《新编基础物理学答案》_第9章

电荷与真空中的静电场

9-1两个小球都带正电，总共带有电荷5.0 105C,如果当两小球相距2.0m时, 任一球受另一球的斥力为1.0N.试求：总电荷在两球上是如何分配的。

分析：运用库仑定律求解。

解：如解图9-1所示，设两小球分别带电q1，q2则有

q1+q2

5. C 1 10 5

①解图9-1

由库仑定律得

F qq?厂29 109盹1②

4 n °r4

由①②联立解得

9-2两根6.0 10 2m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为

0.5 10 3kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与

沿垂线成60°角的位置上。求每一个小球的电量。

分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。解：设两小球带电q，小球受力如解图9-2所示

2

F T cos30 ①

4n 0R 解图9-2

mg T sin30 ②

联立①②得

叫E tan30。③

q

其中

代入③式，得

r

9-3在电场中某一点的场强定义为E —，

q。

若该点没有试验电荷，那么该点是否存在电场？为什么？

答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验

r

r —

电荷q°所受力F与q0成正比，故E 一是与q°无关的。

q。

9-4直角三角形ABC 如题图9-4所示，AB 为斜边，A 点上 J

有一点荷q i 1.8 10 9C ,B 点上有一点电荷q 2 4.8 10 9C ,

已知BC 0.04m , AC 0.03m ,求C 点电场强度E 的大小和;

超

方向(cos37 0.8,sin37

0.6).

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。 解：如解图9-4所示C 点的电场强度为E E r

1 E 2

C 点电场强度E 的大小

方向为

C

即方向与BC 边成33.7 °

9-5两个点电荷q 1 4 10 6C, q 2 8 10 6C 的间距为

0.1m ,求距离它们都是0.1m 处的电场强度E 。 分析：运用点电荷场强

公式及场强叠加原理求解。 解：如解图9-5所示

E 1，E 2沿x 、y 轴分解 电场强度为

9-6有一边长为a 的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点 都放有电荷q ,两个顶点放有电荷一q 。试计算图中在六角 形中心O 点处的场强。

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。 解:如解图 9-6 所示.设 q 1 q 2 q 3 q 6=q , q 4 q 5 =

分析：将带电直线无限分割，取一段电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的 场强，再积分求解。注意：先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后积分，并利 用场强对称性。

解：如解图9-7建立坐标，带电直线上任一电荷元在 P 点产生的场强大小为

题图9-4

解图9-4

解图9-5

点电荷在o 点产生的电场强度大小均为

E E 1

E 2 E 3 L E 6

q 2

4 n Q 3

各电场强度方向如解图9-6所示, E 3与E 6抵消.

根据矢量合成，按余弦定理有 解得 方向垂直向下.

9-7电荷以线密度 均匀地分布在长为I 的直线上， 电直线的中垂线上与带电直线相距为 R 的点的场强。

求带

——H

y v

\ A

题图9-6

解图9-6

根据对称性分析，合场强 首的方向沿y 轴的方向

9-8两个点电荷q i 和q 2相距为I ，若（1）两电荷同号；（2） 两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置 ?

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。

解：如解图9-8所示建立坐标系，取q i 为坐标原点，指向 q 2的方向为x 轴正方向.

（1）两电荷同号.场强为零的点只可能在q i 、q 2之间，设距q i 为x 的A 点.

