泛函分析知识点

泛函分析知识点

知识体系概述

（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y;

（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间

例1 离散的度量空间 例2 序列空间S

例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)

例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2

第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球

定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义

U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}

为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限

定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞

= 则称x 是点列{x n }的极限.

3. 有界集

定义 若()(),sup ,x y A

d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界

4. 稠密集

定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间

定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

第三节 连续映射

1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~

d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意

给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足

()0,d x x δ

<

的x ，有

()~

0,d Tx Tx ε

<，

则称T 在

x 连续.

2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ?? ?

?

?中的映射，那么T 在

0x X

∈连续的充

要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞

3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.

第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间

1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，

存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有

(),n m d x x ε<，

则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d ）中每个柯西点列都在 （X,d ）中收敛，那么称（X,d ）是完备的度量空间.

【注意】（1）Q 不是完备集 （2）n

R 完备

（3）cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列. （4）C[a,b]完备

2.定理 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化

1.定义 设（X,d ）,( ~

X ,~

d )是两个度量空间，如果存在X 到~

X 上的保距映射T ，即

()()~,,d Tx Ty d x y =，则称（X,d ）和( ~X ,~d )等距同构，此时T 称为X 到~

X 上等距

同构映射。

2.定理1（度量空间的完备化定理） 设X=（X,d ）是度量空间，那么一定存在一完

备度量空间~X =( ~X ,~d )，使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且~

X 在等距同

构意义下是唯一的，即若( ^X ,^d )也是一完备度量空间，且X 与~

X 的某个稠密子空间等距同构，则( ~

X ,~

d )与( ^X ,^

d )等距同构。

3.定理1’ 设X=（X,d ）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间~X =( ~X ,~

d )，

使X 为~

X 的稠密子空间。

第六节 压缩映射原理及其应用

1.定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，0<α<1，使得对所有的,x y X ∈,

()(),,d Tx Ty d x y α≤,

则称T 是压缩映射。

2.定理1（压缩映射定理）（即Barnach 不动点定理） 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）. 补充定义：若Tx=x,则称x 是T 的不动点。

x 是T 的不动点?x 是方程Tx=x 的解。 3.定理2 设函数(),f x y 在带状域 ,a x b y ≤≤-∞<<∞

中处处连续，且处处有关于y 的偏导数()'

,y f x y .如果还存在常数m 和M 满足

()'

0,,y m f x y M m M <≤≤<,

则方程(),0f x y =在区间[],a b 上必有唯一的连续函数()y x ?=作为解： ()()

[],0,,f x x x a b ?≡∈

第七节 线性空间

1.定义1 设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：

（1）关于加法成为交换群，即对任意x,y ∈X ，存在u ∈X 与之相对应，记为u=x+y,称为x 和y 的和，满足 1）x y y x +=+；

2）()()()

,,x y z x y z x y z X ++=++∈任何；

3）在X 中存在唯一元素θ，使对任何x X ∈,成立x x θ+=，称θ为X 中零元素；

4）对X 中每个元素x ，存在唯一元素x X '∈，使x x θ'+=，称x '为x 的负元素，记为x -； （2）对于X 中每个元素x X ∈，及任意实数（或复数）a ，存在元素u X ∈与之对应，记为u ax =，称为a 与x 的数积，满足 1）1x x =；

2）()()a bx ab x =对任意实数（或复数）a 和b 成立；

3）()(),a b x ax bx a x y ax by +=++=+，

则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X 是实（复）线性空间。

例1 R n ,对R n 中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn ), ax=(a ξ1 ,a ξ2,…,a ξn ).

容易验证R n 按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2 设x 1 ,x 2,…,x n 是线性空间X 中的向量,如果存在n 个不全为零的数α1,α

2

,…,αn ,使

α1 x 1 +α2 x 2 +…+αn x n =0, (1)

则称x 1,x 2 ,…,x n 线性相关,否则称为线性无关.

不难看出,x 1,x 2,…,x n 线性无关的充要条件为,若10n

i i i x α==∑,

必有α1 =α2 =…=αn =0.

3.定义3 设M 是线性空间X 的一个子集,如果M 中任意有限个向量都线性无关,则称M 是X 中线性无关子集.设M 和L 为X 中两个子集,若M 中任何向量与L 中任何向量都线性无关,则称M 和L 线性无关.

