【详解】

A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即

b<0．所以反比例函数y

b

x

=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；

B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即

b>0．所以反比例函数y

b

x

=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即

b>0．所以反比例函数y

b

x

=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即

b>0．所以反比例函数y

b

x

=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．

6．如图直线y＝mx与双曲线y=k

x

交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若

S△AMB＝2，则k的值是()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．

【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝1

2

|k|＝1，

则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y＝k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

7．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长得到2πr=270

180

l

π??

，整理得l=

4

3

r（r＞0），然后根据正比例函数图象求

解．【详解】

解：根据题意得2πr=270

180

l

π??

，所以l=

4

3

r（r＞0），

即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A．

【点睛】

本题考查圆锥的计算；函数的图象．

8．函数

k

y

x

=与y kx k

=-（0

k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.

【详解】

当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；

当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，

故选：C.

【点睛】

此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.

9．如图，点P是反比例函数y=k

x

（x<0）图象上一点，过P向x轴作垂线，垂足为M，连

接OP．若Rt△POM的面积为2，则k的值为（）

A．4 B．2 C．-4 D．-2【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=1

2

|k|=2，然后去绝对值确定满足条件

的k的值．【详解】

解：根据题意得S△POD=1

2

|k|，

所以1

2

|k||=2，

而k＜0，所以k=-4．故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k

x

图象中任取一点，过

这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

10．如图，,A B是双曲线

k

y

x

=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO

-?的

面积为12，则k的值为（）

A．3-B．4-C．5-D．6-

【答案】C

【解析】

【分析】

分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据S△AOB=S梯形ABED+S△AOD- S△BOE =12，故可得出k的值．

【详解】

分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，

∵双曲线

k

y

x

=的图象的一支在第二象限

∴k<0，

∵A，B两点在双曲线

k

y

x

=的图象上，且A，B两点横坐标分别为：-1，-5，

∴A （-1，-k ），B （-5，

5

k -） ∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE

=

1||11||(||)(51)1||525225k k k k ?+?-+??-??=12||5k =12， 解得，k=-5 故选：C ． 【点睛】

本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

11．函数y =1-k

x

与y =2x 的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) A ．k<0 B ．k<1

C ．k>0

D ．k>1

【答案】D 【解析】 【分析】

由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k 的取值范围． 【详解】

令

1-k x =2x ，化简得：x 2=1-2k ；由于两函数无交点，因此1-2k

＜0，即k ＞1． 故选D ． 【点睛】

函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．

12．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数k

y x

=

(0)k ≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若CDE ?的面积是1，则k 的值是（ ）

A ．4

B ．3

C ．25

D ．2

【答案】A

【解析】 【分析】

设E 的坐标是（m ，n ），k=mn ，则C 的坐标是（m ，2n ），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值． 【详解】

解：设E 的坐标是（m ，n ），k=mn ， 则C 的坐标是（m ，2n ）， 在y=

mn

x 中，令y=2n ，解得：x=2

m ， ∵S △CDE =1，

∴

12|n|?|m -2m |=1，即12n×2m

=1， ∴mn=4． ∴k=4． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．

13．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k

y x x

=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．2524

k ≤≤ B ．26k ≤≤ C ．24k ≤≤ D ．46k ≤≤

【答案】A 【解析】 【分析】

由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论． 【详解】

解：令y ＝?x ＋5中x ＝1，则y ＝4， ∴B （1，4）；

令y＝?x＋5中y＝2，则x＝3，∴A（3，2），

当反比例函数

k

y

x

=（x＞0）的图象过点C时，有2＝

1

k

，

解得：k＝2，

将y＝?x＋5代入

k

y

x

=中，整理得：x2?5x＋k＝0，

∵△＝（?5）2?4k≥0，

∴k≤25

4

，

当k＝25

4

时，解得：x＝

5

2

，

∵1＜5

2

＜3，

∴若反比例函数

k

y

x

=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤

25

4

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．

14．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，AOB

V是直角三角形，

90

AOB

∠=?，2

OB OA

=，点B在反比例函数

2

y

x

=上，若点A在反比例函数

k

y

x

=

上，则k的值为()

A．1

2

B．

1

2

-C．

1

4

D．

1

4

-

【答案】B 【解析】【分析】

通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得

1

,

2

x

A

x

??