据题意有E i E 2即

解图9-8

解得

⑵ 两电荷异号?场强为零的点在q i q 2连线的 延长线或反向延长线上，即E i =E 2

解之得：x

dE

dx

4 o (R 2 x 2)

解图9-7

9-9无限长均匀带电直线，电荷线密度为 入被折成互成直角的 两部分?试求如题图9-9所示的P 点和P'点的电场强度. 分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。 解：以P 点为坐标原点，建立如解图9-10 (a)所示坐标系 均匀带电细棒产生的场强公式 E

(cos 1 cos 2)i (sin 2 sin Jj

4 n o a

在P 点

n

1

, 2

n

4

所以竖直棒在P 点的场强为1 水平棒在P 点的场强为 所以在P 点的合场强 即P 点的合场强的大小为 方向与x 轴正方向成45° 同理以P 点为坐标原点，建立如图题 9-10解图⑵坐标

在P 点 3 1 冗,2 n

4 所以竖直棒在P 点的场强为 水平棒在P 点的场强为 i

\ + \ +

\ + \ + 4 \r

+ |

7 +

a +

A

—

所以在P 点的合场强为

即P 点的合场强的大小为 方向与x 轴成-135 ° 9-10无限长均匀带电棒h 上的线电荷密度为1,12上的线 电荷密度为 2 , h 与〔2平行，

在与h , J 垂直的平面上有一 点P,它们之间的距离如题图9-10所示，

求P 点的电场强度。 分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原 理求解。 解：h 在P 点产生的场强为 12在P 点产生的场强大小为 方向如解图9-11所示。把E 2写成分量形式，有

题图9-10

在P 点产生的合场强为

r r r

E E 1 E 2

1

0.8 n 0

解图9-10

9-11 一细棒被弯成半径为R 的半圆形，其上部均匀分布有

电荷Q ,下部均匀分布电荷 Q ，如题图9-11所示,求圆心0 点处的电场强度。

分析：在半圆环说上取电荷元，运用点电荷场强公式及场强 叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元， 运 用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量

题图9-11

分解，再进行对称性分析，然后积分求解。

2Q r

解：把圆环分成无限多线元dl ，dl 所带电量为dq 2Q

dl ，产生的场强为dE n R

则dE 的大小为

解图9-11

把dE 分解成dE x 和dE y ,则

由于Q 、 Q 带电量的对称性，x 轴上的分量相互抵 消，则

所以圆环在0点产生的场强为

9-12.一均匀带电球壳内半径 R 1 6cm ，外半径 R> 10cm ，

电荷体密度为

2 10 5C m

3 4，求：到球心距离r 分别为5cm 、8cm 、12cm 处场点

的场强.

分析 此题属于球对称性电场，三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之 间、外半径以外三个区域，由高斯定理做高斯面求解。

解：根据高斯定理E dS

r 12cm 时,

4 n 3 3

—（R ； R 13）

3

沿半径向外.

9-13两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为 + 6和-2?如题图9-13所示,

(1) 求图中三个区域的场强E 1，E 2，E 3的表达式；

3

3

r

R 1

4

2—

3.48 10 N C 4 n o r

当r 5 cm 时,

q 0

，得

r 8 cm 时， q

/ 3

3

（r

R

；

）

方向沿半径向外.

题图9-13

(2)

若 4.43 10 6C m 2，那么，E i , E ? , E 3各多大？

分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理 求解。 解：(1)无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为

在I 区域

U 区域

川区域 (2)

若 4.43 10 6C m 2 则

9-14点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求

(1) 在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；

(2) 若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的 电通量是多少？ 分析

此题需结合高斯定理以及对称性关系来求解。

解：(1) 由高斯定理可知，通过立方体的总的电通量■ E dS 2

s 0

立方体有六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以 通过每个面的电通量为

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a 的立方体，使q 处于边长2a 的立方体中心，则通过边长2a 的正方形上电通量

边长2a 的正方形共有四个边长a 的正方形，由于对称性，则通过边长 为a 的正方形的电通量为

q 24 09-15 一均匀带电半圆环，半径为

分析：将带电半圆环分割成无数个电

荷元， 根据点电荷电势公式表示电荷元的电 势，再利用电势叠加原理求解。 解：把半圆环无穷分割，如解图 9-15取线元dl ，其带电量为dq —d|，则其

n R

在圆心0的电势为：

. dq Qdl

解图

9-15

du

R ，电量为+Q ，求环心处的电势。

4 n 0R 4 n 0 R n R