无约束优化:不对定义域或值域做任何限制的情况下,求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中,许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数,对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点,因此只要能求得这类函数的一个最小值点,该点一定为全局最小值。
(直接法:又称数值方法,它只需计算目标函数驻点的函数数值,而不是求其倒数,如坐标轮换法,单纯型法等。
间接法:又称解析法,是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造何种算法,从而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。)
在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k
设Φ(a)=f(x k+ad k)
这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间,然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间,进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到
极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)
则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;
如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用
户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维
搜索。
由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的
一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量较少的不精确一维搜索方法受到了广泛的重视和欢迎。
精确一维搜索,作为一种理想的状态,虽然在实际计算中被采用的概率较之不精确一维搜索要小,但有关精确一维搜索技术的研究历史悠久成果相当丰富,方法众多,其理论体系也相对比较完备,对其进行进一步的研究仍有着重要的理论意义和现实意义。通常我们根据算法中有无使用导数的情况,将精确一维搜索算法分为两大类:一类是不用函数导数的方法,这其中就包括二分法(又称作对分法或中点法)、0.618法(黄金分割脚、Fibonacci法(分数法)、割线法、成功一失败法等;另一类是使用函数导数的方法,包括经典的Newton法、抛物线法以及各种插值类方法等。
(1)在不用导数的方法中,二分法、0.618法(黄金分割法)以及Fibonacci法均是分割方法,其基本思想就是通过取试探点和进行函数值比较,使包含极小点的搜索区间不断缩短,当区间长度缩短到一定程度时,区间上各点的函数值均接近函数的极小值,从而各点均可看作极小点的近似。分割类方法仅需计算函数值,因此使用的范围较广,尤其适用于非光滑及导数表达式复杂或写不出等情形。
二分法是一种最简单的分割方法,每次迭代都将搜索区间缩短一半,故二分法的收敛速度是线性的,收敛比为0.5,收敛速度较慢。其优势就是每一步迭代的计算量都相对较小,程序简单,而且总能收敛到一个局部极小点。
黄金分割法是一种针对目标函数是单峰函数亦即目标函数为凸的情形的分割类方法,因其不要求函数可微,且每次迭代只需计算一个函数值,程序简单容易实现而被广泛采用。由于黄金分割法是以等比例τ=0.618分割缩小区间的,因此它是一种近似最优方法。针对在实际中遇到的目标函数往往不是单峰函数的情况,HPonfiger(1976)提出了.0618法的改进形式,即在缩小区间时,不只是比较两个内点处的函数值,而是对两内点及其两端点处的函数值进行综合比较,以避免搜索得到的函数值反而比初始区间端点处的函数值大的情况。经过这样的修改,算法比.0618法要更加可靠。
Fibonacci法是另一种与.0618法相类似的分割类方法,两者的主要区别在于Fibonacci法搜索区间的缩短比率不是采用黄金分割数τ,而是采用Fibonacci数列。在使用Fibonacci法时,通常是由用户给定最终区间长度的上限,从而确定探索点的个数,逐步进行搜索。通过对Fibonacci数列进行分析表明,在迭代次数n趋于无穷的情形。Fibonacci法与.0618法的区间缩短率相同,因而Fibonacci法的收敛速度也是线性的,收敛比也是黄金分割数τ。可以证明,Fibonacci法是分割方法求解一维极小化问题的最优策略,而0.618法只是近似最优的,但因0.618法不必预先知道探索点的个数,程序实现更加容易,因而应用也更加广泛。
抛物线法也可称作三点二次插值法,其基本思想与下面要叙述的牛顿法相同,也是用二次函数
近似目标函数,并以其极小点去近似目标函数的极小点,不同之处是牛顿法是利用目标函数fx()在x0处的二阶Tyalor展式来逼近f(x),而抛物线法则是利用目标函数fx()在三个点x0,xl,xZ处的函数值构造一个二次函数作为其近似。一般地,抛物线法并不能保证算法一定收敛,在迭代过程中有可能会出现相邻迭代点x k,x k+1充分接近且x k+1并非函数近似极小点的退化情况。但在己知迭代点列收敛到目标函数极小点的情况,可以证明:在一定的条件下,抛物线法是超线性收敛的,收敛的阶约为1.3。
割线法与分割法类似,也是通过取试探点和进行函数值比较,使包含所求点的搜索区间缩小,但试探点的取法与分割法不同,它是选取连接两个端点的线段与横轴的交点作为试探点。割线法不能保证每次都使搜索区间缩小一定的比例,因而不具有全局线性收敛性,但是它却利用了函数的一些性质。在函数接近线性时,它是非常快的。如果函数本身是线性函数时,它可以一步找到解。
(ii)一般地,使用导数的方法通常包括牛顿法、插值法等,其中插值法又有一点二次插值法(牛顿法)、二点二次插值法)、三点二次插值法以及三次插值法、有理插植法等常用方法。
求一维无约束极小化问题的牛顿法是从计算方法中方程求根的牛顿法演化而来的,其基本思想是用目标函数f (x)在己知点x0处的二阶Tylor展式g (x)来近似代替目标函数,用g (x)的极小点作为f (x)的近似极小点,迭代公式是