- ?

??

，然后由

点的坐标即可求得答案． 【详解】

解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：

∵点B 在反比例函数2y x

=上 ∴设2,

B x x ?? ???

∴OE x =，2BE x

= ∵90AOB ∠=?

∴90AOD BOD ∠+∠=? ∴90BOE AOF ∠+∠=? ∵BE x ⊥，AF x ⊥ ∴90BEO OFA ∠=∠=? ∴90OAF AOF ∠+∠=? ∴BOE OAF ∠=∠ ∴BOE OAF V V ∽ ∵2OB OA = ∴

1

2

OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =?

=?=，11222

x AF OE x =?=?= ∴1,2x A x ??

- ???

∵点A 在反比例函数k y x

=

上 ∴12x k x

=

- ∴12

k =-

．

故选：B 【点睛】

本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．

15．如图，点A ，B 在反比例函数1

(0)y x x

=

>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为

3

2

，则k 的值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．

32

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为3

2

，列出方程，求解得出答案. 【详解】 把x=1代入1

y x

=

得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =得：y=12

, ∴B(2,

1

2

), ∵AC//BD// y 轴, ∴C(1,K),D(2,

k 2) ∴AC=k-1,BD=

k 2-12

，

∴S △OAC =1

2

（k-1）×1, S △ABD

=

12 (k 2-12

)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32

， ∴

12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=3

2，解得：k=3; 故答案为B. 【点睛】

:此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.

16．如图，点A ，B 是双曲线18

y x

=

图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k

y x

=

在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．

A ．2516

-

B ．258

-

C ．254

-

D ．25-

【答案】B 【解析】 【分析】

如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出

2

()COF AOE S OC S OA ??=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ??=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函

数的几何意义即可解决问题． 【详解】

解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．

∵A 、B 关于原点对称， ∴OA ＝OB ， ∵AC ＝BC ，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，

∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，

∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°， ∴∠COF ＝∠OAE ， ∴△CFO ∽△OEA ，

∴

2

()COF AOE S OC S OA

??=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ， ∴CA ：OA ＝13：12， ∴CO ：OA ＝5：12， ∴

2()COF AOE S OC S OA ??=＝25144

， ∵S △AOE ＝9， ∴S △COF ＝25

16

， ∴

||25

216

k =， ∵k ＜0， ∴258

k =-

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

17．反比例函数21

k y x

+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a

的取值范围（ ）

A ．1a <-

B ．1a >

C ．11a -<<

D ．这样的a 值不存在

【答案】C 【解析】 【分析】

由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解． 【详解】

210k +>Q ，

∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，

11a a -<+Q ，12y y <，

∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，

10a ∴-<且10a +>，

11a ∴-<<， 故选C ． 【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数的图象有两个分支．

18．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=

k

x

在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】D 【解析】

【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k

x

的图象在第二四象限，据此即可作出判断.

【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点， ∴△=4﹣4（k+1）＞0， 解得k ＜0，

∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限， 反比例函数y=k

x

的图象在第二四象限， 故选D ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.

19．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k

y x x

=

>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）

A ．1

B ．

2 C ．2 D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的 值，本题得以解决． 【详解】

Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA

⊥x 轴，1AB =，

45BAC BAO ?∴∠=∠=， 2

2

OA OB ∴==

，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22??

? ??，

Q 点C 在函数()0k

y x x

=

>的图象上， 2

21k ∴=

?=， 故选：A ． 【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20．使关于x 的分式方程

=2的解为非负数，且使反比例函数y=

图象过第一、三

象限时满足条件的所有整数k 的和为（ ）.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可．∵关于x的分式方程=2的解为

非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k＞0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B．

考点：反比例函数的性质．