概率论例题

概率论例题

例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。

解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=

!

k e k λ

λ-

Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k

P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=

!

k e k λ

λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k

当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布

P{Y = r }=∑+∞

===0

},{k r y k x P =∑+∞

====0

}/{}{k k x r y P k x P =∑

+∞

=--r

k r k r r k k

q p C e k λλ!

=∑+∞

=--+--r k r k r

q r r k k k k p e )(!)

1()1(!

1)

(λλλ =∑+∞=---r k r

k r

rq r k r p e )()!

(1!1)(λλ

=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律

∑+∞

==0

}{r r y P = 1 ？

例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时，

2()()

()

F y P y P y ηηξ=<=<

=

当

0y >时

2()()())

F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<

2

2

2

2

12()t t t dt dt dt ξ--===

2

20

u u y

y

e

-

-=

=?

?

所以

20

,0()0,0u y y F y y η-?>?=??≤??

1

y --?

这样平均来说,可以减少40%的工作量.

例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为

一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为

在上表中，例如

其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为

32132

()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636

E X =?????（分）.

例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：

1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；

23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.

设寿命X 服从指数分布，概率密度为

10

1, 0 ()100 , 0x

e x

f x x -?>?=???

≤

试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望.

解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有

1

/10

0.10

1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=?

≤ 2

0.20.310

1

1{12}d 0.086110

x P X e x e e ---<==-=?

≤,

3/10

0.20.321{23}d 0.077910

x P X e x e e ---<==-=?

≤, 0.310

3

1{3}d 0.0740810

x P X e x e ∞

-->===?

. 一台收费

得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □

例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.

由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有

{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.

又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤

即有

()()()m a x X Y F z F z F z =.

类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->?>≤.

即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---????????.

例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为

1, 0 ()0.0 , 0x e x f x x θθ-?>?=>???

，

≤，

若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.

解 (1,2)k X k =的分布函数为

1,0,()0,0.

x e x F x x θ-??

->=???≤

由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为

22min 1, 0()1[1()] 0, 0

x

e x F x F x x θ-??

->=--=???≤

因而N 的概率密度为

2min , 0

()2

0, 0x

e x

f x x θθ-?>?=???

≤ 于是N 的数学期望为

2/min 0

2()()d d 2

x x

E N xf x x e x θθ

θ

∞

∞

--∞

=

==

??

.

例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。如果到达一个车站没有人下车则不停车。以X 表示停车的次数，求E X （设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立）。

解 引人随机变量

0, 1,2,

,10.1,i i X i i ?==??

在第站没有人下车，在第站有人下车，

易知 1210.X X X X =++

+ 现在来求()E X .

按题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率为10

9

, 因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为(

109)20,在第i 站有人下车的概率为1－(10

9

)20，也就是 202099

{0}(),{1}1(),1,2,

,10.1010

i i P X P X i ====-=

由此

209

()1(),1,2,

10.10

i E X i =-=

进而 1210()()E X E X X X =+++

121020

()()()

9 10[1()]8.784().

10

E X E X E X =++

=-=次