x k+1=x k=f′(x k) f′′(x k)
牛顿法的优点是收敛速度快,具有局部二阶收敛速度;缺点是要在每个迭代点处计算函数的二阶导数值,增加了每次迭代的工作量,而且它要求迭代初始点要选的好,也就是说初始点不能离极小值太远,在极小点未知的情况下,做到这一点是很困难的,这就限制了算法的应用范围,导致算法不实用。事实上,牛顿法也是插值类方法的一种。插值法是一类重要的一维搜索方法,其基本思想是在搜索区间内不断用低次(通常不超过三次)多项式来逼近目标函数,并用插值多项式的极小点去近似目标函数的极小点。实践表明,在目标函数具有较好的解析性质时,插值方法比直接方法(如.0618或Fibonacci法)效果更好。
所谓不精确一维搜索方法是指应用各种可接受的步长选择律的线性搜索方法。常用的不精确一维搜索算法包括利用简单准则的后退方法、经典的Armijo-Goldstein方法、Wolfe-Powell方法和强Wolfe-Powell方法、以及其后发展起来的利用Curry-Altman步长律、改进的Curry-Altman步长律、Danilin-Pshenichuyi步长律、De Leone-Grippo步长律、Backtracking步长律等的各种方法
(P19-24)
坐标轮换法:可靠性较高,算法效率太低,操作方便,一般只用于低维问题,n<10 鲍威尔法:可靠性高,算法效率较高,操作较复杂,一般适用于n<10~20的问题
梯度法:可靠性较高,算法效率低,操作方便用于低维、低精度的问题。
牛顿法:可靠性低,算法效率高,操作不方便,很少用。
变尺度法:可靠性高(BFGS比DFP更高),算法效率高,使用较复杂,适用于高维问题
斐波那契法 一维搜索方法
短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。 解:由题意=δ5%,由斐波那契数列δ1 ≥n F ,则n=7, 00=a ,100=b 1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21 130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数,比较大小有)()('11t f t f < 则有001==a a ,21801'2==t t ,21130'11==t b ,21 50)(116512=--=a b F F b t , 将2t 和'2t 代入函数,比较大小有)()('22t f t f < , 则有012==a a ,21502'3==t t ,2180'22==t b ,21 30)(225423=--=a b F F b t , 将3t 和'3t 代入函数,比较大小有)()('33t f t f >, 则有213033==t a ,2150'34==t t ,218023==b b ,21 60)(33433'4=-+=a b F F a t , 将4t 和'4t 代入函数,比较大小有)()('44t f t f >, 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21 70)(44324'5=-+=a b F F a t , 将5t 和'5t 代入函数,比较大小有)()('55t f t f >, 则有216055= =t a ,2170'56==t t ,218045==b b , 则令105 351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-?++=-++=a b F F a t ε, 将6t 和'6t 代入函数,比较大小有)()('66t f t f <, 则216056==a a ,105351'66==t b ,区间为:?? ????105351,2160 所以选择6t 为极小点,=)(6t f 89.6)2170( -=f 。
最优化方法一维搜索法C++程序
加步探索法 #include #include using namespace std; double fun(double t) { return (t*t*t-2*t+1); } double max(double a,double b) { if(a>b)return a; else return b; } double min(double a,double b) { if(a>b)return b; else return a; } double Addstep(double(*pfun)(double t)) { int k=0; double t0=0,h=1,r=2,t,a=0,b=0; t=t0+h; do{ if(fun(t)对分法 #include #include using namespace std; double fun(double t) { return (t*t-3*t); } double dfun(double t) { return (2*t-3); } void Dichotomous(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) { int maxflag=1000,k=1; double a=-3,b=5,c,err=0.1,t; do { c=(a+b)/2; if(dfun(c)<0){a=c;} else {if(dfun(c)>0){b=c;} else{a=c;b=c;}} k++; }while(fabs(a-b)>err&&k=maxflag) cout<机械优化设计一维搜索实验报告
《机械优化设计》 实验报告 班级: 机械设计(2)班 姓名:邓传淮 学号:0901102008
1 实验名称:一维搜索黄金分割法求最佳步长 2 实验目的:通过上机编程,理解一维搜索黄金分割法的原理,了解计算机在优化设计中的应用。 3 黄金分割法的基本原理 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只适用于一维区间上的凸函数[6],即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低。其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是:在区间[a,b]内取点:a1 ,a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)4实验所编程序框图(1)进退发确定单峰区间的计算框图
