2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 4 数学归纳法 Word版含解析

第一章 §4

1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )

A ．假设当n ＝2k ＋1时正确，再推当n ＝2k ＋3时正确

B ．假设当n ＝2k －1时正确，再推当n ＝2k ＋1时正确

C ．假设当n ＝k 时正确，再推当n ＝k ＋1时正确

D ．假设当n ≤k (k ≥1)时正确，再推当n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)

解析：因为n 为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k 个正奇数成立，即假设当n ＝2k －1时正确，再推第(k ＋1)个正奇数即当n ＝2k ＋1时正确． 答案：B

2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1

(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1

B ．15

C ．1＋12＋13＋14＋15

D ．非以上答案

解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…16n －1

， ∴f (1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1

＝1＋12＋13＋14＋15. 答案：C

3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12

n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12

＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案：B

4．用数学归纳法证明

1＋2＋22＋…＋2n －

1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

②假设当n ＝k 时，等式成立，即

1＋2＋22＋…＋2k －

1＝2k －1，

则当n ＝k ＋1时，

1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k

＝1－2k ＋1

1－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．

由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．

上述证明错误的是________．

解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是

1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋

1－1， 即一定用上第二步中的假设．

答案：没有用上归纳假设进行递推

5．用数学归纳法证明：

????1－14????1－19????1－116…????1－1n 2＝n ＋12n

(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34

，∴左边＝右边．∴n ＝2时等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，

即????1－14????1－19…????1－1k 2＝k ＋12k ，

那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：

????1－14????1－19…????1－1k 2???

?1－1

(k ＋1)2 ＝

k ＋12k ???1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)

， ∴即n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)和(2)，可知对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．