高中数学吧必修2第四章知识点总结
高中数学吧必修２第四章知识点总结
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：2
22()
()x a y b r -+-=
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220
0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：022
=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02
2
=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、
z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
2
2122122121)
()()(z z y y x x P P -+-+-=
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第四章 圆与方程
一、选择题，
1．若圆C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆C 经过点M (5－7)，则圆C 的半径为( )． A ．5
B ．5
C ．25
D ．10
2．过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4
y
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．
A．0或2 B．2 C．2D．无解
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．
A．8 B．6 C．62D．43
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离
7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．
A．4条B．3条C．2条D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；
点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；
点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是()．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．
A．243B．221C．9 D．86
二、填空题
11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．
19．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．
20．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．
第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题 1．B
圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋
5－2)()(＝5． 2．C
解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标
(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．
∴选C ．
解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．
因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 3．B
解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)， ∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16． 4．B
解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切， ∴(0，0)到直线距离等于m ．
∴2
m ＝m ，
∴m ＝2． 5．A
解析：令y ＝0， ∴(x －1)2＝16． ∴ x －1＝±4， ∴x 1＝5，x 2＝－3． ∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B
解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ．
7．A
解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得 (x －1)2＋y 2＝6，(x ＋1)2＋(y －2)2＝9．
圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)． 直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ．
9．C
解：①②③错，④对．选C ． 10．D
解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题 11．2．
解析：圆心到直线的距离d ＝
5
8＋4＋3＝3，
∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2． 12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1． 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1． 13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．
14．0或±25．
解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25． 当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知
22＋4a ＝4，即a ＝0．
∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离； 16．x ＋y －4＝0．
解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB
与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则所求直线方程为x ＋y －4＝0．
三、解答题 17．x 2＋y 2＝36．
解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设 所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5
152=r ，所
以r ＝6，所求圆方程为
x 2＋y 2＝36．
(第17题)
18．x 2＋y 2－ax －by ＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0． ∵圆过(a ，0)和(0，b )， ∴a 2＋Da ＝0，b 2＋bE ＝0． 又∵a ≠0，b ≠0， ∴D ＝－a ，E ＝－b ．
故所求圆方程为x 2＋y 2－ax －by ＝0． 19．x 2＋y 2－2x －12＝0．
解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． ∵A ，B 两点在圆上，代入方程整理得： D －3E －F ＝10 ① 4D ＋2E ＋F ＝－20
②
设纵截距为b 1，b 2，横截距为a 1，a 2．在圆的方程中，令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0， ∴b 1＋b 2＝－E ；令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴a 1＋a 2＝－D ． 由已知有－D －E ＝2．③
①②③联立方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 根据题意：r ＝
2
6
10-＝2，
第17 题
圆心的横坐标a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．