(2)黄金分割法计算框图
5 程序源代码 (1)进退发确定单峰区间的程序源代码 #include #include #define f(x) pow(x,4)-3*pow(x,3)-5*pow(x,2)-14*x+46 main() { int k; double x,h,x1,x2,x3; double f1,f2,f3,f; double a,b; x1=0; h=1; x2=x1+h; f1=f(x1); f2=f(x2); if (f1>f2) { h=2*h; x3=x2+h; f3=f(x3);
一维优化方法
一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念: 1、设计变量 在机械设计中,区别不同的设计方案,通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量,也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中,可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值,它们在优化设计过程中始终保持不变,这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数,它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数,它们的数值在优化计算过程中是变化的,这类参数称为设计变量,它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量,而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示,则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置,即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量,设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间,用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案,且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题,人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中, 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益,即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中,一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达,称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准,也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
常用一维搜索算法
无约束优化:不对定义域或值域做任何限制的情况下,求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中,许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数,对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点,因此只要能求得这类函数的一个最小值点,该点一定为全局最小值。 (直接法:又称数值方法,它只需计算目标函数驻点的函数数值,而不是求其倒数,如坐标轮换法,单纯型法等。 间接法:又称解析法,是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造何种算法,从而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。) 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间,然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间,进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的
第5章 一维搜索
第5章 一维搜索 §5.1 最优化算法的简单介绍 1.算法概念 在解非线性规划时,所用的计算方法,最常见的是迭代下降算法. 迭代:从一点) (k x 出发,按照某种规则A 求出后继点) 1(+k x .用1+k 代替k ,重复以上 过程,产生点列}{) (k x 。 规则A 是在某个空间X 中点到点的映射,即对每一个X x k ∈) (,有点 X x A x k k ∈=+)() () 1(. 更一般地,把A 定义为点到集的映射,即对每个点X x k ∈) (,经A 作用,产生一个点 集X x A k ?)() (.任意选取一个点)() () 1(k k x A x ∈+,作为) (k x 的后继点. 定义1: 算法A 是定义在空间X 上的点到集映射,即对每一个点X x ∈,给定-个子集 X x A ?)(. 例1 考虑线性规划: 1 s.t. min 2 ≥x x 最优解1=x .设计一个算法A 求出这个最优解. ??????????? ?+≥??? ???+=1 ,1 ),1(211 ,)1(21 ,1x x x x A 从一点出发,经A 作用得到一个闭区间.从此区间中任取一点作为后继点,得到一个点列.在一定条件下,该点列收敛于问题的解.利用算法A 可以产生不同的点列,如以3=x 为起点可产生点列: {} ,5/4 ,3/2 ,2 ,3 其聚点是问题的最优解. 在许多情况下,要使算法产生的点列收敛于全局最优解是比较困难的.因此,一般把满足某些条件的点集定义为解集合.当迭代点属于这个集合时,就停止迭代.
