备战中考数学二次函数-经典压轴题及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(

3

2

-，15

4

)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，

D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

【分析】

(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、

C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．

【详解】

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴点A(1，0)，

∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，

∴

30

9330

a b

a b

++

?

?

-+

?

＝

＝

，解得：

1

2

a

b

-

?

?

-

?

＝

，

＝

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，

∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，

∴

223

1

y x x

y x

?--+

?

-

?

＝

＝

，解得：1

1

4

5

x

y

-

?

?

-

?

＝

＝

，2

2

1

x

y

＝

，

＝

?

?

?

∴点B(﹣4，﹣5)，

如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，

∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝1

2

(﹣m2

﹣3m+4)(m+4)+

1

2

(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-

5

2

（m+

3

2

）2+

125

8

，

∴当m＝3

2

-时，P最大，

∴点P(3

2

-，

15

4

).

(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴点E(﹣1，﹣2)，

如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，

联立

53

3

y x

y x

+

?

?

+

?

＝

＝

得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．

2．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.

（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；

（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.

【答案】（1）－1，3；（2）0

【解析】

【分析】

（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得

ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【详解】

解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；

（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，

因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0

（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2

b

a =-

A ，

B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b

a a

-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，

∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.

∴b a -

=b

a

-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98

【点睛】

本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.

3．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+

5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-

2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点

P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??

++?＝＝，解得：1

2a b -???

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12

时，点Q 的横坐标为7

2，

∴此时点P 的坐标为（-

12，74

），点Q 的坐标为（72，-9

4）．

设直线PQ 的表达式为y=mx+n ， 将P （-

12，74

）、Q （72，-9

4）代入y=mx+n ，得：

1

724

792

4m n m n ?-+????+-??＝＝，解得：154m n -?????＝＝，

∴直线PQ 的表达式为y=-x+

5

4

． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+5

4）=-x 2+3x+74

， ∴S △DPQ =

12

DE?（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-3

2）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=3

2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-

2x2+6x+7

2

；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；

②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1

2

，

7

4

）或（﹣

3

2

，﹣

9

4

）；②m的值

317

±

或117

2±

【解析】【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）①根据tan∠MBA=

223

3

m m

MG

BG m

-++

=

-

，tan∠BDE=

BE

DE

=

1

2

，由∠MBA=∠BDE，

构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-

m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.

【详解】

（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得到

930

{

3

b c

c

-++=

=

，解得

2

{

3

b

c

=

=

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D坐标（1，4）；

（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，

∴tan∠MBA=

223

3

m m

MG

BG m

-++

=

-

，

∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），

∴BE=2，

∴tan∠BDE=BE

DE =

1

2

，

∵∠MBA=∠BDE，

∴

223

3

m m

m

-++

-

=

1

2

，

当点M在x轴上方时，

223

3

m m

m

-++

-

=

1

2

，

解得m=﹣1

2

或3（舍弃），

∴M（﹣1

2，

7

4

），

当点M 在x 轴下方时，

2233m m m

--- =1

2， 解得m=﹣

3

2

或m=3（舍弃）， ∴点M （﹣

32，﹣9

4

）， 综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣9

4

）； ②如图中，∵MN ∥x 轴，

∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称， ∵四边形MPNQ 是正方形，

∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1， 易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|， 当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得317

±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=117

2

±， ∴满足条件的m 317±117

±. 【点睛】

本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

5．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5

2

时，四边形AOPE面积最大，最大值为

75

8

.（3）P

点的坐标为：P1（3+5，15

-

），P2（

35

2

，

1+5

），P3（

5+5

，

1+5

），

P4（55

2

-

，

15

2

-

）.

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

=1

2

×3×3+

1

2

PG?AE，

=9

2

+

1

2

×3×（-m2+5m-3），

=-3

2

m2+

15

2

m，

=3

2

（m-

5

2

）2+

75

8

，

∵-3

2

＜0，

∴当m=5

2

时，S有最大值是

75

8

；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ， 易得△OMP ≌△PNF ， ∴OM=PN ，

∵P （m ，m 2-4m+3）， 则-m 2+4m-3=2-m ， 解得：m=

5+52

或55

2-，

∴P 的坐标为（

5+5，1+5）或（55-，15-）；

如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，

同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN=FM ， 则-m 2+4m-3=m-2， 解得：3+5

35； P 3+5152-35，1+52

）；

综上所述，点P 5+51+5255-1523+5

15-）或（352，1+5

）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

6．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的

9

16

？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362

(,24

--+． 【解析】 【分析】

（1）二次函数表达式为：()2

14y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长

()()

2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；

（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??=????9

4

PH HG ==，即可求解． 【详解】

（1）二次函数表达式为：()2

14y a x =-+，

将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：2

23y x x =-++…①；

（2）设点M 的坐标为(

)

2

,23x x x -++，则点(

)

2

2,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，

矩形MNHG 的周长()()

2

2

22222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，

∵20-<，故当22b

x a

=-

=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的916

， 则99272316168

PNC S MN GM ?=

??=??=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，

将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，

OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=?=∠，32CD =

设点()

2

,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，

2711

sin4532822

PNC S PK CD PH ?=

=??=???? 解得：9

4

PH HG =

=， 则2

92334

PH x x x =-+++-=， 解得：32

x =， 故点315,24P ??

