对数与对数的运算练习题
对数与对数运算练习题一．选择题
1．2－3＝1
8
化为对数式为( )
A．log1
82＝－3 B．log1
8
(－3)＝2
C．log
21
8
＝－3 D．log
2
(－3)＝
1
8
2．log
63＋log
6
2等于( )
A．6 B．5 C．1 D．log
6
5 3．如果lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x等于( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
5．的值等于( )
A．2＋ 5 B．25
C．2＋
5
2
D．1＋
5
2
6．Log
2
2的值为( ) A．－ 2
C．－1 2
7．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( ) A．a＞5或a<2 B．2＜a＜3或3＜a＜5 C．2 8．方程2log3x＝1 4 的解是( ) A．x＝1 9 B．x＝ x 3 C．x＝ 3 D．x＝9 9．若log 2(log 3 x)＝log 3 (log 4 y)＝log 4 (log 2 z)＝0，则x＋y＋z的值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 10．若102x＝25，则x等于( ) A．lg 1 5 B．lg5 C．2lg5 D．2lg 1 5 11．计算log 89·log 9 32的结果为( ) A．4 12．已知log a x＝2，log b x＝1，log c x＝4(a，b，c，x＞0且≠1)，则log x(abc)＝( ) 二．填空题 1． 2log 5 10＋＝____. 2．方程log 3 (2x－1)＝1的解为x＝_______. 3．若lg(ln x)＝0，则x＝_ ______. 4．方程9x－6·3x－7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 4 8·log 8 m＝log 4 16，则m＝________. 6．已知log a2＝m，log a3＝n，则log a18＝_______.(用m，n表示) 7．log 6[log 4 (log 3 81)]＝_______. 8．使对数式log (x－1) (3－x)有意义的x的取值范围是_______三.计算题 1．计算： (1)2log 2 10＋ (2)错误! (3)log 6 1 12 －2log 6 3＋ 1 3 log 6 27 (4)log 2 (3＋2)＋log 2 (2 －3)； 2．已知log 34·log 4 8·log 8 m＝log 4 16，求m的值．对数与对数运算练习题答案 一．选择题 1． C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8 A 9. A 10. 二．填空题 1. 2 2. 2 3. e 4. x＝log37 5. 9 6. m＋2n 7. 0 8. 1 三．计算题 1.解：(1)2log 210＋＝log 2 (100×＝log 2 4＝2 (2)错误!＝错误!＝错误!＝1 (3)log 6 1 12 －2log 6 3＋ 1 3 log 6 27＝log 6 1 12 －log 6 9＋log 6 3 ＝log 6( 1 12 × 1 9 ×3)＝log 6 1 36 ＝－2. (4)log 2(3＋2)＋log 2 (2－3) ＝log 2(2＋3)(2－3)＝log 2 1＝0. 2. [解析] log 416＝2，log 3 4·log 4 8·log 8 m＝log 3 m＝2， ∴m＝9. 对数的计算以及对数函数的基本性质 1.对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： log (0,1,0) x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10 a =， log 1 a a =， log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即 10log N ； 自然对数：ln N ，即 log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log () n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0 a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象： 定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 1 x y O 1 x y O 奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况： log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x >>==<<< log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x <>==><< 变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。 3.反函数的概念 （1）设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在 C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1 ()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （2）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1 ()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1 ()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则' (,)P b a 在反函数1 ()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题与解析： 例题1：将下列指数式与对数式进行互化. （1）64)4 1 (=x （2）5 15 2 1= - （3）327log 3 1-= （4）664log -=x 解析：（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64 （2）∵51521 =-，∴21 51log 5 -= （3）∵327log 3 1-=，∴27)31(3=- （4）∵log x 64 = –6，∴x － 6 = 64. 例题2：比较下列各组数的大小： （1）log 0.7 1.3和log 0.71.8； （2）log 35和log 64. （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)； 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 b n m b a m a n log log =对数运算法则公式 1、b a b a =log 2、n m n m a a a log log )(log +=? 3、n m n m a a a log log )(log -= 4、b n b a n a log log ?= 5、b n b a a n log 1log = 6、a b b c c a log log log =(换底公式） 7、1log log =?a b b a 1、求值： 1、log 89log 2732 2、lg 243 lg9 3、44912log 3log 2log 32?- 4、9 1log 81log 251log 532?? 5、4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ 6、2345log 3log 4log 5log 2 7、0.21log 35 - 8、log 427·log 94＋log 44 64； 9、(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258) 10、log 932·log 6427＋log 92·log 427. 1．82log 9log 3 的值是 2．34 3的值是 3．2323223log 2log 3(log 2log 3)log 3log 2 +--的值是 4．若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是 A ．1m n >> B ．1n m >> C ．10m n >>> D ．10n m >>> 5．233351log 5log 15log 5log 3 ?--的值是 A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．3log 5 6．若3log 124 x =，则x ＝_____________． 7．有下列五个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0 ①log ()log log a a a x y x y +=+， ②log ()log log a a a x y x y +=?， ③1log log log 2 a a a x x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ?=?， ⑤22log ()2(log log )a a a x y x y -=- 将其中正确等式的代号写在横线上______________． 8．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+- (2)3lg lg 70lg 37+- (3) 2lg 2lg5lg 201+?- 对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数? 