无约束最优化问题可以定义解集合为 }0)(|{=?=Ωx f x 约束最优化问题可以定义解集合为 }T -K 为|{点x x =Ω 2. 算法收敛问题 设Ω为解集合,X X A →:是一个算法,集合X Y ?.若以任一初点Y x ∈) 1(开始, 算法产生的序列其任一收敛子序列的极限属于Ω,则称算法映射A 在Y 上收敛. 收敛速率: 定义2: 设序列}{) (k γ 收敛于* γ,定义满足 ∞<=--≤+∞ →βγ γ γ γp k k k * ) (*) 1(lim 的非负数p 的上确界为序列}{) (k γ 的收敛级. 若序列的收敛级为p ,就称序列是p 级收敛的. 若1=p 且1<β,则称序列是以收敛比β 线性收敛的. 若1>p 或者1=p 且0=β,则称序列是超线性收敛的. 例2 序列{}10 ,<基于matlab的一维搜索
最优化理论与算法 基于matlab 的一维搜索——0.618试探法 2 m in ()21def f x x x =-- , 初始区间11[,][1,1]a b =-,精度0.16L ≤ clc clear %设定初始值 L=0.16; k=1; b=1; a=-1; r=a+0.382*(b-a); u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); c=[]; while b-a>L if fr>fu a=r; b=b; r=u; u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); else a=a; b=u; u=r; r=a+0.382*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); end k=k+1; c=[c,[a,b,r,u,fr,fu]]; end k jieguo=reshape(c,6,k)’ s=[a,b] l=b-a jieguo = -1.0000 1.0000 -0.2360 0.2360 -0.6526 -1.1246 -0.2360 1.0000 0.2360 0.5278 -1.1246 -0.9706 -0.2360 0.5278 0.0558 0.2360 -1.0496 -1.1246 0.0558 0.5278 0.2360 0.3475 -1.1246 -1.1060 0.0558 0.3475 0.1672 0.2360 -1.1113 -1.1246 0.1672 0.3475 0.2360 0.2787 -1.1246 -1.1234 0.1672 0.2787 0.2098 0.2360 -1.1218 -1.1246
黄金分割法 二次插值 牛顿 matlab 程序一维搜索方法比较
一维搜索方法应用比较 一、黄金分割法 (1)黄金分割法的起源 黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为"金法",17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则",也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割",我国也有记载。虽然没有古希腊的早,但它是我国古代数学家独立创造的,后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值,在工艺美术和日用品的长宽设计中,采用这一比值能够引起人们的美感,在实际生活中的应用也非常广泛,建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割,舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央,而是偏在台上一侧,以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方,如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中,选取方案常用一种0.618法,即优选法,它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用,所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法",把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ,就像圆周率在应用时取3.14一样。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广。
三点一维搜索法报告