??

?， 直线n 的表达式为：93

344

y x x =-+-

=-+…②，

联立①②并解得：332

2

x ±=

， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24??+-- ? ???、332362,24??

--+ ? ???； 故点P 坐标为：315,24?? ???或332362,24??+-- ? ???或332362,24??--+ ? ???

． 【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

7．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？

（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；

②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12

x 2

+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】

（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；

（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】

（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，

∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，

AGE ECF AG EC

GAE CEF ∠=∠??

=??∠=∠?

, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；

(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =1

2

(BC-BE)·FN ， 即y=

1

2

x(4-x ）， ∴y=-

12

x 2

+2x （0＜x ＜4)， ②()

()2

22111y x 2x x 4x x 22222

=-

+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．

8．已知抛物线213

22

y x x =-

-的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．

（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）213222y x x =-

-+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，??

- ???

、31122?-+ ??，、31122?-- ??

，． 【解析】 【分析】

（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；

（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 23

2

-x +2． 故答案为y 12=-

x 23

2

-x +2； （2）当y =0时，12-

x 23

2

-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）．

AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）

2

=20．

∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形； （3）y 12=-

x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132

+）2

+n 2254=

+n 2，CP 29

4

=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论： ①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，

254

+n 2

=5，方程无解；

②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（3

2

-，0）； ③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=2112+，n 2=2112

-，P 2（32-

，2112+），P 3（32-，211

2

-）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，2112+），（32-，211

2

-）． 【点睛】

本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．

9．综合与探究 如图，抛物线y=

211

433

x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．

（1）求A ，B ，C 三点的坐标；

（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．

【答案】（1）C （0，﹣4）；（2）Q 5252

﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF 有最大值． 【解析】 【分析】 （1）解方程

13x 2?1

3

x-4=0得A （-3，0），B （4，0），计算自变量为0时的二次函数值得

C 点坐标；

（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC 的解析式为y=x-4，则可设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），讨论：当CQ=CA 时，则m 2+（m-4+4）2=52，

当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标；

（3）过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，由△OBC 为等腰直角三角形．可判断△FQG 为等腰

直角三角形，则FG=QG=

2

FQ ，再证明△FGP ～△AOC 得到34FG PG =，则

PG=

3FQ ，所以PQ=6

FQ ，于是得到，设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m

＜4），则Q （m ，m-4），利用PQ=-13m 2+43m 得到-13m 2+43m ），然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】

（1）当y=0，

13x 2?1

3

x-4=0，解得x 1=-3，x 2=4， ∴A （-3，0），B （4，0），

当x=0，y=

13x 2?1

3

x-4=-4， ∴C （0，-4）；

（2）， 易得直线BC 的解析式为y=x-4， 设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），

当CQ=CA 时，m 2+（m-4+4）2=52，解得m 1m 2（舍去），此时Q 点坐标为

-4）； 当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m 1=1，m 2=0（舍去），此时Q 点坐标为（1，-3）；

当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=25

2

（舍去），

综上所述，满足条件的Q 点坐标为（

2，

2

-4）或（1，-3）； （3）解：过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，

则FG ∥x 轴．由B （4，0），C （0，-4）得△OBC 为等腰直角三角形 ∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG 为等腰直角三角形， ∴FG=QG=

2

2

FQ ， ∵PE ∥AC ，PG ∥CO ， ∴∠FPG=∠ACO ， ∵∠FGP=∠AOC=90°， ∴△FGP ～△AOC ． ∴

FG PG OA CO =，即34FG PG

=， ∴PG=

43FG=43222

FQ ， ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=2

6

FQ ， ∴32

PQ ， 设P （m ，

13m 2-1

3m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4）， ∴PQ=m-4-（13m 2-13m-4）=-13m 2+4

3

m ， ∴32（-13m 2+43m ）2（m-2）242

∵2

＜0， ∴QF 有最大值．

∴当m=2时，QF 有最大值． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

10．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线

y=kx+

2

3

分别与y轴及抛物线交于点C，D．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；

（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=2

28

2

33

x x

+-，BD解析式为y=﹣

22

33

x+；（2）t的值为

4

9

、

15129

6

±

、

23

3

．（3）N点坐标为（﹣2，﹣2），M点坐标为（﹣

3

2

，﹣

5

4

），213

【解析】

分析：（1）利用待定系数法求解可得；

（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、

P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；

（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．

详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，

得

1680

20

a c

a c

-+=

?

?

++=

?

，

解得：

2

3

8

3

a

c

?

=

??

?

?=-

??

，

∴抛物线解析式为：y=2

28

2

33

x x

+-，