4.定义4 设X 是线性空间, M 是X 中线性无关子集,如果·spanM= X,则称M 的基数为X 的维数,记为dim X, M 称为X 的一组基.如果M 的基数为有限数,则称X 是有限维线性空间,否则称X 是无限维线性空间.如果X 只含零元素,称X 为零维线性空间.

第八节 赋范线性空间和巴拿赫（Banach ）空间

1.定义1 设X 是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x ∈X,有一个确定的实数,记为‖x ‖与之对应,并且满足:

1°‖x ‖≥0,且‖x ‖=0等价于x=0; 2°‖αx ‖=|α|‖x ‖其中α为任意实(复)数; 3°‖x+y ‖≤‖x ‖+‖y ‖,x,y ∈X,

则称‖x ‖为向量x 的范数,称X 按范数‖x ‖成为赋范线性空间. 2. 引理1(H ?lder 不等式) 设p>1, 11

1p q

+=，[][],,,p q f L a b g L a b ∈∈那么f(t)g(t)在[a,b]上L 可积,并且

()(

)b

p

q a

f t

g t dt f

g ≤?

3引理2(Minkowski 不等式) 设p ≥1,f,g ∈L p [a,b],那么f+g ∈L p [a,b],并且成立不等式

‖f+g ‖p ≤‖f ‖p +‖g ‖p

4.定理1 当p ≥1时,L p [a,b]按(6)中范数‖f ‖p 成为赋范线性空间.

5.定理2 L p [a,b](p ≥1)是Banach 空间.

6.定理3 设X 是n 维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X 的一组基,则存在常数M 和M ′,使得对一切

1n

k k k x e ξ==∑

成立

12

21n

k k M x M x ξ=??

'≤≤ ???

∑.

7.推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x ‖和‖x ‖1 ,那么必存在常数M 和

M ′,使得

M ‖x ‖≤‖x ‖1 ≤M ′‖x ‖.

8. 定义2 设(R 1,‖x ‖1 )和(R 2 ,‖x ‖2 )是两个赋范线性空间.如果存在从R 1 到R 2 上的线性映射φ和正数c 1 ,c 2,使得对一切x ∈R 1,成立

c 1 ‖φx ‖2 ≤‖x ‖1 ≤c 2 ‖φx ‖2

则称(R 1 ,‖x ‖1)和(R 2,‖x ‖2 )这两个赋范空间是拓扑同构的.

8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.

(二)有界线性算子和连续线性泛函

第一节 有界线性算子和连续线性泛函

定义1 设X 和Y 是两个同为实(或复)的线性空间,D 是X 的线性子空间,T 为D 到Y 中的映射,如果对任何x,y ∈D,及数α,有

T(x+y)= Tx+ Ty, (1)

T(αx)=αTx, (2)

则称T 为D 到Y 中的线性算子,其中D 称为T 的定义域,记为D(T),TD 称为T 的值域,记为R(T),当T 取值于实(或复)数域时,就称T 为实(或复)线性泛函.

定义2 设X 和Y 是两个赋范线性空间,T 是X 的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x ∈D(T),有

‖Tx ‖≤c ‖x ‖, (3)

则称T 是D(T)到Y 中的有界线性算子,当D(T)= X 时,称T 为X 到Y 中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.

定理1 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子,则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上连续算子.

定理2 设X 是赋范线性空间,f 是X 上线性泛函,那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间N(f)是X 中的闭子空间

定义3 T 为赋范线性空间X 的子空间D(T)到赋范线性空 间Y 中的线性算子,称

()

0sup

x x D T Tx

T x

≠∈= (4) 为算子T 在D(T)上的范数.

引理1 设T 是D(T)上有界线性算子,那么

()

()1

1

sup sup x D T x D T x x T Tx Tx ∈∈=≤== （6）

Ⅲ. 有界线性算子和连续线性泛函的例子

例6 赋范线性空间X 上的相似算子Tx=αx 是有界线性算子,且‖T ‖=|α|,特别‖I X ‖=1,‖O ‖=0.

第二节 有界线性算子空间和共轭空间 Ⅰ. 有界线性算子全体所成空间

定理1 当Y 是Banach 空间时,B(X →Y)也是Banach 空间. Ⅱ. 共轭空间

定义1 设X 是赋范线性空间,令X ′表示X 上连续线性泛函全体所成的空间,称为X 的共轭空间.

定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach 空间.

定义2 设X 和Y 是两个赋范线性空间,T 是X 到Y 中的线性算子,并且对所有x

∈X,有

‖Tx‖=‖x‖,

则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时称X与Y同构.

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