三点一维搜索法报告 姓名:张攀班级:2009211102 学号:09210048 算法的基本思想: 三点一维算法是从0.618法衍生而来的,0.618算法使用从两点a,b间选择两个点c,d将原来区域分为三个,抛弃不符合所求数值趋势的两个区域,不断逼近所求值,当|b-a|实例分析: 选择函数:f[x] := Sin[x^4] + Cos[x] 该函数在[0,1]范围内有极小值,令a=0,b=1,p=0.1,e选取1*10^(-9),运算后结果在x=0.4904089750976563时有最小值0.939949。运算次数为22次, P值选取效率的影响: 在该函数中,[0,1]内函数波动较为平缓,从中间缓慢向两边扩展显然速度较快,因为所求点接近终点,当p增大的时能很快覆盖到所求点效率将变高,如果区域远超过所求点则效率将变低。 P取值以及逼近次数i的关系: P=0.1,i=22 P=0.2,i=26 P=0.25,i=19 P=0.3,i=19 P=0.35,i=21 P=0.4,i=23 P=0.5,i=26 P=0.6,i=30 P=0.7,i=36 P=0.8,i=57 可见最好的取值应为0.25到0.3之间。 总结: 三点一维算法实际通过多次比较,减少了0.618法对点的移动,和对区域的选择,比0.618法稳定。在比较区域大时三点一维算法比起0.618法更加优秀。
实验1 一维搜索算法的程序设计
实验一 一维搜索算法的程序设计 一、实验目的 1、熟悉一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法。 2、培养matlab 编程与上机调试能力。 二、实验课时:2个课时 三、实验准备 1、预习一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法的计算步骤。 2、熟悉matlab 软件的基本操作。 四、实验内容 课堂实验演示 1、根据二分法算法编写程序,求函数 2 ()22f x x x =++ 在区间[2,1]-上的极小值。 二分法如下: (1)给定区间[,]a b (要求满足0)(',0)('>δ; (2)若δ≤-a b ,则停,输出*()/2x a b =+; (3)计算()/2c a b =+; (4)若0)('c f ,令b c =;否则若0)('=c f ,则停输出*()/2x a b =+; function [val,x,iter] = bisection_method(a,b,delta) iter = 0; while abs(b-a)>delta iter = iter+1; [y,dy] = fun((a+b)/2); if abs(dy)<= delta x = (a+b)/2; val = y; return; elseif dy<0 a = (a+b)/2; else b = (a+b)/2;
end end x = (a+b)/2; [val,dval] = fun(x); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [y,dy] = fun(x) y = x^2+2*x+2; dy = 2*x+2; >> delta = 1.0e-6; [val,x,iter] = bisection_method(-2,1,delta) val = 1 x = -1 iter = 21 2、根据0.618算法编写程序,求函数 ()()()630sin tan 1x f x x x e =- 在区间[0,1]上的极大值。 令()()()()630sin tan 1x g x f x x x e =-=--,则原问题转化为求[] ()0,1m in x g x ∈ 0.618算法如下: (1)给定区间[,]a b ,及精度0eps >; (2)计算试探点0.382(),0.618()r a b a u a b a =+-=+-. 令1=k ; (3)若eps a b <-,则停止计算,输出)(,2/)(* **x f f a b x =+=;否则, 若()()f r f u >,转(4);若)()(u f r f <,转(5); (4)令a r =,r u =,计算0.618()u a b a =+-,转(6); (5)令b u =,u r =,计算0.382()r a b a =+-,转(6); (6)令1+=k k ,回 (3). 运行结果,如下: >> a=0,b=1,eps=10^(-5); [optx,opty,iter]=gold_section_method(a,b,eps) iter = 26 optx = 0.9707
第三章 一维搜索
第三章 常用一维搜索方法 第节维搜索概述 第一节 一维搜索概述一、下降迭代算法的基本思想、下降迭代算法的基本思想 不失一般性,考虑如下的优化问题 min ()x S f x ∈ (3.1) 其中:n f S R R ?→. 下降迭代算法的的基本思想:给定一个初始点1n x R ∈,按 }k 使得当}k 是有限点列时照某种迭代规则产生一个点列{x ,使得当{x 其最后一个点是最优化问题的最优解;当{}k x 是无穷点列时,它有极限点,且其极限点是优化问题的最优解.