课后导练 基础达标 12.3=8写成对数式为( ) A.log 28=3 B.log 82=3 C.log 38=2 D.log 32=8 答案：A 2.log 2 8 1=-3写成指数式为( ) A.2-3=81 B.3-2=81 C.( 81)-3=2 D.(-3)2=81 答案：A 3.已知4x =6 1,则x 等于( ) A.4 B.-4 C.log 4 61 D.log 614 答案：C 4.设5lgx =25,则x 的值等于( ) A.10 B.±10 C.100 D.±100 解析：5lgx =52,∴lgx=2.∴x=100. 答案：C 5.lg10+lg100+lg1000等于( ) A.10 B.100 C.1000 D.6 答案：D 6.若f(10x )=x,则f(3)的值为( ) A.log 310 B.lg3 C.103 D.310 解析：令10x =3, ∴x=log 103=lg3. 答案：B 7.log 333等于( ) A.3 B.3 C.33 D.33 解析：令log 333=x, ∴(3)x =33=(3)3. ∴x=3. 答案：A 8.对数式log (a-2)(5-a)=b 中,实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 解析：由?? ???≠->->-,12,02,05a a a 得2 答案：C 9.log x (2-1)=-1,则x=______. 解析：x -1=2-1,即x 1=2-1. ∴x=121 -=2+1. 答案：2+1 10.23log 32+=________. 解析：23log 32+=23×23log 2=8×3=24. 答案：24 综合运用 11.下列各式中值为零的是( ) A.log a a B.log a b-log b a C.log a (log b b) D.log a (log a a 2) 答案：C 12.下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) A.100=1与lg1=0 B.2731 -=31与log 2731=31 - C.log 39=2与921 =3 D.log 55=1与51=5 解析：对于C,log 39=2→32=9;921 =3→log 93=21. ∴选C. 答案：C 13.已知f(x)=2x ,则f(log 25)=________. 答案：5 14.求值:(1)lg0.01; (2)log 3 19. 解析：(1)令lg0.01=x,∴10x =0.01, 即10x =10-2.∴x=-2. ∴lg0.01=-2. (2)令log 3 19=x, ∴(31 )x =9,即3-x =32. §2.2.1 对数与对数运算（一） ¤知识要点： 1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在 科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =?=. 4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲： 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）71 2128 -= ； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12 log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）. 第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一） ※基础达标 1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 0 1ln10e ==与 B. 1()3 81118 log 223 -==-与 C. 12 3log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）. A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 4．设13 log 82 x =，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 1 4 5．已知432log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ）. A. 1 3 B. C. D. 6．若21 log 3 x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = . 7．计算： = ； 6lg 0.1= . ※能力提高 8．求下列各式的值：（1） 8； （2）9log 课时作业17 对数及其运算 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若x ＝y 2(y >0，且y ≠1)，则必有( ) A ．log 2x ＝y B ．log 2y ＝x C ．log x y ＝2 D ．log y x ＝2 【解析】 因为x ＝y 2(y >0，且y ≠1)，所以log y x ＝log y y 2＝2. 【答案】 D 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 【解析】 由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4，又x >0且x ≠1，所以x ＝4. 【答案】 B 3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ? ????y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B.12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D.12m －2n ＋2 【解析】 因为lg x ＝m ，lg y ＝n ， 所以lg x －lg ? ?? ??y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D. 【答案】 D 4．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．20， 5－b >0，5－b ≠1，所以2 【解析】 (1)24＝16；(2)? ?? ??13－3＝27； (3)(3)6＝x ；(4)log 464＝3； (5)log 319＝－2；(6)log 1416＝－2. 10．化简：(1)lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3 lg81－lg27 ； (2)(lg5)2＋lg2lg50＋2211+log 52. 【解析】 (1)法一：(正用公式)： 原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg3 4lg3－3lg3 ＝? ????1＋45＋910－12lg3lg3 ＝115. 法二：(逆用公式)： (2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log 25＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＋25＝1＋2 5. |能力提升|(20分钟，40分) 11．设9a ＝45，log 95＝b ，则( ) A ．a ＝b ＋9 B ．a －b ＝1 C ．a ＝9b D ．a ÷b ＝1 【解析】 由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1. 对数运算与对数函数 已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算. 【对数运算的相关问题】 1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底 数，N 叫做真数. 2指数式与对数式的互化 如图1.10—1所示. ②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：① . ② . 证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都 可以用一个对数表示. 说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？ 由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b =1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1. 例1.化简下列各式：(1). (2) . 解: (1)原式=31 ×=3×6=18. (2)原式=. 4.对数运算性质 如果 (1). (2)= . (3) ． 5.换底公式及推论 ①换底公式：. ②推论1： . a b =N b=log a N ? 指数式← →对数式 底数 指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1 ③推论2：． 例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数， ∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(), 又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= . 例3.求值. (1). (2)lg52++lg5lg20+lg22. 解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3. 法2.原式= (2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3. 