设已迭代到点k x 处,则下一次迭代会出现以下两种情况之一: (1) 从k x 出发沿任何方向移动,目标函数不再下降; 出发至少存在个方向使标数有所 (2)从k x 出发至少存在一个方向使目标函数()f x 有所下降.这时,从中选取一个下降方向k d ,即k d 满足 ()0k T k f x d ?<,然后在直线 k k x x d λ=+上适当的确定一个新点 1k k k k x x d λ+=+,使得1()()()k k k k k f x f x d f x λ+=+<,此时就说完成了第1k +次迭代. 基本迭代格式 1k k k k x x d λ+=+ 本代格式 k d ------搜索方向 k λ-----步长因子或搜索步长
最优化问题的求解步骤 最优化问题的求解步骤:(1)选取初始点1x ,令1k =; (2)构造搜索方向k d .依照一定的规则,构造()f x 在点 k x 处的下降方向或可行下降方向作为搜索方向k d ; (3)确定搜索步长k λ.以k x 为起点沿搜索方向k d 选取的 λ适当步长k ,使得目标函数值有某种意义的下降,通常使 ()()k k k k f x d f x λ+<. 1k +令1k k k + (4)求出新的迭代点x .令k x x d λ=+(5)检验终止条件.判定1 k x +是否满足终止条件,若满足 停止迭代输出近似最优解否则令转 停止迭代,输出近似最优解1k x +;否则,令:1k k =+,转(2).
一维搜索算法(二)
项目二 一维搜索算法(二) [实验目的] 编写抛物线插值法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1、掌握二分法的思想及迭代步骤 2、掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题: 1、用二分法求解 )2()(min +=t t t ?, 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ,要求按精度3.0=ε,001.0=ε分别计算. 2、用抛物线插值法求解 3728)(m in 23+--=x x x x f , 已知初始单谷区间001.0]20[][==ε,,, b a .取初始插值点为x=1
[实验教案] 例1 用二分法求f(x)=8x^3-2*x^2-7*x+3 的局部最优解.允许误差ε=0.0001 ,初始点设区间为[0,1]. #include using namespace std; float f(float x) { return (8*x*x*x-2*x*x-7*x+3); } float f1(float x) { return (24*x*x-4*x-7); } void main() { float a=0,b=1,c,delta=0.0001; do { c=(a+b)/2; if(f1(c)>=0) { b=c; } else { a=c; } }while((b-a)/2>delta); cout<<"该问题的最优解为"<<(a+b)/2<<",最优值为"<[例题2] 用抛物线插值法求解 30min ()32t t t t ?≥=-+, 已知初始单谷区间[0,3].0.05ε=,取初始插值点为t=1 #include #include using namespace std; double Alpha(double x1,double x2,double x3); double faiPhi(double t); double faiPhi(double t) //求3()32x t t ?=-+ { return (t*t*t-3*t+2); } double Alpha(double x1,double x2,double x3) //求α { double x,y; x=(x2*x2-x3*x3)*faiPhi(x1)+(x3*x3-x1*x1)*faiPhi(x2)+(x1*x1-x2*x2)*faiPhi(x3); y=(x2-x3)*faiPhi(x1)+(x3-x1)*faiPhi(x2)+(x1-x2)*faiPhi(x3); return (0.5*x/y); } void main() { double a=0,b=3,t=2,Epsilon=0.05,t1; do { t1=Alpha(a,t,b); if(fabs(t-t1)t) { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { a=t;t=t1; } else { b=t1; } } else { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { b=t;t=t1; } else { a=t1; } } } }while(1); }
第四章一维搜索法
第四章 一维搜索法 由第一章关于求解最优化问题概述中我们知道,从已知迭代点n k R X ∈出发按照基本迭代公式k k k k P t X X +=+1来求解最优化问题,其关键在于如何构造一个搜索方向n k R P ∈和确定一个步长1R t k ∈,使下一迭代点1+k X 处的目标函数值下降,即)()(1k k X f X f <+.现在我们来讨论,当搜索方向k P 已经确定的情况下,如何来确定步长k t ?步长因子的选取有多种方法,如取步长为常数,但这样选取的步长并不最好,如何选取最好步长呢?实际计算通常采用一维搜索来确定最优步长. 对无约束最优化问题 )(min X f n R X ∈, 当已知迭代点k X 和下降方向k P 时,要确定适当的步长k t 使=+)(1k X f )(k k k P t X f +比)(k X f 有所下降,即相当于对于参变量t 的函数 )()(k k tP X f t +=? 要在区间],0[∞+上选取k t t =使)()(1k k X f X f <+,即 )0()()()(??=<+=k k k k k X f P t X f t . 由于这种从已知点k X 出发,沿某一下降的探索方向k P 来确定步长k t 的问题,实质上是单变量函数()t ?关于变量t 的一维搜索选取问题,故通常叫做一维搜索.按这种方法确定的步长k t 又称为最优步长,这种方法的优点是,它使目标函数值在搜索方向上下降得最多. 今后为了简便起见,我们用记号 )(1k k k P X ls X ,=+ (4.1) 表示从点k X 出发沿k P 方向对目标函数)(X f 作直线搜索所得到的极小点是1+k X .其中l 和s 分别是Linear search (直线搜索)两词的词首.在目标函数)(X f 已确定的条件下(4.1) 等价于如下两式: ???? ?+==+=++k k k k t k k t k k k P t X X t tP X f P t X f 1)(min )(min )(,? 下面进一步解释迭代点k k k k P t X X +=+1的空间位置.容易证明,若从k X 出发,沿k P 方 向进行一维搜索得极小点k k k k P t X X +=+1,则该点1+=k X X 处的梯度方向)(1+?k X f 与搜索方向k P 之间应满足 0)(1=?+k T k P X f . (4.2) 事实上,设)()(k k tP X f t +=?,对t 求导有
一维搜索算法(一)
项目一 一维搜索算法(一) [实验目的] 编写进退法、对分法、Newton 法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验环境] Matlab 或VC++6.0 [实验目的] 1.掌握一维收搜索中搜索区间的进退法的思想及迭代步骤; 2.掌握0.618法的思想及迭代步骤; 3.掌握Fibonaci 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题: 1.用进退法确定一维最优化问题 12)(min 30+-=≥t t t t ? 的搜索区间,要求选取2,1,000===αh t . 2.用0.618法求解 12)(min 3+-=t t t ?, 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ,要求精度01.0=ε. 3.用Fibonaci 法求解 12)(min 3+-=t t t ?, 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ,要求精度01.0=ε.
[实验教案] 例1 设f(x)=x^2-2*x+4 ,试用进退法确定初始搜索区间。#include using namespace std; float f(float x) { return (x*x-2*x+4); } void main() { int k=0; float a0,h,t,aerfa,a1,a,b; cout<<"初始数据为: "; cout<<"初始点a0="; cin>>a0; cout<<"\t\t始步长h="; cin>>h; cout<<"\t\t加倍系数t="; cin>>t; do { a1=a0+h; if(f(a1)牛顿法
牛顿法 如前面所提到的,最速下降法在最初几步迭代中函数值下降很快外,总的说来下降的并不快,且愈接近极值点下降的愈慢。因此,应寻找使目标函数下降更快的方法。牛顿法就是一种收敛很快的方法,其基本思路是利用二次曲线来逐点近似原目标函数,以二次曲线的极小值点来近似原目标函数的极小值点并逐渐逼近改点。 一维目标函数()f x 在()k x 点逼近用的二次曲线(即泰勒二次多项式)为 ()()()()()()21 ()()()()()()2 k k k k k k x f x f x x x f x x x ?'''=+-+ - 此二次函数的极小点可由()()0k x ?'=求得。 对于n 维问题,n 为目标函数()f X 在() k X 点逼近用的二次曲线为: ()()()()()2()() 1 ()()().[][].().[]2 k k k k k T k k X f x f X X X X X f X X X ???=+?-+-?-?? 令式中的Hessian 2()()()()k k f X H X ?=,则上式可改写为: ()()()()()()() 1 ()()().[][].().[]2 () k k k k k T k k X f x f X X X X X H X X X f X ???=+?-+--?? ≈ 当()0X ??=时可求得二次曲线()X ?的极值点,且当且仅当改点处的Hessian 矩阵为正定时有极小值点。 由上式得: ()()()()()()[]k k k X f X H X X X ??=?+- 令()0X ??=,则() ()()()()[]0k k k f X H X X X ?+-= 若() ()k H X 为可逆矩阵,将上式等号两边左乘1 () ()k H X -????,则得 1 ()()() ()()[]0k k k n H X f X I X X -???+-=?? 整理后得 1 () ()() ()()k k k X X H X f X -??=-??? 当目标函数()f X 是二次函数时,牛顿法变得极为简单、有效,这时() ()k H X 是一个 常数矩阵,式 ()()()()()()() 1 ()()().[][].().[]2 () k k k k k T k k X f x f X X X X X H X X X f X ???=+?-+--?? ≈变成精