例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645. (2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc. (3)若.求的值. 解:(1)法1.由log189=a,得a=log18 又由18b=5,得b=log185, ∴log3645= 法2. log189=a,得， 再由b=log185= ∴log3645= (2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2， 1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x =4 9时，不等式 (x 2 – x – 2)＞ (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立. ∴[249)49(2--]＞ )34 9 2)49(1[2+?+? 即16 13＞16 39. 而16 13＜16 39. 所以y = 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ????++-<-->++->--3220 320222 2 2x x x x x x x x ， 解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5, 2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212 221log log 11x x x x ---2 1221 (1) log (1)x x x x -=-= .11log 2 1 122 x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴1 2x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 122 11log x x x x --? ＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = (a – ) (a ＞1). 对数运算、对数函数经典例题讲义 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________． 3．对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝____. 对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 高一数学 对数的运算 【教学目标】要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 【教学重点】换底公式的应用 【教学难点】换底公式的应用 【教学过程】 一 复习引入 用常用对数表示：5log 3 3 lg 5 lg 5lg 3lg 53,5log :3= ∴=∴==t t t t 则设分析 二 新课讲解 ⒈ 换底公式：a N N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） () b b a n a n log log :=特例 例1 计算 ⑴ 32log 9log 38? ⑵ 3 log 9 log 28 ⑶ ?? ? ??-++223223log 2 ⑷ 3log 8log 9 14- ⑸ 4 2 1 938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++ 分析：原式4 5 2 133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++= 45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 2 54545452log 233log 6532=+=+?= 例2 ⑴ 2 1 log log 9log 7log 4 1 4923=??x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 5 〖练习〗若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p 又∵ q == 3 lg 5 lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq pq 3135lg += 对数函数公式的推导（全） 由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式 特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M = 对数 来自维基百科 各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点（1,0），因为任何数的0次幂都是1，而底数β的函数通过点（β, 1），因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。 在数学中，数?x（对于底数?β）的对数是βy?的指数?y，使得?x=βy。底数?β?的值一定不能是1或0(在扩展到复数的复对数情况下不能是1的方根)，典型的是e、?10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为 。 当x和β进一步限制为正实数的时候，对数是1个唯一的实数。例如，因为 ， 我们可以得出 ， 用日常语言说，对81以3为基的对数是4。 对数函数 函数log αx依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如log αx的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所 以对每个基的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数y= αx的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。 对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。 对数函数的性质有： 1.都过(1,0)点； 2.定义域为|R|≠0，值域为R； 3.α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。常用公式 ?和差 ?基变换 ?指系 ?还原 ?互换 ?倒数 链式 有理和无理指数 如果n是有理数，βn表示等于β的n个因子的乘积: 。 但是，如果β是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。 性质 ①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN=N (a>0 ，a≠1） 3运算法则 ①loga(MN)=l ogaM+l ogaN； ②loga(M/N)=l ogaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM； 如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数 的底。定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M) 推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 高一数学对数运算及对数函数 一：选择题 1．若log 7[log 3（log 2x ）]=0，则为（ ） A ． B ． C ． D ． 解：∵log 7[log 3（log 2x ）]=0， ∴log 3（log 2x ）=1， ∴log 2x=3， ∴x=8， ∴ = = = ． 故选D ． 2．23(log 9)(log 4)?=（ ） （A ） 14 （B ）1 2 （C ） 2 （D ）4 【答案】D 3．的值是（ C ） A ． 12 B ． C ． ﹣12 D ． 解：=log 6（4×9）+2﹣16=﹣12， 故选C ． 4．实数﹣ ?+lg4+2lg5的值为（ D ） A ． 25 B ． 28 C ． 32 D ． 33 解： ﹣? +lg4+2lg5= ﹣2×（﹣2）+lg （4×25）=27+4+2=33， 故选D ． b A ． B ． C ． D ． 解：∵lg2=a ，10b =3， ∴lg3=b ， ∴log 125= = = ． 故选C． 6．lgx+lgy=2lg（x﹣2y），则的值的集合是（） A．{1} B．{2} C．{1，0} D．{2，0} 解：∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），∴lg（x﹣2y）2=lgxy， ∴（x﹣2y）2=xy，∴x2﹣5xy+4y2=0， ∴﹣5?+4=0，∴=1（舍去）或=4， 故=log24=2， 故选B． 7．已知f（e x）=x，则f（5）等于（D） A．e5B．5e C．l og5e D．l n5 解：∵f（e x）=x，令e x=t，解得x=lnt， ∴f（t）=lnt（t＞0）， ∴f（5）=ln5， 故选D． 8．设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＜a＜b 解：因为， 又1.8＞1.5＞1.44， 函数y=2x是增函数，所以a＞c＞b． 故选B． 9．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（A） C．2D．﹣2 A．B． ﹣ 解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n ∴f（x）=x n 又∵由幂函数y=f（x）的图象过点 ∴， 故选A． 10．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（） A．1B．2C．3D．4解：∵，对数的计算以及对数函数的基本性质
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