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法简介 摘要:牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法,它的收敛速度快,有内在函数可以直接使用。结合着matlab 可以对其进行应用,求解方程。关键词:牛顿法,Goldfeld 等人修正牛顿法,matlab 实现 1介绍: 迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法,即一次性解决问题。但多数方程不存在求根公式,因此求解根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题,需要做好以下3个方面的工作: 1,确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。 2,建立迭代关系式。所谓迭代关系式,是指如何从变量的前一个值推出下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 3,对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。牛顿迭代法(Newton’s method )又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method ),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开,并将其极小化。牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。牛顿法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时非线性收敛,但是可通过一些方法变成线性收敛。 牛顿法的几何解释: 方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。如下图:
一维搜索牛顿法
2013-2014(1)专业课程实践论文题目:一维搜索牛顿法
牛顿法是一种函数逼近法,基本思想是:在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数,从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 ()f x 在 xk 点二阶泰勒展开: 221()()'()()''()()(())2 k k k k k k f x f x f x x x f x x x o x x =+-+-+- 略去高阶项得 2 1()()'()()''()()2k k k k k f x f x f x x x f x x x ≈+-+ - 两边对x 求导,'()'()''()()k k k f x f x f x x x ≈+- 令 '()=0f x ,得到 '() ''()k k k f x x x f x ≈- 取 1'() =''()k k k k f x x x f x +- 作为新的迭代点,继续迭代,直到达到精度,这样就得到了 函数 f 的一个驻点 。以上过程即Newton 法。
三、算法程序 #include #include using namespace std; double fun(double t) { return (t*t*t-2*t+1); } double dfun(double t) { return (3*t*t-2); } void NewtonIterative(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) { int maxflag=1000,k=1; double t0=1,err=0.01,t; do { t0=t; t=t0-pfun(t0)/pdfun(t0); k++; }while(fabs(t-t0)>err&&k=maxflag) cout<一维搜索 黄金分割法 二次插值法
一维搜索黄金分割法二次插值法 #include #include #include double f(double); double golden_split(double(*)(),double,double);/*黄金分割法*/ double rcczf(double(*)(),double[],double[],double); /*二次插值法*/ void jtf(double(*)(),double,double *,double *,double *);/*进退法*/ void jtf(double(*objf)(),double a0,double *h0,double *a,double *y) { double h; a[0]=a0; h=*h0; a[1]=a[0]+h,y[1]=objf(a[1]); if(y[1]>y[0]) { h=-h; a[2]=a[0],y[2]=y[0]; a[0]=a[1],y[0]=y[1]; a[1]=a[2],y[1]=y[2]; } a[2]=a[1]+h; y[2]=objf(a[2]); while(y[2]